哈工大版理论力学PPT课件 第七章 点的合成运动.ppt

,理论力学,1,理论力学,2,研究点和刚体的运动,地面为参考系,不同参考系上观察物体的运动会有不同的结果,相对于地面运动的物体为参考系,实际问题中需要,理论力学,3,理论力学,4,理论力学,5,相对某一参考体的运动可由相对于其他参考体的几个运动的组合而成合成运动。,7-1,点的合成运动概念动 点,绝对运动绝对轨迹绝对速度 va绝对加速度 aa定 系固结于地面上的坐标系理论力学,相对运动相对轨迹相对速度 vr相对加速度 ar动 系固结于相对于地面运动物体上的坐标系6,点的运动动系相对于定系的运动牵连运动刚体运动,理论力学,7,动 点,动 系,不同瞬时，动点在动系中的位置不同。,牵连点,相对运动,牵连点是动系上的点，不同瞬时牵连点不同！,在某瞬时，动系中与动点相重合的点。,牵连点对定系的速度和加速度分别称为动点 的牵连速度 ve与牵连加速度 ae设想该瞬时将该动点固结在动系上，而随着动系一起运动所具有的速度和加速度。即受动参考系这个刚体的拖带或牵连而产生的速度和加速。,理论力学,8,动点： AB杆上A点动系：固结于凸轮上定系：固结在地面上,凸轮顶杆机构,理论力学,9,绝对运动：铅直运动相对运动：曲线(圆弧)运动牵连运动：凸轮直线平移,理论力学,10,绝对速度 ：va,相对速度 ：vr,牵连速度 ：ve,理论力学,11,牵连加速度：,ae,绝对加速度： aa相对加速度： ar,理论力学,12,动点：AB杆上的A点动系：偏心轮,绝对运动：直线相对运动：圆周（曲线）牵连运动：定轴转动,理论力学,13,理论力学,14,理论力学,15,理论力学,16,绝对运动：曲线（圆周）相对运动：直线牵连运动：定轴转动,圆轮摇杆机构动点：A（在圆盘上)动系：OA摆杆定系：机架,理论力学,17,摇杆滑道机构,动点:销子A (CD上); 动系: 固结于OB。绝对运动：点A的水平直线运动；相对运动：点A沿OB轴线的运动；牵连运动： OB杆的定轴转动。,理论力学,18,曲柄滑块机构,动点:O1A上A点;动系:固结于BCD上。绝对运动：圆周运动;相对运动：直线运动;牵连运动： BCD平移,动点: BCD上的套筒F点;动系:固结于O2E上。绝对运动：直线运动；相对运动：直线运动；牵连运动：定轴转动。,再选,理论力学,19,刨床机构,理论力学,20,理论力学,21,相对轨迹不清楚，无法确定相对速度和相对加速度的方位。,理论力学,22,相对轨迹不清楚，无法确定相对速度和相对加速度的方位。,理论力学,23,相对轨迹清楚，可以确定相对速度和相对加速度的方位。,理论力学,24,理论力学,25,理论力学,26,理论力学,27,动点：M,动系： Oxy,绝对、相对和牵连运动之间的关系,绝对运动运动方程x xt相对运动运动方程x xt由坐标变换关系有 ,MM1 M1M,t t,理论力学,28,建立动点的绝对速度，相对速度和牵连速度之间的关系。,当t t+ t AB ABM M也可看成M M M,MM MM M1M M1M ,为绝对轨迹为绝对位移为相对轨迹为相对位移,MM MM1 M1M将上式两边同除以t 后，,取 t 0 时的极限，得 lim,t0, limt0, limt0,MMt,7-2,点的速度合成定理,一、证明,理论力学,29,va ve vr即在任一瞬时动点的绝对速度等于其牵连速度与相对速度的矢量和，这就是点的速度合成定理。说明：va动点的绝对速度；vr动点的相对速度；ve动点的牵连速度，是动系上一点(牵连点)的速度动系作平移时，动系上各点速度都相等;动系作转动时，ve必须是该瞬时动系上与动点相重合点的速度。,vr = = i,dz,理论力学,30,dt,j,rM rO rr= xi yj zk动系上与动点重合的点(牵连点)在定,系中的矢径记为rM，在图示瞬时有rM rM,相对速度vr是动点相对于动参考系的速度，因此i 、j 、k 是常矢量。这种导数称为相对导数。,动点的相对速度vr为dr dx dydt dt dt,rM,rO,r,O,j,k,i,y,z,x,kx,y,z,O,数学证明M(M),drM drO di dj dk,va = =, i , j ,di dj dk dx dy dz,31,rM,rO,r,M(M),O,k,i,j y,z,x,x,y,z,O,dt dt dt dt dt dt, x, y z ,drOdt,drMdt,k,= ve vr理论力学,动点的牵连速度ve为ve = = x y zdt dt dt dt dt,牵连速度是牵连点M点的速度，,该点是动系上的点，因此它在动系上的坐标x、y、z是常量。