高等数学方明亮53定积分的换元法和分部积分法课件.ppt

第三节 定积分的换元法和分部积分法,第五章,二、定积分的分部积分法,不定积分,一、定积分的换元法,换元积分法,分部积分法,定积分,换元积分法,分部积分法,9/24/2022,1,第三节 定积分的换元法和分部积分法 第五章 二、定积分,一、定积分的换元法,定理1 设函数,单值函数,满足:,1),2) 在,上,证: 所证等式两边被积函数都连续,因此积分都存在 ,且它们的原函数也存在 .,是,的原函数 ,因此有,则,则,9/24/2022,2,一、定积分的换元法 定理1 设函数单值函数满足:1)2),1) 当 , 即区间换为,定理 1 仍成立 .,2) 必需注意换元必换限 , 原函数中的变量不必代回 .,3) 换元公式也可反过来使用 , 即,或配元,配元不换限,说明:,9/24/2022,3,1) 当 , 即区间换为定理 1 仍成立 .2),解: 令,则, 原式 =,且,例1（补充题）计算,9/24/2022,4,解: 令则 原式 =且例1（补充题）计算9/24/2,解: 令,则, 原式 =,且,例2 （补充题）计算,9/24/2022,5,解: 令则 原式 =且 例2 （补充题）计算9/2,例3 （补充题）计算,解:,9/24/2022,6,例3 （补充题）计算解:9/24/20226,证:,(1) 若,(2) 若,偶倍奇零,例4,9/24/2022,7,证:(1) 若(2) 若偶倍奇零例49/24/20227,奇函数,偶函数,9/24/2022,8,奇函数偶函数9/24/20228,9/24/2022,9,9/24/20229,二、定积分的分部积分法,定理2,则,证:,9/24/2022,10,二、定积分的分部积分法 定理2 则证:9/24/20221,答案为:,答案为:,答案为:,答案为:,答案为:,9/24/2022,11,答案为:答案为:答案为:答案为:答案为:9/24/20221,证: 令,n 为偶数,n 为奇数,则,令,则,例12 证明,9/24/2022,12,证: 令 n 为偶数 n 为奇数则令则例12 证明9/24,由此得递推公式,于是,而,故所证结论成立 .,9/24/2022,13,由此得递推公式于是而故所证结论成立 .9/24/202213,内容小结,基本积分法,换元积分法,分部积分法,换元必换限配元不换限边积边代限,课后练习,习题53 2（偶数题）；3（奇数题）；4；5；7；8,9/24/2022,14,内容小结 基本积分法换元积分法分部积分法换元必换限课后练习习,思考与练习,1.,提示: 令,则,解:,(分部积分),9/24/2022,15,思考与练习1.提示: 令则求2. 设解:(分部积分)9/2,解法1,解法2,对已知等式两边求导,思考:,若改题为,提示: 两边求导, 得,得,3. 设,9/24/2022,16,解法1解法2对已知等式两边求导,思考:若改题为提示: 两边求,证：,是以 为周期的函数.,是以 为周期的周期函数.,4. 证明,9/24/2022,17,证：是以 为周期的函数.是以 为周期的周期函数.4. 证,解：,右端,试证,分部积分积分,再次分部积分,= 左端,5.,9/24/2022,18,解：右端试证分部积分积分再次分部积分= 左端5.9/24/2,