第二章控制系统状态空间表达式的解ppt课件.ppt

第2章 控制系统状态空间表达式的解,2.1 线性定常齐次状态方程的解（自由解）2.2 矩阵指数函数状态转移矩阵2.3 线性定常系统非齐次方程的解2.4 线性时变系统的解2.5 离散时间系统状态方程的解2.6 连续时间状态空间表达式的离散化,本章要求,要求理解及掌握内容： 正确理解连续时间状态空间表达式的离散化。线性定常系统状态方程的求解方法要求了解内容： 线性离散系统及时变系统状态方程的求解方法。重点： 状态转移矩阵和状态方程的求解。,本章通过求解系统方程的解来研究系统性能。 由于系统的状态方程是矩阵微分方程，而输出方程是矩阵代数方程。因此，只要求出状态方程的解，就很容易地得到系统的输出，进而研究系统的性能。,1）、自由运动：线性定常系统在没有控制作用，即u0时，由初始状态引起的运动称自由运动。,齐次状态方程的解：,2）、强迫运动：线性定常系统在控制u作用下的运动，称为强迫运动。,非齐次状态方程的解：,2.1 线性定常齐次状态方程的解（自由解）,1、线性定常系统的运动,2、齐次状态方程：,满足初始状态 的解是：,满足初始状态 的解是：,2.1 线性定常齐次状态方程的解（自由解）,线性定常系统齐次状态方程为,（1）,将（3）式代入（2）式,这时系统的输入为零,2.1 线性定常齐次状态方程的解（自由解）,等式两边t 的同次幂的系数相等，因此有,而,将（5）式代入（1）式,2.1 线性定常齐次状态方程的解（自由解）,2.1 线性定常齐次状态方程的解（自由解）,如果,则,（8）,将（8）式代入（1）式验证,和,矩阵指数函数 又称为状态转移矩阵，记作,由于系统没有输入向量， 是由初始状态 激励的。因此，这时的运动称为自由运动。 的形态由 决定，即是由矩阵A 唯一决定的。,2.1 线性定常齐次状态方程的解（自由解）,一、状态转移矩阵,线性定常系统的齐次状态方程：,满足初始状态 的解是：,满足初始状态 的解是：,已知：,线性定常系统的状态转移矩阵,2.2 矩阵指数函数状态转移矩阵,说明1：状态转移矩阵必须满足以下两个条件：,1）状态转移矩阵初始条件：,2）状态转移矩阵满足状态方程本身：,说明2：对于线性定常系统来说，状态转移矩阵就是矩阵指数函数本身。,说明3：状态转移矩阵的物理意义：从时间角度看，状态转移矩阵使状态向量随着时间的推移不断作坐标变换，不断在状态空间中作转移，故称为状态转移矩阵。,2.2 矩阵指数函数状态转移矩阵,2.2 矩阵指数函数状态转移矩阵,自由运动也即零输入响应的属性：1、几何表征 为状态空间中由初始状态点出发和由各个时刻变换点构成的一条轨迹；2、运动属性 状态随着时间演化轨迹，属于由偏离系统平衡状态的初始状态引起的自由运动；（典型例子：人造卫星在末级火箭脱落后的运动轨迹属于以脱落时刻运动状态为初始状态的自由运动。）,2.2 矩阵指数函数状态转移矩阵,3、形态 自由运动轨迹的形态，由且仅由系统的矩阵指数函数唯一决定。不同的系统矩阵，导致不同形态的矩阵指数函数，从而导致不同形态的轨迹。这表明，矩阵指数函数即系统矩阵包含了自由运动形态的全部信息。4、趋向平衡状态x=0属性 自由运动轨迹最终趋向于系统平衡状态，当且仅当矩阵指数函数最终趋向于0；（渐近稳定）,二、状态转移矩阵的基本性质,2.2 矩阵指数函数状态转移矩阵,3）可逆性,即,2.2 矩阵指数函数状态转移矩阵,6）倍时性,三、几个特殊的矩阵指数函数,（1）设 ，即A为对角阵且具有互异元素时，有,2.2 矩阵指数函数状态转移矩阵,（2）若A能通过非奇异变换为对角阵时，即,2.2 矩阵指数函数状态转移矩阵,则有,（3）设A为 约当阵，即,2.2 矩阵指数函数状态转移矩阵,则有,（4）设A为 约当阵，即,2.2 矩阵指数函数状态转移矩阵,四、状态转移矩阵的计算,直接求解法：根据定义 标准型法求解：对角线标准型和约当标准型 拉氏反变换法 待定系数法： 凯莱哈密顿定理,2.2 矩阵指数函数状态转移矩阵,求出的解不是解析形式，适合于计算机求解。