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第三章 复数,根据对虚数单位i的运算规定易知：,1.虚数单位是怎样定义的？,一、基本知识,虚数单位，规定：,（2）实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有的加、乘运算律仍然成立,形如 的数，叫做复数,全体复数所形成的集合叫做复数集，一般用字母C表示 .,2.复数的表示形式是怎样的？,当 时，z 是实数a,当 时，z 叫做虚数,通常用字母 z 表示，即,当 且 时， 叫做纯虚数,例1：实数m取什么值时，复数 是（1）实数？ （2）虚数？ （3）纯虚数？(口答）,解：（1）当 ，即 时，复数z是实数,（2）当 ，即 时，复数z是虚数,（3）当 ，且 ，即 时，复数z 是纯虚数,如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等即如果 ，那么,例2 已知 ，其中 ，求,解：更具复数相等的定义，得方程组,所以,3.两复数相等的充要条件是什么？,x轴叫实轴，y轴叫做虚轴，实轴上的点都表示实数；除了原点O，虚轴上的点都表示纯虚数。象限中的点都表示非纯虚数。,复数z=a+bi复平面内的点Z（a，b）平面向量OZ,4.复数的几何意义是怎样的？,5、复数的加法法则,6、复数的减法法则,（a+bi）-（c+di）=（a-c）+（b-d）i。,注：两个复数相加（减）就是把实部与实部、虚部与虚部分别相加（减），即 （a+bi）（c+di）=（a c） + （bd）i,（a+bi）+（c+di）=（a+c）+（b+d）i,7、复数的乘法,z1z2=(a+bi)(c+di)=,注：1、复数的乘法与多项式的乘法类似，但必须在所得的结果中把i2 换成-1，并把实部与虚部分开。,ac+bci+adi+bdi2,=(ac-bd)+(ad+bc)i,8、复数的除法,（a+bi） （c+di) 或,9、补充概念。,例4： i 2002+( + i)8,(4)复数的模可以比较大小，一般地，两个复数不能比较大小，除非两个复数都是实数才可以比较大小。,例6：实数m取什么值时，复数对应的点（1）位于第一、三象限？（2）位于第四象限？,例7：,（A）1 （B）1 （C）2 （D）2,解：z2z + 10 ， 即(z+1)(z2z+1)0, z1111(z3)370zzz2222(z1111)2z2,，故（A）正确,即z3+10 z31 以下同解法1,例9.如果复数 （其中i为虚数单位，b为实数）的实部和虚部互为相反数，那么b等于A. B. C. D.2,解析： = =22b=b+4，b= .答案：C,例10当 m1时，复数z=(3m2)+(m1)i在复平面上对应的点位于A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限,解析：z对应的点为(3m2，m1)， m1，03m21， m10.答案：D,例11.设f(n)=( )n+( )n(nZ)，则集合xx=f(n)中元素的个数是A.1 B.2 C.3 D.无穷多个,解析：f(n)=in+(i)n，f(0)=2，f(1)=ii=0，f(2)=11=2，f(3)=i+i=0.xx=f(n)=2，0，2.答案：C,例12若复数z满足 ，则 的值为 .,例13 复数z满足z +z+ =3，则z对应点的轨迹是_.,解析：设z=x+yi(x、yR)，则x2+y2+2x=3表示圆.答案：以点（1，0）为圆心，2为半径的圆,典型例题：二、复数几何意义的运用,例15 若 ，则 的最大值为 .,例16 若 ，若使 的最小，求b的值。,例17 设复数z满足 ，试求 的最大值和最小值。,