第四章4 弯曲切应力ppt课件.ppt

1,第 4 章3 弯曲应力2,2,4-5 梁横截面上的切应力梁的切应力强度条件,I. 梁横截面上的切应力,1. 矩形截面梁,从发生横力弯曲的梁中取出长为dx的微段，如图所示。,3,由于m-m和n-n上的弯矩不相等，故两截面上对应点处的弯曲正应力s1和s2不相等。因此，从微段中用距离中性层为y且平行于它的纵截面AA1B1B假想地截出的体积元素mB1(图a及图b)，其两个端面mmA1A上与正应力对应的法向内力F*N1和F*N1也不相等。,4,它们分别为,式中， 为面积A*(图b)对中性轴z的静矩； A*为横截面上距中性轴z为y的横线AA1和BB1以外部分的面积(图b中的阴影线部分)。,5,即,由于 ，故纵截面AA1B1B上有切向内力dFS(图b)：,6,为确定离中性轴z为y的这个纵截面上与切向内力dFS对应的切应力t，先分析横截面与该纵截面的交线AA1处横截面上切应力t 的情况：,7,1. 由于梁的侧面为自由表面(图a和图b中的面mABn为梁的侧表面的一部分)，其上无切应力，故根据切应力互等定理可知，横截面上侧边处的切应力必与侧边平行；,2. 对称弯曲时，对称轴y处的切应力必沿y轴方向，亦即与侧边平行。,8,从而对于狭长矩形截面可以假设：,1. 横截面上各点处的切应力均与侧边平行；,2. 横截面上距中性轴等远处的切应力大小相等。,9,于是根据切应力互等定理可知，距中性层为y的纵截面AA1B1B上在与横截面的交线AA1处各点的切应力t 均与横截面正交，且大小相等。至于t 在dx长度内可以认为没有变化。这也就是认为，纵截面AA1B1B上的切应力t 在该纵截面范围内是没有变化的。于是有,10,根据切应力互等定理可知，梁的横截面上距中性轴z的距离为y处的切应力t 必与t 互等，从而亦有,以上式代入前已得出的式子,得,11,矩形截面梁横力弯曲时切应力计算公式,式中，FS为横截面上的剪力；Iz 为整个横截面对于中性轴的惯性矩；b为矩形截面的宽度(与剪力FS垂直的截面尺寸)；Sz*为横截面上求切应力t 的点处横线以外部分面积对中性轴的静矩， 。,上式就是矩形截面等直梁在对称弯曲时横截面上任一点处切应力的计算公式。,12,横截面上切应力的变化规律,前已讲到，等直的矩形截面梁横力弯曲时，在对称弯曲情况下距中性轴等远处各点处的切应力大小相等。现在分析横截面上切应力t 在与中性轴垂直方向的变化规律。,上述切应力计算公式中，FS在一定的横截面上为一定的量，Iz和b也是一定的，可见t 沿截面高度(即随坐标y)的变化情况系由部分面积的静矩Sz*与坐标y之间的关系确定。,13,14,可见：,1. t 沿截面高度系按二次抛物线规律变化； 2. 同一横截面上的最大切应力tmax在中性轴处(y=0):,横截面上的切应力合成剪力,横截面上的剪力产生切应力,关于切应力的两点假设,目标：,距离中性轴为y的直线上各点切应力计算公式,距中性轴等远的各点处切应力大小相等。,1、在AC 段取长为dx的微段,2、分析微段上的应力,3、切开微段分析,4、分析微段的平衡条件,5、计算右侧截面正应力形成的合力,同理,6、微元体的平衡方程,距离中性轴为y的直线上点的切应力计算公式,7、切应力计算公式,各项的物理意义,1、Fs,欲求切应力的点所在截面的剪力；,2、Iz,欲求切应力的点所在截面对中性轴的惯性矩；,3、b,欲求切应力的点处截面的宽度；,4、Sz*,横截面上距离中性轴为y的横线以外部分的面积A1对中性轴的静矩。,8 切应力分布规律,切应力沿截面高度按抛物线规律变化。,中性轴处,最大正应力所在的点,工字形截面梁切应力沿高度的分布规律,计算公式,切应力危险点,中性轴处,最大切应力,腹板上的切应力呈抛物线变化；,腹板部分的切应力合力占总剪力的9597%。,工字形截面的翼缘,翼缘部分的水平切应力沿翼缘宽度按直线规律变化；,翼缘部分的切应力强度计算时一般不予考虑。,并与腹板部分的竖向剪力形成“剪应力流” 。,T形截面梁切应力沿高度的分布规律,计算公式,中性轴处,T形截面梁切应力流,圆形截面梁切应力的分布规律,1、边缘上各点的切应力与圆周相切。,不能假设总切应力与剪力同向；,2、同一高度各点的切应力汇交于一点。,中性轴处,3、竖直分量沿截面宽度均匀分布；,圆形截面梁切应力沿高度的分布规律,计算公式,沿高度呈抛物线规律变化。,圆环截面的最大切应力,切应力的危险点,能否说：“切应力的最大值一定发生在中性轴上”？,当中性轴附近有尺寸突变时,最大切应力不发生在中性轴上；,当中性轴附近没有尺寸突变时,最大切应力发生在中性轴上；,33,某空心矩形截面梁，分别按图a及图b两种方式由四块木板胶合而成。试求在横力弯曲时每一胶合方式下胶合缝上的切应力。梁的横截面上剪力FS已知。并比较哪种胶合方式较合理？,例题 4-12,34,1.图a所示胶合方式，以底板为分离体，由平衡条件，得,z,y,例题 4-12,解:,35,图b所示胶合方式下，由图可知：,z,y,例题 4-12,36,因此，图b所示胶合方式更合理。