,1、根据状态转移矩阵的定义求解：,对所有有限的t值来说，这个无穷级数都是收敛的。,2.2 矩阵指数函数状态转移矩阵,2、标准型法求解：,思路：根据状态转移矩阵性质：,对A进行非奇异线性变换，得到：,联立上两式，得到：,有二种标准形式： 对角线矩阵、约当矩阵,2.2 矩阵指数函数状态转移矩阵,其中： T为使A化为对角线标准型的非奇异变换矩阵。,（1）当A的特征值 为两两相异时：对角线标准型,求状态转移矩阵的步骤： 1）先求得A阵的特征值 。 2）求对应于 的特征向量 ，并得到T阵及T的逆阵。 3）代入上式即可得到状态转移矩阵的值。,2.2 矩阵指数函数状态转移矩阵,（2）当A具有n重特征根 ：约当标准型,其中： T为使A化为约当标准型的非奇异变换矩阵。,求矩阵指数函数的步骤：此时的步骤和对角线标准型情况相同：求特征值、特征向量和变换阵T。说明的是：对于所有重特征值 ，构造约当块，并和非重特征值一起构成约当矩阵,根据状态转移矩阵的性质，求得 。,2.2 矩阵指数函数状态转移矩阵,3、待定系数法：将 化为A的有限项多项式来求解：,设nn维矩阵A的特征方程为：,（1）凯莱哈密顿（以下简称C-H）定理：,则矩阵A满足其自身的特征方程，即：,2.2 矩阵指数函数状态转移矩阵,由定理可知：A所有高于(n-1)次的幂都可以由A的0(n-1)次幂线性表出。,并令 即可得到如下的结论：,即：,将此式代入 的定义中：,其中： 为t的标量函数，可按A的特征值确定。,2.2 矩阵指数函数状态转移矩阵,（2）将 化为A的有限项多项式来求解,根据C-H定理，可将 化为A的有限项表达式，即封闭形式： 其中： 为t的标量函数，可按A的特征值确定。,2.2 矩阵指数函数状态转移矩阵,1）A的特征值 两两相异时，,推导：利用了A可化为对角阵的矩阵指数函数求法。,注意：,推导时可以看到：,2.2 矩阵指数函数状态转移矩阵,2）A的特征值为 (n重根）,推导：此时只有一个方程：,缺少n-1个独立方程，故需要对上式求导n-1次，得到其余n-1个方程.,说明：不管特征值互异、还是具有重根，只需要记住式(3)。 对于特征值互异，对于每个特征值，直接得到方程； 对于特征值m重根，则求m-1次导数，补充缺少的m-1个方程， 联立方程可以求出系数。,2.2 矩阵指数函数状态转移矩阵,4、用拉氏变换法求解：,关键是必须首先求出（sI-A）的逆，再进行拉氏反变换。,2.2 矩阵指数函数状态转移矩阵,例：求以下矩阵A的状态转移矩阵,解： 1）直接算法（略）,2.2 矩阵指数函数状态转移矩阵,2）用拉氏变换法求解：,2.2 矩阵指数函数状态转移矩阵,3）用标准型法求解：,得： ，具有互异特征根，用对角线标准型法。且A为友矩阵形式。,先求特征值：,2.2 矩阵指数函数状态转移矩阵,2.2 矩阵指数函数状态转移矩阵,4）用待定系数法求解.,在第3种方法中已经求得特征根，所以得：,求得矩阵指数函数如下：,2.2 矩阵指数函数状态转移矩阵,或者： 由 和 得到： 从而求出系数,2.2 矩阵指数函数状态转移矩阵,例 用凯莱-哈密顿定理计算,解,由凯-哈定理：,所以,2.2 矩阵指数函数状态转移矩阵,A 的特征值为,2.2 矩阵指数函数状态转移矩阵,于是,状态转移矩阵,2.2 矩阵指数函数状态转移矩阵,补充：矩阵 A 可以经过线性变换成为模态形阵，计算,如果矩阵A的特征值为共轭复数经过线性变换，可转换为模态矩阵M,其中,2.2 矩阵指数函数状态转移矩阵,若线性定常系统的非奇次状态方程的解存在，则解形式如下：,一、线性系统的运动规律,初始状态引起的响应，零输入响应,输入引起的响应,零状态响应,说明：与线性定常系统齐次状态方程的解不同，齐次状态方程的解仅由初始状态引起的响应组成。