高等数学函数的单调性与极值课件.ppt

复习,1.拉格朗日(Lagrange)中值定理,则至少存在一点,使,2.增减函数的定义：,在某个区间上，,的增大而增大(减小)，,函数值随着自变量,就称函数为增(减)函数.,或,1,复习1.拉格朗日(Lagrange)中值定理如果函数满足：(,3-4 函数的单调性与极值,1、利用导数的符号判断函数的单调性,增函数,切线的倾角为锐角,减函数,切线的倾角为钝角,则，函数单调性的判定定理(充要条件)如下：,一、函数的单调性,2,3-4 函数的单调性与极值1、利用导数的符号判断函数的单调,定理：,证,由拉格朗日中值定理,得,则,定理中的区间换成其它有限或无限区间，,且,则,结论仍然成立.,注意：,3,定理：若有若有证由拉格朗日中值定理,得若有则则在上单调,2、单调区间求法,例1,判定函数,的单调性.,解,则由单调性的判定法可知，,的定义域为,4,2、单调区间求法例1判定函数的单调性.解且等号仅在处成立.则,例2,讨论函数,的单调性.,解,在定义域内连续、可导，,且,令,得,定义：,则单调增加区间是：,单调递减区间是：,5,例2讨论函数的单调性.解在定义域内连续、可导，且令得定义：使,例3,解,确定函数,的单调区间.,则单调增加区间是：,单调递减区间是：,6,例3解确定函数的单调区间.解方程得，则单调增加区间是：单调递,例4,解,确定函数,的单调区间.,导数不存在.,则单调增加区间是：,单调递减区间是：,7,例4解确定函数的单调区间.当时，导数不存在.则单调增加区间是,注意:区间内个别点导数为零,不影响区间的单调性.,例如,求f(x)单调区间(判断单调性)的步骤:,2.求,4.列表判断.,8,注意:区间内个别点导数为零,不影响区间的单调性.例如,求f(,3、利用单调性证明不等式,例5,当,时，,证,令,则,又,即,证明,则得到,9,3、利用单调性证明不等式例5当时，证令则且当时，在上单调增加,证,设,则,有,即,练习：,10,例6当时，试证：证设则有在单调增加，当时，即练习：在上可导，,4、小结,单调性的判别是拉格朗日中值定理的重要应用.,定理中的区间换成其它有限或无限区间，结论仍然,应用：利用函数的单调性可以确定某些方程实,求f(x)单调区间(判断单调性)的步骤,2.求,4.列表判断.,根的个数和证明不等式.,成立.,11,4、小结单调性的判别是拉格朗日中值定理的重要应用.定理中的区,二、函数的极值及其求法,1、函数极值的定义,12,二、函数的极值及其求法1、函数极值的定义12,(1)极值的定义：,如果对适合不等式,如果对适合不等式,极大值、极小值通称为极值.,称为极大点；,极大点、极小点通称为极值点.,(2)极值定义：,极值点定义：,将点,则称,义，,13,(1)极值的定义：设函数在点的某个邻域内有定对于该邻域内异于,注：,极值与最值的区别：,是对整个区间而言，,绝对的、,极值：,最值：,是对某个点的邻域而言、,相对的、可以不是唯一的.,极大值不一定都大于极小值.,如何求极值？,观察图形知：,可导函数极值点的导数是零.,是整体的、,唯一的.,是局部的、,14,注：极值与最值的区别：是对整个区间而言，绝对的、极值：最值,定理1,(必要条件),(费马定理),那么,且在点,处取得极值，,证,只有,存在，,15,定理1(必要条件)(费马定理)设函数在点处可导，那么且在点处,注意1:,如：,可导函数的极值点,驻点,3:,但,函数的驻点却不一定是极值点.,即,是驻点，,也可能是极值点.,如：,连续不可导，,极值点的可疑点：,驻点，不可导点.,却是极小值点.,如：,也不是极值点.,16,注意1:如：可导函数的极值点驻点3:可导函数的极值点一定是它,定理2,(第一充分条件),可导.,到大经过点,时，,若,(1),在,的两侧，,由正变负，,由负变正，,不变号，,左正右负极大,左负右正极小,左右同号无极值,为,17,定理2设连续函数的极值可疑点(第一充分条件)的一个邻域内在可,3.