基本不等式(公开课ppt课件).ppt
基本不等式,这是2002年在北京召开的第24届国际数学家大会会标会标根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热情好客。,思考：这会标中含有怎样的几何图形？,思考：你能否在这个图案中找出一些相等关系或不等关系？,探究1,a,b,1、正方形ABCD的面积S=,、四个直角三角形的面积和S =,、S与S有什么样的不等关系？,探究：,S_S,问：那么它们有相等的情况吗？,重要不等式： 一般地，对于任意实数a、b，我们有,当且仅当a=b时，等号成立。,A,B,C,D,E(FGH),a,b,思考：你能给出不等式 的证明吗？,证明：（作差法）,结论：一般地，对于任意实数a、b，总有 当且仅当a=b时，等号成立,文字叙述为:,两数的平方和不小于它们积的2倍.,适用范围：,a,bR,问题一,问题一,替换后得到：,即：,即：,你能用不等式的性质直接推导这个不等式吗？,问题二,证明：要证,只要证,要证，只要证,要证，只要证,显然, 是成立的.当且仅当a=b时, 中的等号成立.,分析法,问题二,证明不等式：,特别地，若a0，b0，则,通常我们把上式写作：,当且仅当a=b时取等号，这个不等式就叫做基本不等式.,基本不等式,在数学中，我们把 叫做正数a，b的算术平均数， 叫做正数a，b的几何平均数；,文字叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.,适用范围：,a0,b0,你能用这个图得出基本不等式的几何解释吗?,问题三,RtACDRtDCB，,A,B,C,D,E,a,b,O,如图, AB是圆的直径, O为圆心，点C是AB上一点, AC=a, BC=b. 过点C作垂直于AB的弦DE,连接AD、BD、OD.,如何用a, b表示CD? CD=_,如何用a, b表示OD? OD=_,你能用这个图得出基本不等式的几何解释吗?,问题三,如何用a, b表示CD? CD=_,如何用a, b表示OD? OD=_,OD与CD的大小关系怎样? OD_CD,如图, AB是圆的直径, O为圆心，点C是AB上一点, AC=a, BC=b. 过点C作垂直于AB的弦DE,连接AD、BD、OD.,几何意义：半径不小于弦长的一半,A,D,B,E,O,C,a,b,a=b,a=b,两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数,两数的平方和不小于它们积的2倍,a,bR,a0,b0,填表比较：,注意从不同角度认识基本不等式,例1：(1)如图,用篱笆围成一个面积为100m2的矩形菜园,问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短，最短的篱笆是多少？,解：如图设BC=x ，CD=y ，,则xy=100，篱笆的长为2(x+y)m.,当且仅当 时，等号成立,因此，这个矩形的长、宽都为10m时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是40m.,此时x=y=10.,x=y,A,B,D,C,若x、y皆为正数，则当xy的值是常数P时，当且仅当x=y时，x+y有最小值_.,例1：(2)如图，用一段长为36m的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形菜园的长和宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？,解：如图，设BC=x ，CD=y ，,则 2(x + y)= 36 , x + y =18,矩形菜园的面积为xy m2,得 xy 81,当且仅当x=y时，等号成立,因此，这个矩形的长、宽都为9m时， 菜园面积最大，最大面积是81m2,即x=y=9,A,B,D,C,若x、y皆为正数，则当x+y的值是常数S时，当且仅当x=y时，xy有最大值_；,各项皆为正数；和或积为定值；注意等号成立的条件.,一“正”二“定”三“相等”,利用基本不等式求最值时，要注意,变式：如图，用一段长为24m 的篱笆围一个一边靠墙的矩形花园，问这个矩形的长、宽各为多少时，花园的面积最大，最大面积是多少？,解：如图，设BC=x ，CD=y ，,则篱笆的长为,矩形花园的面积为xy m2,A,B,D,C,得 1442xy,当且仅当 时，等号成立,因此，这个矩形的长为12m、宽为6m时，花园面积最大，最大面积是72m2,即 xy 72,即x=12，y=6,x +2y= 24,x=2y,变式：如图，用一段长为24m 的篱笆围一个一边靠墙的矩形花园，问这个矩形的长、宽各为多少时，花园的面积最大，最大面积是多少？,解：如图，设BC=x ，CD=y ，,则篱笆的长为,矩形花园的面积为xy m2,A,B,D,C,x + y不是 定值.,2,=24为,得 2xy 144,当且仅当 时，等号成立,因此，这个矩形的长为12m、宽为6m时，花园面积最大，最大面积是72m2,即 xy 72,即x=12，y=6,x +2y= 24,x=2y,变式：如图，用一段长为24m 的篱笆围一个一边靠墙的矩形花园，问这个矩形的长、宽各为多少时，花园的面积最大，最大面积是多少？,分析：设AB=x ，BC=242x ，,A,B,D,C,变式：如图，用一段长为24m 的篱笆围一个一边靠墙的矩形花园，问这个矩形的长、宽各为多少时，花园的面积最大，最大面积是多少？,解：设AB=x ，BC=242x ，,矩形花园的面积为x(242x) m2,当且仅当2x=242x,即x=6时，等号成立,因此，这个矩形的长为12m、宽为6m时，花园面积最大，最大面积是72m2,(其中2x+(24-2x)=24 是定值),变式：如图，用一段长为24m 的篱笆围一个一边靠墙的矩形花园，问这个矩形的长、宽各为多少时，花园的面积最大，最大面积是多少？,解：设AB=x ，BC=242x ，,矩形花园的面积为x(242x) m2,因此，这个矩形的长为12m、宽为6m时，花园面积最大，最大面积是72m2,当x=6时，函数y取得最小值为72,小结：,求最值时注意把握 “一正，二定，三相等”,2. 利用基本不等式求最值,1. 两个重要的不等式,作 业,课本P100习题3.4 A组 第2、3题,思考题,2. 若 0 x , 求函数 y=x(1-2x) 的最大值.,分析: x+(1-2x) 不是 常数.,2,=1为,当且仅当 时, 取“=”号.,2. 若 0 x , 求函数 y=x(1-2x) 的最大值.,
