等差数列的前n项和ppt课件.ppt
,7.2.4.等差数列的前n项和(二),知识与技能: 通过实例背景引导学生由特殊到一般的方法熟练等差数列前n项和的最值问题 。过程与方法: 掌握数形集合思想方法以及“求平均数”思想的精神实质 。情感态度与价值观: 让学生体验等差数列前n项和与二次函数的关系,感受多角度、多层次解题的方式。,教学目标,学习要求 ,1.通过实例背景引导学生由特殊到一般的方法熟练等差数列前n项和的最值问题 。2.掌握数形集合思想方法以及“求平均数”思想的精神实质 。3.让学生体验等差数列前n项和与二次函数的关系,感受多角度、多层次解题的方式。,复习巩固:1.由和求通项,分析:,导入此数列的通项公式,再由等差数列的定义(或充要条件)判断。,结论:,思考:若数列 为等差数列,它的前n项和是 的形式吗?,探究:,结论:,例1:已知数列an的前n项和Sn12nn2,求数列|an|的前n项和Tn.,当n1时,a1S1121211;当n2时,anSnSn112nn212(n1)(n1)2132n.n1时适合上式,an的通项公式为an132n.由an132n0,得n ,即当1n6(nN*)时,an0;当n7时,an0.,解析:,2.求等差数列的前n项的绝对值之和,(1)当1n6(nN*)时,Tn|a1|a2|an|a1a2an12nn2.,(2)当n7(nN*)时,Tn|a1|a2|an|(a1a2a6)(a7a8an)(a1a2an)2(a1a6)Sn2S6n212n72.,变式探究,1数列an中,a18,a42,且满足an22an1an0,nN*.(1)求数列an的通项;(2)设Sn|a1|a2|an|,求Sn.,(1)由an22an1an0得,2an1anan2,所以数列an是等差数列,d 2,an2n10,nN*.,解析:,当n6,nN*时,,分析:,先由Sn ,求出通项公式,可知前5项为正, 从第6项起又组成一个首项为1,公差为2的等差数列,所以须分类讨论:,说明:,3.等差数列最值问题,说明:,练;等差数列an中,a10,S9S12,该数列前多少项的和最小?,又nN*,n10或n11时,Sn取最小值,分析:,此题可用求Sn的两个要素的常规方法,第2问可用Sn的性质求解,解:,即:前6项和最大,小结:求等差数列an前n项和Sn的最值常用方法:,方法1:二次函数性质法,即求出Sn=an2+bn, 讨论二次函数的性质,方法2:讨论数列an 的通项,找出正负临界项。,(1)若a10,d0,则Sn有大值,且Sn最大时的n,满足an0且an+10;,(2)若a10,则Sn有小值,且Sn最小时的n,满足an0且an+10;,探究:,可以推广,4.等差数列前n项和的性质,解:,在项数为2n+1的等差数列中,奇数项有n+1,偶数项有n项,则奇数项之和,则偶数项之和,等差数列中,分析:利用上面推出的公式,5.等差数列中的an与Sn的关系,等差数列的综合应用,22得4anan2an122an2an1,即(anan1)(anan12)0.an0,anan10, anan12,数列an是首项为1,公差为2的等差数列,an1(n1)22n1.,变式探究,1:若数列an的前n和 那么数列an是等差数列,an是等差数列,小结,一、等差数列与前n项和的关系,2:将等差数列前n项和公式看作是一个关于n的二次函数,当d0时,Sn是常数项为零的二次函数.,特点:,3:一般地,,(1)数列an是等差数列 SnAn2Bn,(2)数列an 的前n项和是SnAn2BnC ,则:,若C0,则数列an是等差数列;,若C0,则数列an从第2项起是等差数列。,4.数列an是等差数列 为等差数列,即等差数列an的前n项的平均值组成的数列仍然是等差数列,且公差是数列an的公差的一半。,二、等差数列前n项和的性质,1:在等差数列an中,每连续k项的和组成的数列,即数列a1a2ak, ak+1ak+2a2k,a2k+1a2k+2a3k, 是等差数列,性质:若数列an是等差数列,那么数列Sk,S2kSk,S3kS2k , 仍然成等差数列,3、在等差数列an中,设S偶a2a4a2n,S奇a1a3a2n1,则S偶S奇与 等于什么?,S偶S奇nd,2、在等差数列an中,Sn,S2n,S3n三者之间有什么关系?,S3n3(S2nSn),4、设等差数列an、bn的前n项和分别为Sn、Tn,则,5、在等差数列an中,求前n项和Sn的最值常用方法,方法2:(1)若a10,d0,则Sn有大值,且Sn最大时的n,满足an0且an+10;,(2)若a10,则Sn有小值,且Sn最小时的n,满足an0且an+10;,方法1:二次函数性质法,即求出Sn=an2+bn, 讨论二次函数的性质,本节课学习的主要内容有:,1、如何利用数列的前n项和 求通项公式,2、等差数列前n项和最值求解,3、等差数列简单性质.,