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几个重要的群的结构分析三个极其重要的群。本文讨论了这三个群的相关性质，分析了这三个群之的关系，并讨论了A4等S",AZI中典型的群，得到了一些好的结论。关键词：对称群性质关系定义1非空集合X到自身X的映射称为X的变换,X到X的双射称为X的对称。当X为有限集时，X的对称有称为X的置换，X的所有对称做成的集合关于映射的合成成群，它称为X的对称群，记为SymX,习惯上吧SymX记为S”，显然ISZJ1.=n!。定义2S中所有偶置换所作出的集合，称为A11(n次交错群)。An为S的子群。定义3K4=(1),(12)(34),(13)(24),(14)(23)称为K1.ein四元群。性质1S(n23)为非交换群。证n23时，(12),(13)S，但(12)(13)=(132)(13)(12)=(123)则S(n22)为非交换群。性质2SZJX(12),(13),(1n)>,且S“中阶大于三的元素总是成对出现。证Szj=(123-n),而任一置换都能写成对换之积，且iN1.j71时,(ij)=(1i)(1j)(1i),贝IJSn=<(12),(13),(1n)>0引理1有限群G之子群H在G中之指数等于IGI的最小素因子，则H为G的正规子群。性质3n22时，电：Aj=2证任取定(ab)S',(ab)A中全为奇置换，JA,(ab)A“二巾是显然的。设是S的任一奇置换，<(ab)为偶置换，则(ab)A，故a(ab)Ano这就说明S“二A“U(ab)A是不交并，即S”中奇，偶置换各一半，即ESzj：A=2o性质4A为S”的正规子群，故S均为非单群。证由引理1及性质3,即得A为S”的正规子群。性质5n3时，S的中心只含单位元。证每一个n次对称群Sn都与一个只含0与1的矩阵群Mn同构，而Mn的中心只含单位元，从而当n23时Sn的中心只含单位元。性质6Aw=<(1.23),(124),，(12n)>证当iWj时，(Ij)(Ii)=(Iij),并且当i,j都不为2时又有(Iij)=(12j)(12j)(12i)(12j),而(1i2)=(12i)(12i),这就说A=<(123,(124),(12n)>o性质7A(n4)为单群。性质8k1.ein四元群K为交换群。证K的结构为eabc,则ab=c,ac=b,bc=a,则K为交换群。性质9K是的A,一个可交换子群.证明：令e=(1.),a=(1.2)(34),b=(13)(24),c=(1.4)(23)则a2=b2=c2=e,即(12)(34)2=(13)(24)2=(14)(23)2=(1),且ab=(1.2)(34)(13)(24)=(14)(23),ac=(1.2)(34)(14)(23)=(13)(24),bc=(1.3)(24)(14)(23)=(12)(34)可列出乘法表如下：eabCeeabCaaeCbbbCeaCCbaC性质10k1.ein四元群K为的A,正规子群，亦为的S4的正规子群。证K对A,的指数A4:K=2,所以K是A,的正规子群。因为K是A的一个可交换子群，所以K是S”的子群.任取。S',=(ij)(st)则显然。1=(。(j)(s)(t)K,所以K是的S“正规子群。性质11S,为为非交换群，且其结构只有1、2°,3°,4°,I2,22,3°,4°,1°,22,30,40,1,20,31,4°,1°,2°,3°,4叮。性质124次对称群S,存在且只存在30个子群；其中，除去两个平凡的子群之外，共有9个2阶循环群；4个3阶循环群；3个4阶循环群，4个KIein四元群；4个S3(在同构意义之下)，3个8阶子群以及12阶子群A-2阶子群：H1.=(1.),(12),H2=(1),(13),H3=(1),(14),H4=(1),(23),H5=(1.),(24),H6=(1),(34),H7=(1),(12)(34)H8=(1),(13)(24),H9=(1.),(14)(23)03阶子群：H10=(1.),(123),(132),H1.1.=(1.),(124),(142)；H12=(1.),(134),(143),H13=(1.),(234),(243)04阶子群：H14=(1),(1234),(1234)2=(13)(24),(1234)3=(1234),=(1432),H15=(1.),(1243)2=(14)(23),(1243)3=(1243)“=(1342),H16=(1),(1324)2=(12)(34),(1324)3=(1324)1=(1423),H17=(1.),(12),(34),(12)(34),H18=(1),(13),(24),(13)(24),H19=(1),(14),(23),(14)(23),H20=(1),(12)(34),(13)(24),(14)(23)=Ko6阶子群：H21=(1.),(12),(13),(23),(123),(132),H22=(1.),(12),(14),(24),(124),(142),H23=(1.),(13),(14),(34),(134),(143),H24=(1.),(23),(24),(34),(234),(243)08阶子群：H25=(1.),(13),(24),(1234),(1432),(12)(34),(13)(24),(14)(23),H26=(1.),(14),(23),(1243),(1342),(12)(34),(13)(24),(14)(23),H27=(1.),(12),(34),(1324),(1423),(12)(34),(13)(24),(14)(23)。12阶子群：A4=(1),(123),(124),(134),(132),(142)(143)(234),(243),(12)(34),(13)(24),(14)(23)性质13对称群的正规子群只有(1),S4,A4,K0证明：1.交错群A的指数(G：H)=2,所以A4是5,的正规子群。2.由性质9,K是的正规子群。30设H是S4,A,单位群和K以外的的正规子群，则有：i)H至少含有一个奇置换，若(23)H,有(12)(23)(12尸=(13)H,(13)(23)(B)-1=(12)H,(1234)(13)(1234)-1=(14)H,BPH=(12),(13),(14)(矛盾)。同样可证H不含(12),(13),(14),(24),(34),如果(1234)H,则(12)(1234)(12)=(1324)H,(13)(1234)(13)=(1432)H,(14)(1234)(14)=(1423)H,(23)(1234)(23)=(1324)H,(34)(1234)(34)=(1243)H,但是(1324)(1234)(1234)=(12)H与(12)不属于H矛盾。ii)H至少含有下列的偶置换：(123),(132),(124),(142),(234),(243),(142),(143),但是，若(123)H则(34)(1234)(34),=(12)H故H=(123),(124)=A4,若(234)H,则(132)(234)(132)',=(124)H,(14)(234)(14)',=(123)H,如此可知A4H,而由1.agrage定理，与之间无非平凡子群(矛盾)。因此可得S只有A,和K为非平凡的正规子群。性质14对称群S,关于K的商群S4/K与S3构.证(12)K=(12),(34),(1423),(132),(13)K=(13),(1432),(24),(1234),(23)K=(23),(1234),(1342),(14),(123)K=(123),(234),(142),(132),(132)K=(132),(143),(234),(124)(1)K=(1),(12)(34),(13)(24),(14)(23),易知S4=A4U(12)A-又A4=KU(123)KU(132)K,(12)(123)=(23),(12)(132)=(13),则有S4=A4U(12)KU(13)KU(23)KU(123)K(132)K,对aS3,令。：aK-a,可知。是S/K到S.3上的双射，且aKbKfaK,则。是S/K到S3上的同构映射,因此S/K与S3同构。参考文献：口聂灵沼丁石孙代数学引论(第二版)高等教育出版社2马建萍对称群S”及其正规子群A”，K的若干性质青海师范大学学报3孙自行崔方达四次对称群的子群个数及证明阜阳师范学院学报