,动点的绝对速度va为, arctan 2,理论力学,32,点的速度合成定理是瞬时矢量式，共包括大小方向六个元素，已知任意四个元素，就能求出其他两个。,相对速度vr=v2 牵连运动: 平移;牵连速度ve=v1 ,绝对运动: 曲线，轨迹未知;绝对速度va的大小、方向待求。,二、应用举例例 桥式吊车 已知：小车水平运行，速,度为v1，物块A相对小车垂直上升的速度为v2。求物块A的运行速度。解：选取动点: 物块A，动系: 小车相对运动: 铅直直线;,v1,由速度合成定理： va ve vr作出速度平四边形如图示，则物块的速度大小和方向为,vrv2 A,vave,vA va ve2 vr2 v12 v22vv1,理论力学,33, v e,va e tan30 ,理论力学,34,解：动点取直杆上A点，动系固结于圆盘。绝对速度 va= ? 待求，方向/AB相对速度 vr = ? 未知，方向CA牵连速度 ve=OA = 2e ， 方向 OA由速度合成定理 va= ve + vr ，作出速度平行四边形 如图示。,0 2 33,2 33,vAB,e(),R,例 圆盘凸轮机构已知：OCe， 3e，（匀角速度）图示瞬时， OCCA 且 O、A、B三点共线。求：从动杆AB的速度。,va,ve,vr,A (l r ),O1 1 2 2,理论力学,35,例刨床的急回机构如图所示。曲柄OA的角速度为，通过滑块A带动摇杆O1B摆动。已知OA=r，OO1=l，求当OA水平时O1B的角速度1。,A,O1,O,ve va sin rsin,ve O1A1 ,r2(l2 r2),2 2 r2l r, ve,va vrB,1,解：取OA杆上A点为动点，摆杆O1B为动系。绝对速度 va= r ，方向 OA,相对速度 vr = ? ，方向/O1B牵连速度 ve= ? ，方向O1B,理论力学,36,由上述例题可看出，求解合成运动的速度问题的一般步骤为：选取动点，动系和定系（工程问题选地面不作说明）；三种运动的分析；三种速度的分析；根据速度合成定理 va ve vr 作出速度平行四边形。根据速度平行四边形，求出未知量。恰当地选择动点、动系是求解合成运动问题的关键。动点、动系的选择原则动点、动系和定系必须分别属于三个不同的物体，否则绝对、相对和牵连运动中就缺少一种运动，不能成为合成运动动点相对动系的相对运动轨迹要易于直观判断。（已知绝对运动和牵连运动求解相对运动的问题除外）,sin ,va ,理论力学,37,由图可得：,ve usin sin,veva,例水平直杆AB在半径为r的固定圆环上以匀速u竖直下落，如图。试求套在该直杆和圆环交点处的小环M的速度。解：以小环M为动点，动系取在AB杆上，动点的速度合成矢量图如图。,u,A,B,O,M,vr,va,rve,OC,ve vsin,理论力学,38,例求图示机构中OC杆端点C的速度。其中v与 已知，,v,A,B,C,vCOC,ve va sin vsin OA a,vsin,aba,vC OCOC,且设OA=a, AC=b。解：取套筒A为动点，动系与OC固连，分析A点速度，有va ve vr,vaO,ve,vr,理论力学,39,分析：相接触的两个物体的接触点位置都随时间而变化，因此两物体的接触点都不宜选为动点，否则相对运动的分析就会很困难。这种情况下，需选择满足上述两条原则的非接触点为动点。可以发现，凸轮上C的轨迹是直线，若选OA为动系，其相对轨迹也容易确定是直线。,例 已知: 凸轮半径r , 图示位置时其速度为v，=300。 杆,OA靠在凸轮上。 求：杆OA的角速度。,x,v,O,A,C,ve a tan , v v, ,v ,理论力学,40,O,A,解: 取凸轮上C点为动点,动系固结于OA杆上。,绝对运动: 直线运动,绝对速度: va v，方向 相对运动: 直线运动,vax,vr,Cve,相对速度: vr未知，方向 OA牵连运动: 定轴转动, 牵连速度: ve OC 未知，待求， 方向OC根据速度合成定理 va ve vr 作出速度平行四边形 如图示。