,2.3 线性定常系统非齐次方程的解,证：,1）先把状态方程 写成,3）对上式在 区间内进行积分，得:,2）两边左乘 ，利用 的性质,2.3 线性定常系统非齐次方程的解,系统的运动 包括两个部分。第一部分是输入向量为零时，初始状态引起的，即相当于自由运动。第二部分是初始状态为零时，输入向量引起的，称为强迫运动。正是由于第二部分的存在，为系统提供这样的可能性，即通过选择适当的输入向量 ，使 的形态满足期望的要求。,2.3 线性定常系统非齐次方程的解,例 线性定常系统的状态方程为,2.3 线性定常系统非齐次方程的解,系统的输出方程为,则,或,可见，系统的输出 由三部分组成。当系统状态转移矩阵求出后，不同输入状态向量作用下的系统输出即可以求出，进而就可以分析系统的性能了。,2.3 线性定常系统非齐次方程的解,2.3 线性定常系统非齐次方程的解,解:,2.3 线性定常系统非齐次方程的解,二、特定输入下的状态响应,1、脉冲响应,2、阶跃响应,3、斜坡响应,2.3 线性定常系统非齐次方程的解,线性时变系统方程为,一、时变系统状态方程解的特点,2.4 线性时变方程的解,其解为,注意：只有当 上式才能成立。,齐次状态方程,初始状态为,其中， 是状态转移矩阵，且满足以下方程:,满足初始条件,假设线性时变齐次系统的解具有以下形式，然后加以证明,2.4 线性时变方程的解,二、线性时变齐次矩阵微分方程的解,（1）,证明,（1）式两边对 t 求导,并且 时,即,2.4 线性时变方程的解,1） 满足自身的矩阵微分方程及初始条件，即,2） 可逆性,2.4 线性时变方程的解,三、状态转移矩阵 的基本性质,3） 传递性,4）,2.4 线性时变方程的解,四、线性时变系统非齐次状态方程的解,（证明见书73页）,因此，用级数近似法计算,2.4 线性时变方程的解,五、状态转移矩阵的计算,一般情况下：,解,将 代入计算公式,其中：,2.4 线性时变方程的解,或,2.4 线性时变方程的解,六、系统的输出,系统的齐次状态方程为：,其中，x(k)为n维状态向量,采用迭代法可以求出系统齐次状态方程的解,2.5 离散时间系统状态方程的解,1、线性定常离散系统齐次状态方程的解,若系统初始状态为 ，通过 将其转移到状态 ，故 称为状态转移矩阵。,1） 的基本性质,(1)满足自身的矩阵差分方程及初始条件,(2)传递性,(3)可逆性,2.5 离散时间系统状态方程的解,2、状态转移矩阵,2） 状态转移矩阵的计算,有4种状态转移矩阵的计算方法： 按定义计算； 用z反变换计算； 应用凯-哈定理计算； 通过线性变换计算。,2.5 离散时间系统状态方程的解,仅讨论用以下2种方法来求解线性定常离散系统：1、递推法(迭代法)：适合于线性定常和时变系统；2、Z变换法：仅适合于线性定常系统。,2.5 离散时间系统状态方程的解,给定 时的初始状态x(0) ，及任意时刻 u(k)。,状态方程：,一、递推法,由迭代法得：,初始状态引起的响应,输入引起的响应,2.5 离散时间系统状态方程的解,1）解的表达式的状态轨迹线是状态空间中一条离散轨迹线。它与连续系统状态的解很相似。 解的第一部分只与系统的初始状态有关，它是由起始状态引起的自由运动分量。 解的第二部分是由输入的各次采样信号引起的强迫分量，其值与控制作用u的大小、性质及系统的结构有关。,几点说明：,2.5 离散时间系统状态方程的解,2）在输入引起的响应中，第k个时刻的状态只取决于所有此刻前的输入采样值，与第k个时刻的输入采样值无关。