等差数列前n项和及其性质ppt课件.pptx
,2.3等差数列的前n项和及其性质,1.进一步熟练掌握等差数列的通项公式和前n项和公式；了解等差数列的一些性质.2.掌握等差数列前n项和的最值问题.3.理解an与Sn的关系，能根据Sn求an.,学习目标,等差数列的前n项和公式:,公式一:,公式二:,复习回顾,思考：将等差数列前n项和公式 看作是一个关于n的函数，这个函数 有什么特点？,当d0时,Sn是常数项为零的二次函数,则 Sn=An2+Bn,令,常用常考,等差数列an前n项和的性质,性质1:Sn,S2nSn,S3nS2n, 也成等差数列,公差为,在等差数列an中,其前n项的和为Sn,则有,性质2:(1)若项数为偶数2n,则 S2n=n(a1+a2n)=n(an+an+1) (an,an+1为中间两项),此时有:S偶S奇= ,n2d,nd,理解并识记,识记,性质2:(2)若项数为奇数2n1,则 S2n-1=(2n 1)an (an为中间项), 此时有:S奇S偶= ,性质3: 为等差数列.,an,识记,理解并识记,等差数列的性质应用：,例1、已知一个等差数列前n项和为25， 前2n项的和为100，求前3n项和。,练习：设等差数列an的前n项和为Sn,若S3=9,S6=36,则a7+a8+a9=( )A.63 B.45 C.36 D.27,B,3.等差数列an前n项和的性质的应用,等差数列的性质应用：,探究已知一个等差数列的总项数为奇数， 且奇数项之和为77，偶数项之和为 66，求中间项及总项数。,解：由 中间项,得中间项为11,又由,得,等差数列的前n项的最值问题,例1.已知等差数列an中,a1=13且S3=S11,求n取何值时,Sn取最大值.,解法1,由S3=S11得, d=2,当n=7时,Sn取最大值49.,等差数列的前n项的最值问题,例1.已知等差数列an中,a1=13且S3=S11,求n取何值时,Sn取最大值.,解法2,由S3=S11得,d=20,当n=7时,Sn取最大值49.,则Sn的图象如图所示,又S3=S11,所以图象的对称轴为,7,等差数列的前n项的最值问题,例1.已知等差数列an中,a1=13且S3=S11,求n取何值时,Sn取最大值.,解法3,由S3=S11得,d=2,当n=7时,Sn取最大值49., an=13+(n-1) (-2)=2n+15,由,得,a7+a8=0,等差数列的前n项的最值问题,例1.已知等差数列an中,a1=13且S3=S11,求n取何值时,Sn取最大值.,解法4,由S3=S11得,当n=7时,Sn取最大值49.,a4+a5+a6+a11=0,而 a4+a11=a5+a10=a6+a9=a7+a8,又d=20,a70,a80,例7.设数列an的通项公式为an=2n-7,则|a1|+|a2|+|a3|+|a15|= .,153,等差数列an前n项和的应用,思考已知数列 前n项和 ，（1）求证： 为等差数列；（）记数列 的前项和为 ， 求 的表达式.,n,a,例.若一个等差数列前3项和为34，最后三项和为146，且所有项的和为390，则这个数列共有_项。,课堂小结,1.根据等差数列前n项和，求通项公式.,2、结合二次函数图象和性质求 的最值.,3.等差数列an前n项和的性质,性质1:Sn,S2nSn,S3nS2n, 也在等差数列,公差为,在等差数列an中,其前n项的和为Sn,则有,性质2:若Sm=p,Sp=m(mp),则Sm+p=,性质3:若Sm=Sp (mp),则 Sp+m=,性质4:(1)若项数为偶数2n,则 S2n=n(a1+a2n)=n(an+an+1) (an,an+1为中间两项),此时有:S偶S奇= ,n2d,0,nd, (m+p),性质4:(1)若项数为奇数2n1,则 S2n-1=(2n 1)an (an为中间项), 此时有:S奇S偶= ,两等差数列前n项和与通项的关系,性质6:若数列an与bn都是等差数列,且前n项的和分别为Sn和Tn,则,性质5: 为等差数列.,an,练习. 已知正整数数列 中,前n项和 满足,求证: 为等差数列.,分层训练,练习.已知数列 的首项a,其前n项和sn和an之间的关系满 an,(1) 求证 : 为等差数列；,(2) 求 an的通项公式.,等差数列an前n项和的性质的应用,练习.设等差数列的前n项和为Sn,已知a3=12,S120,S130.(1)求公差d的取值范围;(2)指出数列Sn中数值最大的项,并说明理由.,解:(1)由已知得,等差数列an前n项和的性质,(2) ,Sn图象的对称轴为,由(1)知,由上得,即,由于n为正整数,所以当n=6时Sn有最大值.,Sn有最大值.,练习：已知在等差数列an中,a10=23,a25=-22 ,Sn为其前n项和.,（1）问该数列从第几项开始为负？（2）求S10（3）求使 Sn0的最小的正整数n. (4) 求|a1|+|a2|+|a3|+|a20|的值,作业,P46 A组 5, B组 2,4（选做）,