,33,rsin, 2r,又ve OC ,ve 1 3 3v2r 2r 3 6r,（,）,41,M,B,C,D,A,v2,v1,ve1,vr1,vr2,ve2,va,例p1947-13AB杆以速度v1向上作平移，CD杆斜向上以速度v2作平移，两条杆的夹角为，求套在两杆上的小环M的速度。解 取M为动点，AB为动坐标系，相对速度、牵连速度如图。,va ve1vr1取M为动点，CD为动坐标系，,相对速度、牵连速度如图。va ve2 vr2由上面两式可得：,ve1 vr1 ve2 vr2,其中理论力学,ve1 v1, ve2 v2,v,va e2 r2,= v,v1 v2 cos 2, v ( ),sin,v1 v2 2v1v2 cos,理论力学,42,v1 v2cos vr2sinvr2 (v1v2cos)/sin,将等式两边同时向y轴投影：,则动点M的绝对速度为：,2,2,22,2 2,1sin,C,D,Av2,v1,ve1,M vr1,vr2B,ve2,va,y,ve1 vr1 ve2 vr2,理论力学,43,东,北,A,R,O,S,例 在水面上有两只舰艇A和B均以匀速度v =36 km/h 行驶，A舰艇向东开，B 舰艇沿以O 为圆心、半径R=100m的圆弧行驶。在图示瞬时，两艇的位置S=50m, =30，试求：（1）B艇相对A艇的速度。（2）A艇相对B艇的速度。解：（1）求B艇相对于A艇的速度。,以B为动点，动系固连于A艇。由速度矢量图,vr1 2vcos30 62.4(km/h),ve1,va1,vr1,300B,300,vB va1 ve1 vr1ve1 vA vB va1 v所以，得图示角度。,50 18(km/h),tan 0.5,理论力学,44,东,北,B,R,O,S,(2)求A相对于B的速度，以A为动点，动系固连于B艇。,ve2 OA,va2 vA vvB v vR R 2,a,vr2 ve2 v22 40.2(km/h),ve2 18va2 36 26 34,ve2A,va2,vr2可见，A相对B的速度并不一定等于B相对A的速度。,i,j,vr ,i,j,va vO ,对t求导 aa ,i,j,dt,dt,dt,理论力学,45,7-3,牵连运动为平移时点的加速度合成定理,设有一动点M按一定规律沿着固连于动系Oxyz的曲线AB运动,曲线AB同时又随同动系Oxyz 相对定系Oxyz平移。,O,x,z,aO,O,x,y,z,vO,A,y B,M,va ve vr,由速度合成定理,a,由于牵连运动为平移，故ve vO ，e aO,d x d y d zdt dt dtdx d y dzdt dt dt,kk,d2 x d2 y d2 z2 2 2,dva dvOdt dt,k,a a a a a a,46,a at an一般式可写为：理论力学,xt n t n t na a e e r r,d d,(其中i ，j ，k 为动系坐标的单位矢量，因为动系为平移，故它们的方向不变，是常矢量，所以 di 0， j 0，k 0 )dt dt dtdvO d2 x d2 y d2 z2 2 2 aa ae ar 牵连运动为平移时点的加速度合成定理z M ae= aOAz绝对加速度等于牵连加速度与相 arO对加速度的矢量和。 yO x y,理论力学,47,例 已知：凸轮半径R，v0，a0。求： =60o时, 顶杆AB的加速度。解：取杆上的A点为动点，动系与凸轮固连。, ,sin,sin60,理论力学,48,va ve vr,由速度合成定理作出速度平行四边形，如图示。,23,o,ve v0,v0,vr ,牵连速度ve=v0, 方向 ;,牵连加速度 ae=a0, 方向,绝对速度va= ? , 方向/AB ；绝对加速度aa=?, 方向/AB，待求。相对速度vr = ? , 方向CA; 相对加速度art=? 方向CAn,va,ve,vr,其中 ar r 0) /R , v /R (, aa 0 ,3 8 v02,理论力学,49,t r,因牵连运动为平移，故有aa ae ar an,4v023R,r,r,)/sin60,4v023R,aa sin ae cosanaa (ae cos an)/sin (a0 cos60 ,整理得,),aAB,3 3 R, (a,n 2 2 2v3作加速度矢量图如图示将上式投影到x轴上，得,x,aa,ae,r,an,ar,t,v ecos, ecos,cos esin,dv d,理论力学,50,例平底顶杆凸轮机构如图所示，顶杆AB可沿导轨上下移动，偏心圆盘绕轴O转动，轴O位于顶杆轴线上。