,2.5 离散时间系统状态方程的解,3）与连续时间系统对照，在离散时间系统中，状态转移矩阵定义为 ，有：,利用状态转移矩阵，解可写成：,2.5 离散时间系统状态方程的解,离散系统的状态方程：,对上式两边进行Z变换：,对上式两边进行Z反变换,将上式和迭代法的结果比较,二、Z变换法：,2.5 离散时间系统状态方程的解,得：,证明：,2.5 离散时间系统状态方程的解,求该离散系统在单位阶跃输入下状态方程的解。,例 ：,式中：,给定初始状态为：,已知定常离散时间系统的状态方程为,由于输入为单位阶跃函数，所以：,解：1）迭代法,2.5 离散时间系统状态方程的解,2.5 离散时间系统状态方程的解,由于输入为单位阶跃函数，所以有：,2）Z变换法,x(k)的Z变换为：,将G、H、U(z)、x(0)代入x(k)的Z变换式有:,2.5 离散时间系统状态方程的解,整理得：,上式Z反变换有：,2.5 离散时间系统状态方程的解,计算机所需要的输入和输出信号是数字式的，时间上是离散的； 当采样周期极短时，离散系统可近似地用连续系统特性来描述。,一、问题的提出 1、离散化的必要性,2.6 连续时间状态空间表达式的离散化,2、离散化方法：(采样器+保持器),零阶保持器：将离散信号r*(t)转为阶梯信号u(t),采样器：将连续信号r(t)调制成离散信号r*(t)。,2.5 离散时间系统状态方程的解,2.6 连续时间状态空间表达式的离散化,二、三点基本假设：,1）离散方式是普通的周期性采样。 采样是等间隔进行的，采样周期为T；采样脉冲宽度远小于采样周期，因而忽略不计；在采样间隔内函数值为零值。 2）采样周期T的选择满足香农采样定理。 离散函数可以完满地复原为连续函数的条件为 或 ，其中 为采样频率， 为连续函数频谱的上限频率。 3）保持器为零阶保持器。,2.6 连续时间状态空间表达式的离散化,三、 连续时间系统的离散化模型,离散化模型为：,其中：,线性定常系统：,推导过程：直接从定常系统非齐次状态方程的解中进行离散化,设 代入上式(1)中得到：,2.6 连续时间状态空间表达式的离散化,将这些结果代入（2）式，得到：,2.6 连续时间状态空间表达式的离散化,例：,请建立下列连续时间系统当采样周期为T时的离散化模型。,解：,先求连续系统的状态转移矩阵：,所以：,2.6 连续时间状态空间表达式的离散化,离散化方程的近似形式为：用差商代替微商,其中：G(T)、H(T)、C、D为常矩阵：,说明：采样周期非常小时，这种近似的精度可以接受。,推导过程：仿导数定义，即用,四、近似离散化模型,2.6 连续时间状态空间表达式的离散化,线性时变系统,五、线性时变系统的离散化,2.6 连续时间状态空间表达式的离散化,令 ， ，则,（1）,2.6 连续时间状态空间表达式的离散化,（1）减（3）并且整理后，得到,令：,2.6 连续时间状态空间表达式的离散化,考虑到,于是,省略T，得到,（4）,输出方程离散化，令 ，即可以得到,（5）,2.6 连续时间状态空间表达式的离散化,用MATLAB求解系统方程,1 线性齐次状态方程的解,使用MATLAB可以方便地求出状态方程的解。我们通过例子来说明。,程序执行结果,这表示,2 线性非齐次状态方程的解,例 已知系统状态方程为,程序执行结果为,这表示,3 连续系统状态方程的离散化,在MATLAB中，函数c2d（）的功能就是将连续时间的系统模型转换成离散时间的系统模型。其调用格式为：sysd=c2d(sysc,T,method)。其中，输入参量sysc为连续时间的系统模型；T为采样周期（秒）；method用来指定离散化采用的方法 。,zoh采用零阶保持器；foh采用一阶保持器；tustin采用双线性逼近方法； prewarm采用改进的tustin方法；,matched采用SISO系统的零极点匹配方法；当method为缺省时（即：调用格式为sysd=c2d(sysc,T)时），默认的方法是采用零阶保持器。,例 某线性连续系统的状态方程为,语句执行的结果为,计算结果表示系统离散化后的状态方程为,