求极值的步骤:,(2)求驻点，,即方程,的根，,以及不可导点；,判断出极值点；,(4)求极值.,说明：,1.定理中的条件“ 连续”很重要，,若不连续，,点.,18,3.求极值的步骤:(1)求定义域，求导数(2)求驻点，即方程,解,列表讨论,极大值,极小值,例1,求出函数,的极值.,令,得驻点：,极大值,极小值,该函数的定义域为,19,解列表讨论极大值极小值例1求出函数的极值.令得驻点：极大值极,图形如下,20,图形如下20,解,令,得,导数不存在.,极小值,不存在,故极大值为：,极小值为：,不存在,极大值,极小值,21,解例2求函数的极值.令得当时，导数不存在.极小值不存在故极大,定理3,(第二充分条件),设,(1)当k是奇数时，,且,在 x0处连续，那么,f(x)在x0的某邻域,内单调增加，,f(x)在x0的某邻域,内单调减少.,(2)当k是偶数时，,x0是f(x)的极小值点；,则x0是f(x)的极值点，,x0是f(x)的,极大值点.,注意使用的条件：,在 x0处连续.,对不可导点不能用.,22,定理3(第二充分条件)设(1)当k是奇数时，且在 x0处连续,证,设,对该邻域内的x,有Tayler公式,若k是奇数，则由上式知，,故f(x)在该邻域内单调增加；,若k是偶数，由Tayler公式知,故x0是f(x)的极小值点.,23,证设则在x0的某邻域内恒大于0，对该邻域内的x,有Tayle,解,例3,求函数,的极值.,单调增加，,极值点.,24,解例3求函数的极值.令得驻点则是极小值. 则的邻域内 单调增,解,令,得驻点：,故极小值,故极大值,故极小值,25,解例4求出函数的极值.令得驻点：故极小值故极大值故极小值25,解,定义域为,令,得,又,知：,极小值,则函数在x=-1的邻域内单调减少，,则函数在x=1的邻域内单调增加.,则该该函数有极小值,26,解定义域为令得又例5求函数的极值.知：极小值则函数在x=-1,观察：,端点的函数值；,极值点的函数值；,不可导点的函数值.,来自于,一.闭区间上连续函数的最值的求法,比较端点驻点不可导点函数值的大小,最大的数,就是最大值,最小的数就是最小值.,27,观察：端点的函数值；极值点的函数值；不可导点的函数值.,解,计算,比较得,最大值是,最小值是,说明,且只有一个驻,点，,它是极大(小)点，,则它一定是最大(小)值点.,解方程,得：,28,解计算比较得,最大值是最小值是说明若在上单调增，则若在上单,如果在开区间内只有一个极值,则这个极大(小)值,就是最大(小)值.,注意：,常用于解决实际问题,极值与最值得区别：,最值是整体概念而极值是局部概念.,29,如果在开区间内只有一个极值,则这个极大(小)值xyoabxy,解,如图.,设截去的小方块边长为x，,则所作成的方盒的容积为,所以解方程,且盒子容积最大是客观存在的，,因此,取得最大值.,即容积最大.,例2,将一块边长为a的正方形铁皮，,小正方形方块，,然后把四边折起来，,为了使这个方盒的容积,最大，问应该截去多少？,从每个角截去同样的,作成一个无盖的,方盒，,x,x,30,解如图.设截去的小方块边长为x，则所作成的方盒的容积为所以解,小结,极值是函数的局部性概念:,驻点和不可导点统称为临界点.,函数的极值必在临界点取得.,判别法,第一充分条件;,第二充分条件.,(注意使用条件),值,极小值可能大于极大值.,极大值可能小于极小,求最值方法：,比较端点驻点不可导点的函数值大小.,31,小结极值是函数的局部性概念:驻点和不可导点统称为临界点.函数,