工作时顶杆的平底始终接触凸轮表面。该凸轮半径为R，偏心距OC = e，凸轮绕轴O转动的角速度为，角加速度,为a 。求OC与水平线成夹角 时顶杆的速度和加速度。,B,A,O,y,x,a,MC,解1 用运动方程求解。因推杆作平移，其上各点的速度和加速度都相同，现取推杆上与凸轮的接触点M分析：,ddt,y Resin,dy ddt dta edt dt ea cos e2 sin,a a ae ar,sin a cos a,-aa a e, ea cos e sin,理论力学,51,A,yB,x,a,解2 取圆盘的中心C为动点，动系与平底推杆AB固连。分析动点的速度和加速度如图所示。va evAB ve va cos ecos,a t,a,t,vavraa,Oaran,MveCaeC,a t,n ta aan e2 aa ea向y轴投影：n t可求得：aAB ae an sin aa cos2,理论力学,52,7-4,牵连运动为转动时点的加速度合成定理,上一节我们证明了牵连运动为平移时的点的加速度合成定理，那么当牵连运动为转动时，上述的加速度合成定理是否还适用呢？下面我们来分析一特例。设一圆盘以匀角速度 绕定轴顺时针转动，盘上圆槽内有一点M以大小不变的速度 vr沿槽作圆周运动，那么M点相对于静系的绝对加速度应是多少呢？,理论力学,53,r,v2R,vr const，ar ,（方向如图）,选点M为动点，动系固结与圆盘上，则M点的牵连运动为匀速转动ve R，ae 2R相对运动为匀速圆周运动，,由速度合成定理可得出va ve vr R vr const即绝对运动也为匀速圆周运动，所以2aa R2 2vrR R R方向指向圆心点,理论力学,54,r,22R R R分析上式：ar v2 /R ， ae R2，还多出一项2vr。可见，当牵连运动为转动时，动点的绝对加速度aa 并不等于牵连加速度ae 和相对加速度ar 的矢量和。那么他们之间的关系是什么呢？ 2vr又是怎样出现的呢？它是什么呢？下面我们就来讨论这些问题，推证牵连运动为转动时点的加速度合成定理。,理论力学,55,牵连速度相对速度绝对速度,t 瞬时在位置vevrva ve vr, r,r,t+t 瞬时在位置IIvevva ve v,可以看出，经过t 时间间隔，牵连速度和相对速度的大小和方向都变化了。,设有已知杆OA在图示平面内以匀 绕轴O转动，套筒M（可视为点M）沿直杆作变速运动。取套筒M为动点，动系固结于杆OA上，定系固结于机架。三种速度分析, e (rO k),vO e rO,理论力学,56,设动参考系Oxyz以角速度e绕定轴转动，不失一般性，取定坐标系的z轴为其转轴。设k的端点A的矢径为rA，则A点的速度既等于rA对时间的一阶导数，又可用矢积来表示，即,rOO,j,k,i,y,z,x,x,y,z,O,A,rA,e,drAdt,vA ,e rA,rA rO k,drOdt,dkdt,drOdt,dkdt,e k,e e e k, j,di dj dk,ar = = xi yj zk,ae = = rO xi yj zk,aa = = rO xi yj zk,理论力学,57,同样可得i、j的导数。,dt dt dt,i,d2rdt2,d2rMdt2,d2rMdt2,+ xi yj zk,k,x+ 2(xi yj zk) ae ar 2(xi yj zk),y,rM,rO,r,M(M),O,j,i,y,z,x,z,O,理论力学,58,点的加速度合成定理：动系转动时，动点在某瞬时的绝对加速度等于该瞬时它的牵连加速度、相对加速度与科氏加速度的矢量和。,2(xi yj zk) 2x(e i) y(e j) z(e k) 2e (xi+ yj zk) 2e vraa ae ar 2evr令 aC 2e vr ,称为科氏加速度，于是有,aa ae +ar aC,法国科里奥利。1792-1843,a a a a a a aC, 90 ( vr),aC 2vr, 0或 180 ( / vr C 0,),a,理论力学,59,牵连运动为转动时，加速度合成定理为aa ae ar aC,一般式,t n t n t na a e e r r,一般情况下科氏加速度,aC的计算可以用矢积表示,aC 2e vr大小:aC 2vr sin( ,vr)方向：按右手法则确定。