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    高等代数 第4章多项式 4.6 重因式与重根ppt课件.ppt

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    高等代数 第4章多项式 4.6 重因式与重根ppt课件.ppt

    2022/12/23,高等代数,定义1:,不可约多项式,称为,的k重因式,如果,而 。,重。,2022/12/23,高等代数,要求,的重因式,只要把,式写出即可。但我们还没有一般的方法把一个多项,的标准分解,式分解为不可约因式的乘积。,因此我们应该找一种直接判断多项式是否有重因式的方法。为此目的要引入多项式导数的概念。,定义2:,的一阶导数指的是多项式:,(形式定义),多项式,2022/12/23,高等代数, ,的k阶导数记为,多项式的求导法则:,1、,2、,3、,4、,2022/12/23,高等代数,定理1.6.1:,若不可约多项式,是,的k重因式(k1),则,是,式,特别多项式,的单因式不是,式。,证:,的k-1重因,的因,2022/12/23,高等代数,推论1:,证:, ,2022/12/23,高等代数,推论2:,证:必要性由推论1立得。,推论3:,2022/12/23,高等代数,推论3表明,判别一个多项式有没有重因式,可以利用辗转相除法得到。,在讨论与解方程有关的问题时,常常要求所讨论多项式有没有重因式。,由定理1得:,故,2022/12/23,高等代数,于是:,2022/12/23,高等代数,2022/12/23,高等代数,例1.6.3:用分离因式法(单因式化法)求多项式,在Q上的标准分解式。,2022/12/23,高等代数,解:,利用辗转相除法求得:,由于,2022/12/23,高等代数,问题:,2022/12/23,高等代数,一、多项式函数,F中的根或零点。,作映射f:,为F上的多项式函数。,2022/12/23,高等代数,若,则,二、余式定理和综合除法,证:由带余除法:设,则 。,2022/12/23,高等代数,问题1、,有没有确定带余除法:,设,中展开后比较方程两边的系数得:,2022/12/23,高等代数,2022/12/23,高等代数,于是得,的商式和余式。,解:由综合除法,因此,2022/12/23,高等代数,1、多项式系数按降幂排列,有缺项必须补上零;,的方幂和。,2022/12/23,高等代数,定理1.7.2(因式定理):,证明:设,以利用综合除法来判断其余数是否为零。,2022/12/23,高等代数,三、多项式的根,的一个k重根。,有重根?,有重因式,但反之不对。,2022/12/23,高等代数,定理1.7.3(根的个数定理):,证明(用归纳法):,2022/12/23,高等代数,证二:对零次多项式结论显然成立,,数等于分解式中一次因式的个数,这个数目当然不,定理1.7.4:,的值相等,则 。,证明:,令,2022/12/23,高等代数,问题3、,是F中任意n个数,能否确定一个n-1次多项,2022/12/23,高等代数,作函数,则,这个公式也称为Lagrange插值公式。,例1.7.3:求一个次数小于3的多项式,使 。,解一(待定系数法):设所求的多项式,2022/12/23,高等代数,由已知条件得线性方程组:,解之得,解二(利用Lagrange公式):,2022/12/23,高等代数,利用Lagrange插值公式可得:,问题4、用形式定义的多项式与用函数观定义的多项式是否一致?,2022/12/23,高等代数,四、多项式相等与多项式函数相等的关系,多项式相等:即,对应项的系数相同;,多项式函数相等:即,定理1.7.5:,相等的充要条件是它们所确定的在F上的多项式函数相等。,证明:,相同,于是对,2022/12/23,高等代数,故这两个多项式函数相等;,令,此即 。,

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