多元函数微分学 习题课ppt课件.ppt

第八章 习题课,多元函数微分学,一 基本要求,1 理解二元函数的概念，会求定义域。2 了解二元函数的极限和连续的概念。3 理解偏导数的概念，掌握偏导数及高阶偏导数的求法。4 掌握多元复合函数的微分法。5 了解全微分形式的不变性。6 掌握隐函数的求导法。,7 会求曲线的切线及法平面，曲面的切平面及法线。8 了解方向导数的概念和计算公式。9 了解梯度的概念和计算方法以及梯度与方向导数之间的关系。 10 掌握多元函数无条件极值和条件极值的求法及最大（小）值的求法。,二 要点提示,（一）函数的概念 1.点函数的定义：设 是一个点集，如果对于每一点 变量 按照一定的法则总有确定的值和它对应，则称 是点 的函数，记为,注意 1.从一元函数推广 2.多元函数与一元函数的区别,当 时，,当 时，,为n元函数.,为三元函数；, ,当 时，,为二元函数；,当 时，,为一元函数；,2.多元初等函数： 由多元多项式及基本初等函数经过有限次的四则运算和复合步骤所构成，可用一个式子所表示的函数，称为多元初等函数.一切多元初等函数在其定义区域内是连续的.,1偏导数（1）定义：偏导数是函数的偏增量与自变量增量之比的极限.,（二）偏导数与全微分,（2）计算 求多元函数的偏导数实际上是一元函数的微分法问题，对一个变量求导，暂时将其余变量看作常数.,2全微分,微分公式：,（三）多元函数连续偏导存在与可微之间的 关系一元函数：可导 函数可微， 一元函数：可导 连续， 多元函数：偏导数连续 函数可微 多元函数连续 函数的偏导数存在。,（四）多元函数微分法1多元复合函数求导法,（1）链式法则 链式法则的实质是函数必须对中间变量求导。依据函数的复合结构，可按照“连线相乘，分线相加”的原则来进行.,设则 是 的复合函数.,称为全导数.,求多元复合函数偏导数的关键在于弄清函数的复合结构,它可用“树形图”来表示.,注意：,2隐函数求导法：,设 是由方程所确定的隐函数，则,方法2 隐函数的求导公式：,方法1 对方程两端求(偏)导数，然后解出所求 (偏)导数.,（五）微分法在几何上的应用,则曲线在点 处切向量为,是曲线上一点，其相应的参数为,（1）设空间曲线：,1空间曲线的切线及法平面,曲线在点 处的切线方程为,曲线在点 处的法平面方程为,若曲线的方程表示为,则在点 处切向量为,2曲面的切平面及法线,为曲面上一点,则曲面在点 处,的法向量为,（1）设曲面方程为（隐函数形式）,切平面方程为,法线方程为,（2）若曲面方程为（显函数形式）,曲面上 点的法向量为,则可写为隐函数形式,（六）方向导数与梯度,2计算公式：若 可微，则,其中 为 轴正向到方向 的转角,方向导数的定义,注意: 方向导数存在 偏导数存在,若 可微,则,其中 为方向 的方向角.,3. 梯度： 设 在平面区域D内具有一阶连续偏导数，则对于每一点 ，向量,称为 在点 的梯度。,梯度与方向导数的关系： 梯度的方向与取得最大方向导数的方向一致，而它的模为方向导数的最大值。,（七）函数的极值最大值和最小值,这时称 为驻点。,若 在点 处有极值，则,驻点不一定是极值点,1极值的必要条件：,是极小值；,2充分条件：,设 在驻点 的某邻域内有连续的二阶偏导数，记,(2) 当 时，不是极值；,(1) 当 时， 是极值;,(3) 当 时，不能确定.,是极大值；,3条件极值：,求拉格朗日函数,求条件极值的方法： (1) 可将条件代入函数，转化为无条件极值问题；,的极值.,如函数,下的极值称为条件极值.,在条件,(2) 可以用拉格朗日乘数法：,4函数的最大值和最小值,在实际问题中往往可根据问题本身的性质来判定驻点是否是最值点.,求函数在有界区域上的最大值和最小值的法: 1.