,vr,理论力学,60,v,aC,地球北半球上水流的科氏加速度,自然现象中的科氏加速度,理论力学,61,在北半球，河水向北流动时，河水的科氏加速度向左，由动力学可知，河水必受右岸对水向左的作用力，河水因此对右岸有反作用力。北半球的江河，其右岸都受有较明显的冲刷。,理论力学,62,aC2 0 (/v2),点M2的科氏加速度,解：点M1的科氏加速度aC1 2v 1sina 垂直板面向里。,例 矩形板ABCD以匀角速度 绕固定轴z 转动，点M1和点M2分别沿板的对角线BD和边线CD运动，在图示位置时相对于板的速度分别为 v1和v2 ，计算点M1、M2的科氏加速度大小, 并图示方向。,B,C,aC1,工程中常见的平面机构中e和vr是垂直的，此时aC=2evr；且真实的vr顺e实际转向转90就是aC的方向。,900,e,vrA,aCD,理论力学,63,va,vr,例 已知凸轮机构以匀角速度 绕O轴转动，图示瞬时OA= r，A点的曲率半径 , 已知。求：该瞬时顶杆 AB的速度和加速度。解: 动点: 顶杆上A点； 动系: 凸轮 ;根据速度合成定理 va ve vr作出速度平行四边形，求得 vevAB va ve tan rtan()vr ve /cos r/cos,牵连加速度 ae 0 ， e an r2 ，A指向O,相对加速度 a v / r /cos 方向沿n,科氏加速度 aC=2vr 2r /cos,理论力学,64,aa,t,r,an,ar,t,tn 2 2 2 2r r,ae,aC,由牵连运动为转动时的加速度合成定理绝对加速度 aa ? ，方向 / AB,t r,aa ae ar an aC,r,ar ? 方向垂直n2vr顺的转向转900，即n的反方向。aa cos ae cos an aC向 n 轴投影：,aAB aa (r2cos r22sec2 / 2r2sec)/cos r2(1rsec3 / 2sec2),r ,A (l2 r2),O1 1 2 2,l r,理论力学,65,例刨床的急回机构如图所示。曲柄OA的角速度为，通过滑块A带动摇杆O1B摆动。已知OA=r，OO1=l，求当OA水平时O1B的角速度1角加速度a1 。,O1,O,解： 选取滑块A作为研究的动点，把动系固定在摇杆O1B上。作速度矢图。ve va sin rsin2ve O1A1 (l2 r2)r2l r, ve,va vrBA,2,rl2,vr ,1,a O,ae 1 1A,a O1A ,r ,(l r ),1 2 2,l r,aC ,(l r ),2,2,理论力学,66,A,O1,Bar,O a,a,aC,由于动参考系作转动，因此加速度合成定理为：n,vr ,rl r2l2 r2,2,22r3l3,aa r2t,aC 21vr假设a1的转向为顺时针转向。,aena11,ae,t,4 2,n 2e 1,3,2 2,2,可以不算,aah a a arh aCh,aa cos aC a,即：,rl(l r ),得 ：ae,(l r ),2,2,rl(l r ) 2,a,a1 2 2 2 ,aen,理论力学,67,h,为了求得aet，应将加速度合成定理向轴h投影：n teh eh,te,3,2,2 2t摇杆O1B的角加速度 ：t 2 2eO1A (l r ),负号表示a1的转向应为逆时针转向。,A,B,2,ar,aCO aaa1O1 1,ae,t,O2A 400 mm,2 o2B 0.5rad/s,理论力学,68,解：速度分析1）取套筒A为动点，动系与摇杆O2B固连。,例牛头刨床机构如图所示。已知 O1A=200mm，以匀角速度1=2rad/s转动，求图示位置滑枕CD的速度和加速度。P197、7-27,650,C,D,B,va1 O 1A1 2002 400 mm/s由速度合成定理作速度矢图可得 ：,va1,O11 ve130O2,ve1 va1sin30 200 mm/svr1 va1cos30 200 3mm/sO1Asin30ve1 200O2A 400,vr1A2,O B,va2 2 2 0.5, a a a a a,aa1 r1 C,cos30 a a,在x轴上投影得,aa1 C, a cos30 a O A cos30 2 v,于是 ae1 a1 C 1 1 2 r1,理论力学,69,650,C,D,A,O11,30 xO2,2）取套筒B为动点，动系与滑枕CD固连。