北京大学量子力学ppt课件 第22讲.ppt

,第 二 十 二 讲 自旋 (1) 电子自旋存在的实验事实 A. Stern-Gerlach实验（1922年） Stern-Gerlach发现，当一束处于基态的银原子通过这样的场时，发现仅分裂成二束，即仅二条轨道（两个态）。,而人们知道，银原子（ ）基态 ，所以没有轨道磁矩。 而分成二个状态（二个轨道）表明, 存在磁矩。这磁矩在任何方向上的投影仅取二个值。这只能是电子本身的，这磁矩称为内禀磁矩 。与之相联系的角动量称为电子自旋，它是电子的一个新物理量，也是一个新的动力学变量。,B. 碱金属光谱的双线结构 原子光谱中有一谱线，波长为5893。但精细测量发现，实际上，这是由两条谱线组成 ,C.反常塞曼效应（Anomalous Zeeman effect） 原子序数 为奇数的原子，其多重态是偶数， 在弱磁场中分裂的光谱线条数为偶数条如钠 和 的两条光谱线。在弱磁场中分裂为 条和 条。这种现象称为反常塞曼效应。 D. 在弱磁场中，能级分裂出的多重态的相邻能级间距，并不一定为 ，而是 。,对于不同能级， 可能不同，而不是简单为( 被称为 因子 )。 根据这一系列实验事实，G. Uhlenbeck）（乌伦贝克）和 S.Goudsmit（古德斯密特）提出 假设 电子具有自旋 ，并且有内禀磁矩 ，它们有关系, 电子自旋在任何方向上的测量值仅取两个值 ，所以 以 为单位，则 （而 ）,现在很清楚，电子自旋的存在可由Dirac提出的电子相对论性理论自然得到。 考虑到辐射修正,(2) 自旋微观客体的一个动力学变量 A. 电子的自旋算符和它的矩阵表示 由于电子具有自旋，实验发现，它也具有内禀磁矩,假设：自旋算符 有三个分量，并满足角动量所具有的对易关系 a. 对易关系 b. 由于它在任意方向上的分量的测量值，仅取二个数值 ，所以,于是 是一常数 c. 矩阵形式 由于其分量仅取二个数值，也即本征值仅二,个，所以 可用 矩阵表示。 .若选 作为力学量完全集，即取 表象，那 在自身表象中的表示自然为对角矩阵，而对角元就是它的本征值,相应的本征矢其对应的表示为， . 在 表象中 的矩阵表示,这只要将 作用于 的基矢并以 基矢展开，从展开系数来获得. 由 得系数矩阵为 转置得,以及,其系数矩阵为 转置得 对于 在 方向上的分量为,d. Pauli Operator；为方便起见，引入泡利算符 于是，在 表象中有（或称Pauli表象）,称为泡利矩阵由此得,（2）考虑自旋后，状态和力学量的描述 A.自旋波函数（电子的自旋态） 对于 的本征方程为在其自身表象,而相应本征态的表示为,是 的本征值为 的本征态在表象 中的表示 ； 是 的本征值为 的本征态在表象 中的表示 。 显然 正交 对于任何一旋量 在表象 中，其表示为,而 和 可由 与 标积获得,B. 考虑自旋后状态的描述 由于电子除了 之外，还有第四个 动力学变量 ，它的特点仅取二个值，而 。 所以，可在表象 中表示体系波函数。 对处于某状态 的体系可按自旋波函数展开。,这即 在表象 中表示。 如令,则 表象 中的表示为 若 是归一化的态矢量，则,代表体系处于 而自旋向上的几率密度 代表体系处于 而自旋向下的几率密度 如同一般变量可分离型一样，当 对 和 是变量可分离型的，则其特解为,C考虑自旋后，力学量的表述 而在 表象中， 的表示为,而在 表象中 的表示为 所以方程 在 表象中可表为,直接由 在 表象中表示来获得表象 中的表示,例：求算符 在 表象中的表示,对任一算符的平均值为,例：求 在态矢量 中的平均值 解：在 表象中 表示,而,（3）考虑自旋后，电子在中心势场中的薛定谔方程 A.动能项 在非相对论极限下，电子的动能为 当计及电子的自旋后，波函数是两分量。并注意到,我们有 而置于电磁场中时，则,B. 自旋轨道耦合项 由Dirac方程可以证明，当电子在中心力场中运动，哈密顿量（在非相对论极限下）中将出现自旋轨道耦合项（Thomas项）（核提供的库仑屏敝场和自旋的作用导致） ，,C电子置于电磁场中的哈密顿量 D.处于中心场中的电子，并置于电磁场中的薛定谔方程为,应该注意，在 表象中，这时 是两分量的，即 （1，2，3项是对角矩阵）,7.3 碱金属的双线结构 引进电子自旋后，我们就能够利用量子力学理论来解释原子光谱中的复杂结构及在外电磁场中的现象 （1）总角动量 A.总角动量引入：当考虑电子具有自旋后 电子在中心力场中的Hamiltonian为,由于自旋轨道耦合项， 和 都不是运动 常数.,因此，( )不能构成力学量完全集 但 即 引入 而,由于有心势所以， 彼此对易,因此 可作为力学量的完全集（如无 ，可选 ） B. 的共同本征矢的表示（在 表象中）,1. 它是的本征函数 取,2它们是 的本征函数因此 3由,在 表象中矩阵表示,即得 的本征值,由此可见， 取确定值 ，而 不具有确定值，它们取值为,事实上，上述就是 基矢以 基矢展开。,即从 A 表象 B 表象 a,b 就是平常称的幺正变换系数,于是在中心势中，考虑了电子的自旋，则其特解,例：电四极矩 电四极矩算符 在原子物理和原子核物理中，测量的电四极矩给出的值的定义为（对于一个电荷均匀分布的带电体，其大小，符号，反映了体系的形状） 先看,由,而注意到 与自旋无关，而 是正交的,由此可见， 时， ，这是由于算符 是角动量为 的算符。 当它作用于 后，态将从当 ，则 将 ,所以, 与 正交。因此，这时在带电体外，显示“电荷”是球形分布。,（2）碱金属的双线结构 碱金属原子有一个价电子，它受到来自原子核和其他电子提供的屏蔽库仑场的作用。 所以，价电子的哈密顿量为,