求出该函数在内的所有驻点和偏导数不存在的点的函数值; 2.求出在的边界上可能的最大值最小值; 3.比较大小，其中最大者就是最大值，最小者就是最小值.,三 例题分析,（一）求定义域和极限,2.讨论极限,1.,答案:,(2)设 沿直线 趋近于(0,0),故极限不存在.,2. (1) 令,（二） 求偏导数和全微分:,1. 求一阶偏导数及全微分.,1. 求一阶偏导数及全微分.,参考答案,解,7. 设F( x , y)具有连续偏导数,已知方程,解法1 利用隐函数偏导数公式,确定的隐函数,则,故,7. 设F( x , y)具有连续偏导数,已知方程,解法2,对方程 两边求全微分，得,用全微分形式不变性,即,（三）曲线的切线和法平面、曲面的切平面和法线,2.作一平面与直线 垂直且,与球面 相切.,即曲线 ，,法平面方程：,切线方程：,其切向量为,解 方程组 确定隐函数,在点 处的切线方程及法平面方程.,1.求曲线,所求平面的法向量,2.作一平面与直线 垂直且,与球面 相切.,解,所求平面设为,设切点为,方法1,所求平面：,由（切）点到原点的距离公式，有,所求平面,与球面 相切.,则球面的法向量为:,方法2,所求平面的法向量,2.作一平面与直线 垂直且,与球面 相切.,所求方程为,代入曲面，得,解,（四）方向导数和梯度,梯度的模,由题意：要使方向导数=梯度的模，即,须有,说明球心在原点的球面上点沿向径的方向导数最大.,解,（五）多元函数的极值和最大、最小值,解,1.(06,一),综合练习,解 选D.,构造拉格朗日函数,2(03,一),A.不是极值点； B.极大值点；C.极小值点； D.无法判断,因已知极限是1，而分母,解 选A.,3（03,三）,则下列结论正确的是（ ）.,解 选A.,因可微函数必有偏导存在，由极值存在,的必要条件，知,4.已知函数,的全微分,并且,在椭圆域:,上的最大值和最小值.,解,先确定,不是极值点，也非最值点.,说明最值不在椭圆区域 内.,考虑边界曲线 上的情形：,令拉格朗日函数为,解方程组,得可能的极值点,可能的极值点函数值：,内的最大值为3，最小值为2.,可见 在区域,5. 设有一小山,取它的底面所在的平面为,坐标面,其底部所占的区域为,小山的高度函数为,该点沿平面上什么方向的方向导数最大?,若记此方向导数的最大值为,(2)现欲利用此小山开展攀岩活动,为此需要在山脚寻找一上山坡度最大的点作为攀登的起点.也就是说, 需要在D 的边界线,上找出使(1)中的,达到最大值的点,试确定,涉及到：方向导数、梯度和条件极值等概念,攀登起点的位置.,解,沿梯度,方向的方向导数最大，为梯度的模，所以,由方向导数与梯度之间的关系，知,下的最大值点.由拉格朗日乘数法，令,（2）令,则,于是得到四个可能极值点：,则由（3）式得,则由（1）式得,再由（3）式得,式(1)+(2),得,若,若,由于,5. 设 具有二阶偏导数,多元复合函数求偏导例题,参考答案：,同理,解,例1设 求,例2 设 求,解,幂指函数,可与对数求导法对比.,例,幂指函数的求导公式:将幂指函数当作幂函数求导加上将幂指函数当作指数函数求导.,例4 设,解 设 则,例5 设 求,注意区别：,解,例6 设 具有二阶偏导数,这里 仍是以 为中间变量的函数,且与函数有相同的复合结构,故对它们求偏导要按复合函数求导法则.,解 设,记,多元复合函数求偏导的补充练习,二阶可导，求,可导,求,补充题参考答案,解,设,二阶可导，求,解,其中,可导,求,解,解,解2 幂指函数的求导公式：,解1 取对数求导法（隐函数）,