,va2ve2,vr2B,由速度合成定理作速度矢图可得 ：650 650mm/scos30 3ve2 va2 cos30 325 mm/s,滑枕CD的速度为,vCD ve2 325mm/s,加速度分析,由A点的加速度合成定理有n n ta1 e1 e1,n,ae1,t,ar1,2ae1aa1,A,aC,0 t,e1,t 0 2 0 200 3mm/s2,ae1 200 3 3,a a ae2 ar2,a cos60 a cos30 ae2,a,aa2 O2B2 ,0.52 ,aa2 O2Ba2 , 650 mm/s2,70,rad/s2,a2 aO2B, O2A 400 2,O2B杆的角加速度为,650,C,D,B,O1130O2,Aa22,n,ta2ae2aa2,ar2B,为了清晰画在向上,滑枕CD的加速度为理论力学,aCD ae2 657mm/s2,t,由B点的加速度合成定理有n ta2 a2将各加速度向水平方向投影得 ：n 0 t 0a2 a2650 325nmm/s2cos30 3,650 3cos30 2,50m,v,理论力学,71,例 P194.7-15在公路行使的两车速度恒为72km/h。在A车中的观察者看来车B的速度和加速度为多大？在B车中的观察者看来车A的速,x,vA300BR=100m,vB,vA,vB,B,vr1,300,度和加速度又为多大？解：选B为动点，A为动系(平移)，得到的是B相对于动系的速度和加速度，即在A中观察到车B的速度和加速度。vB va1 ve1 vr1 vA vr1vA vB 72km/h 20m/svB 20i，vA 20cos300i 20sin300 j,vr1 vB vA (37.3i 10j)m/saB aa1 ae1 ar1 ar1,yAaB ar1,2BR,ar1 aB ,j 4jm/s2,50m,vA 20cos30 i 20sin30 j,ae2 150( ) j 150(0.2) 6j,理论力学,72,x,B,vA300,yA,vB,选A为动点， B为动系(转动)，得到的是A相对于动系的速度和加速度，即在B中观察到车A的速度和加速度。vA va2 ve2 vr2,0 0,ve2,vr2,R=100mvA300,vBve2 150i 30iRvr2 vA ve2 (47.3i 10j)m/saA 0 aa2 ae2 ar2 aCvB 2 2R,ae2,A,AaC,ar2,aC 2evr 2(0.2k)(47.3i 10 j) 18.9 j 4i,ar2 ae2 aC 6j 18.9j 4i (4i 12.9j)m/s2,理论力学,73,第七章,点的合成运动习题课,一、概念及公式1、一点、二系、三运动点的绝对运动为点的相对运动与牵连运动的合成,2、速度合成定理3、加速度合成定理,牵连运动为平移时,牵连运动为转动时 aa ae ar aC (aC 2vr),va ve vr,aa ae ar,注意加速度切向和法向分量,理论力学,74,二、解题步骤1、选择动点、动系和定系。2、分析三种运动：绝对运动、相对运动和牵连运动。3、作速度分析, 画出速度平行四边形,求出有关未知量(速度, 角速度）。4、作加速度分析，画出加速度矢量图，求出有关的加速度、角加速度未知量。,理论力学,75,三、解题技巧1、恰当地选择动点和动系, 应满足选择原则，具体地有：两个不相关的动点，求二者的相对速度。根据题意，选择其中之一为动点，动系为固结于另一点的坐标系。运动刚体上有一动点，点作复杂运动。该点取为动点，动系固结于运动刚体上。机构传动，传动特点是在一个刚体上存在一个不变的接触点，相对于另一个刚体运动。例如导杆滑块机构，取滑块为动点，动系固结于导杆。凸轮挺杆机构，取杆上与凸轮接触点为动点，动系固结与凸轮。摇杆滑道机构，取滑道中的点为动点，摇杆为动系等。,理论力学,76,特殊问题，特点是相接触两个物体的接触点位置都随时间而变化，此时，这两个物体的接触点都不宜选为动点，应选择满足前述的选择原则的非接触点为动点。,2、速度问题，一般采用几何法求解简便, 即作出速度平行四边形求解，超过三个矢量，必须采用解析法求解；3、加速度问题，往往超过三个矢量，一般采用解析（投影）法求解，投影轴的选取依解题简便的要求而定。,非圆周运动时， an v / ,理论力学,77,4、圆周运动时，,( 为曲率半径),an v2 /R 2R,2 2,四、注意问题1、牵连速度及加速度是牵连点的速度及加速度。2、牵连为转动时加速度分析不要丢掉 aC ，正确分析和计算aC。3、加速度矢量方程的投影是等式两端的投影，特别要注意与静力平衡方程的投影式不同。,理论力学,78,相对运动：直线运动，,铅直方向,牵连运动：平移；,t,a,aa la,an l2,(方向OA),(沿AO指向O),vr ?,ar ?,ve ?,ae ?,方向水平，大小待求。,例 曲柄滑杆机构已知: OA=l， = 450 时，,a ;求：小车的速度与加速度解： 动点：OA杆上 A点;动系：固结在滑杆上。绝对运动：圆周运动， va l (方向OA),a a a,aa a e r,cos a sin a,aa a e,理论力学,79,根据速度合成定理 va ve vr 作出速度平行四边形, 如图示,22,ve va cos lcos45 ,l(),在水平方向投影：,t n,ae lacos45 l2 sin45,，方向如图示,22,(a 2)l,小车的加速度：a ae,小车的速度： v ve= 2l/2根据牵连运动平移的加速度合成定理t n,作出加速度矢量图如图示。,ve,vr va,a,an,ae,aa,t,A,ar,ae ODa ?， OA ；an OD2 ? 指向O,h cos2,理论力学,80,）,例已知摇杆滑道机构h，v，a。求: OA杆的 , a 。ve,vr解：动点:销子D (BC上); 动系: 固结于OA。绝对运动：直线运动， va v，aa a相对运动：直线运动， vr ?，ar ? ，沿OA线牵连运动：定轴转动， ve OD ?， OAt根据速度合成定理 va ve vr 作出速度平行四边形,如图示。ve va cos vcos，vr va sin vsin ve /OD vcos /( ) v （cos h,va,D,ae n ( ) ,2v cos sin,a aC aa cos acos,h,ae,v a,a 2 cos2 sin2 ,理论力学,81,投至x 轴：,t,aa cos ae aC,2 2,te,h vcos2 2 v2 cos3cos h h,vcos2h,aC 2vr 2,vsin,t e,根据牵连运动为转动的加速度合成定理aa ae an ar aC作加速度矢量图。,t 2OD h h,cos2,（,）,aa,D,ae,t,e,an,ar,z,aC,理论力学,82,解：动点:O1A上A点; 动系:固结于BCD上。绝对运动：圆周运动; va r1， O 1A相对运动：直线运动; vr ?， /BC牵连运动：平移; ve ? ，水平方向,例已知曲柄滑块机构O1A=r ,1, ,h。图时瞬时O1A/ O2E 。求: 该瞬时O2E杆的2。,2 1sin2 ,vFe sin r1,v,动系：固结于O2E上，绝对运动：直线运动， Fa r1sin()相对运动：直线运动，vFr ?， (/O2E)牵连运动：定轴转动，vFe ?， (O2E),根据 va ve vr作出速度平行四边形ve va sin r1sin再选动点：BCD上F点,根据,作出速度平行四边形,vFa vFe vFr,vFe vFa sin r1sin sin r1sin2vFe O2F 2， O2F h/sin r sin3 （O2F h h理论力学,）,vave,vrA,vFe,vFa83,F vFr, 4 rad/s,理论力学,84,例 图示曲柄滑道机构，圆弧轨道的半径ROA10cm，已知曲柄绕轴O以匀速n120rpm转动，求当 =30时滑道BCD的,n,R,B,O1C,D,A ,va,vr,veO,速度和加速度。解：取滑块A为动点，动系与滑道BCD固连。作速度平行四边形。,va OA 125.6cm/sve vr va 125.6cm/svBCD ve 125.6cm/s,求得曲柄OA转动的角速度为n30由速度合成定理 va ve vr,aa a OA,ar n 1579cm/s2,O1A,10,ar t,ae,30,h: aa e cos30 a,cos60 a,120,aa cos60 a 15790.51579 aa an,ae ,理论力学,85,h,A,O,O1,A,B,C,D,n 2a, (4)2 10 1579cm/s2,由加速度合成定理得,r t,aa ae an ar, 2740cm/s2 27.4 m/s2,nr,vr2 125.62将加速度向h轴上投影有：nrcos30 3/2 速度图在原图上画，,加速度图在边上画，保持方向一致。,86,vr ?，ar ? 方向/OA,ve ?, 方向OC,例 凸轮机构已知：凸轮半径为R，图示瞬时O、C在一条铅直线上;已知: ，v，a。求: 该瞬时OA杆的角速度和角加速度。分析: 由于接触点在两个物体上的位置均是变化的，因此不宜选接触点为动点。解: 取凸轮上C点为动点，动系固结于OA杆上。绝对运动: 直线运动；相对运动: 直线运动；牵连运动: 定轴转动。va v，aa a,e,an OC2 ?理论力学,t,指向O ；ae OCa ?，方向OC, sin,a OC ( sin)2 ,sin,sin,R R,aa cos a cos a sin,投至z 轴：,ae aa antan,a ,理论力学,87,t e,t,v2 sin2R2,tae av2 sin / R asinOC R/sin R,转向由上式符号决定，a 0则逆时针，a0 则顺时针。,v,va ve vr根据作出速度平行四边形ve va v， r 0ve v v()OC R/sin Raa ae an ar aC根据aC 2vr 0作出加速度矢量图n 2 R v v2et ne e,vave,aa,C,ae,t,e,Can,z,ar,理论力学,88,例 刨床机构已知: 主动轮O转速 n=30 r/minOA=150mm , 图示瞬时, OAOO1求: O1D杆的角速度 1和角加速度a1及滑块B的速度和加速度。,va OA 0.15 0.15 m/s,1 , sin ,理论力学,89,其中,n30,ve va sin 0.03 5 m/s,解：动点：轮O上A点，动系：O1D。根据 va ve vr 作出速度平行四边形 。,),2 5 55 5,(cos ,vr va cos 0.06 5 m/s,va,vr,ve,rad/s,O 1A 0.15 5 5,ve 0.03 5 ,（ ）,aa ae ae ar aC,ae t 0.15 ,2 0.06 5 2m/s2,a1 2rad/s2（,） a,理论力学,90,根据,t n,作加速度矢量图,t,aa 0.152投至 aC方向：aa,aC 21vrcos aC ae,再选动点:滑块B; 动系: O1D。,t,O 1A 5 0.15 5 25,2 2 5 0.18 55 5 5ae 0.18 52 1 6,a,A,e,an,t,ae,ar,aC,aBa cos aBe aBC,投至 x 轴,aB t e e , 2a, m/s,0.36 5 2 2, 2, 2 0.03 5 2 m/s2,aB Ba, a, (,0.36 52 0.06 52 2 5,根据 vBa vBe vBr,作出速度矢量图。,vBe 2ve 0.06 5 m/s,vB vBa vBe /cos 0.15 m/svBr vBetan 0.03 5 m/s,t n作出加速度矢量图,其中aBC 1vBr理论力学, 0.06 55 5 )/ 0.152 m/s25 5 5,vBe,vBa,vBr,5 aBa,B,aBe,t,aBraBC91,aBe,n,x,牵连运动：曲杆绕O轴的转动。,因为 ve OM 10 cm/s,理论力学,92,作速度矢量图,例P1977-26图示曲杆OBC绕O轴转动，使套在其上的小环M沿固定直杆OA滑动。已知OB10cm，OB与BC垂直，曲杆的角速度为0.5rad/s，求当 =60时小环M的速度和加速度。C解：动点:小环M，动系:固结在曲杆M绝对运动:小环M沿OA杆的直线运动；相对运动：小环M沿着BC的直线运动， ve,BOB 100.5cos60 0.5由三角关系求得小环的绝对速度为：va ve tan 10 3 17.3cm/svr 2ve 20cm/s,计算已知量,ae a OM 0.5 20 5cm/s,理论力学,93,B,A,C,O,n 2 2e,由加速度合成定理，aa ae ar aC作小环M的加速度矢量如图所示 ：,aa,ar,ae M,aC2,h,aC 2vr 20.520 20cm/s2向h方向投影,有: aa cos ae cos aC,aa ae aC /cos 522035cm/s2,解得,