,例题 4-12,37,2. 工字形截面梁,38,可见腹板上的切应力在与中性轴z垂直的方向按二次抛物线规律变化。,39,(2) 在腹板与翼缘交界处：,在中性轴处：,40,对于轧制的工字钢，上式中的 就是型钢表中给出的比值 ，此值已把工字钢截面的翼缘厚度变化和圆角等考虑在内。,41,(3) 翼缘上的切应力,翼缘横截面上平行于剪力FS的切应力在其上、下边缘处为零(因为翼缘的上、下表面无切应力)，可见翼缘横截面上其它各处平行于FS的切应力不可能大，故不予考虑。分析表明，工字形截面梁的腹板承担了整个横截面上剪力FS的90%以上。,42,但是，如果从长为dx的梁段中用铅垂的纵截面在翼缘上截取如图所示包含翼缘自由边在内的分离体就会发现，由于横力弯曲情况下梁的相邻横截面上的弯矩不相等，故所示分离体前后两个同样大小的部分横截面上弯曲正应力构成的合力 和 不相等，因而铅垂的纵截面上必有由切应力t1构成的合力。,43,根据 可得出,从而由切应力互等定理可知，翼缘横截面上距自由边为u处有平行于翼缘横截面边长的切应力t1，而且它是随u按线性规律变化的。,44,思考题: 试通过分析说明，图a中所示上、下翼缘左半部分和右半部分横截面上与腹板横截面上的切应力指向是正确的，即它们构成了“切应力流”。,例 矩形截面的简支梁受均布荷载作用，分别表示横截面上的正应力和剪应力， 以下结论中错误的是： A）在A点处，=0，=0 B）在B点处，=0，=0 C）在C点处，=0，=0 D）在D点处，=0，=0,A,B,C,D,q,L/2,L/2,D,答：,A,B,C,D,q,L/2,L/2,Q）,M）,A,B,C,D,例 a、b、c是T形截面梁某截面（存在剪力和弯矩）上的三个点，问下列结论哪些是正确的？ 1) a=b 2) a=c 3) bc 4) b=-a 5) b=c,答：4）、5）,z,y,y,y,c,b,a,形心,例 a、b、c是矩形截面梁某截面（存在剪力和弯矩）上的三个点，问下列结论哪些是正确的？ 1) a=b 2) ac 3) b c 4) a=c 5) b=-c,答：1）、5）,z,y,y,y,a,b,c,例 矩形截面简支梁，l=10m，b=100mm，h=200mmm，P=40kN。求m-m截面上距中性轴y=50mm处的剪应力和梁中的最大剪应力，并作m-m截面上剪应力分布图。,A,B,l,P,z,y,b,y,h,o,m,m,x,max=1.5MPa,20kN,20kN,Q),IZ=bh3/12=1002003/12=66.7 106m4SZ*=10050(50+25)=375106m3,y=50mm处的剪应力为： =Q SZ* /(IZb)=20 103 375 106/(100 103 66.7 106)=1.12MPa,最大剪应力：Qmax=20kN, max=3Q/2A=1.5MPa,m-m截面处的剪应力：Qmm=20kN, 截面的上、下边缘处：=0 截面的中间（中性轴）处：max=1.5MPa,例 弯曲正应力与弯曲切应力比较,当 l h 时，smax tmax,52,由56a号工字钢制成的简支梁如图a所示，试求梁的横截面上的最大切应力tmax和同一横截面上腹板上a点处(图b)的切应力t a 。不计梁的自重。,例题 4-13,53,求tmax 梁的剪力图如图c所示，由图可见FS,max=75kN。由型钢表查得56a号工字钢截面的尺寸如图b所示，Iz=65 586 cm4和Iz/S * z,max=47.73cm。d=12.5mm,例题 4-13,解:,54,例题 4-13,55,其中：,于是有：,2. 求ta,例题 4-13,56,腹板上切应力沿高度的变化规律如图所示。,tmax,例题 4-13,57,3. 薄壁环形截面梁,薄壁环形截面梁在竖直平面内弯曲时，其横截面上切应力的特征如图a所示： (1) 由于d r0，故认为切应力t 的大小和方向沿壁厚d 无变化； (2) 由于梁的内、外壁上无切应力，故根据切应力互等定理知，横截面上切应力的方向与圆周相切；,58,(3) 根据与y轴的对称关系可知： (a) 横截面上与y轴相交的各点处切应力为零； (b) y轴两侧各点处的切应力其大小及指向均与y轴对称。,59,薄壁环形截面梁横截面上的最大切应力tmax在中性轴z上，半个环形截面的面积A*=pr0d，其形心离中性轴的距离(图b)为 ，故求tmax时有,60,及,得出：,整个环形截面对于中性轴z的惯性矩Iz可利用整个截面对于圆心O的极惯性矩得到，如下：,61,从而有,式中， A=2pr0d 为整个环形截面的面积。,62,(4) 圆截面梁,圆截面梁在竖直平面内弯曲时，其横截面上切应力的特征如图a所示：认为离中性轴z为任意距离y的水平直线kk上各点处的切应力均汇交于k点和k点处切线的交点O ，且这些切应力沿y方向的分量ty相等。,因此可先利用公式 求出kk上各点的切应力竖向分量ty ，然后求出各点处各自的切应力。,63,圆截面梁横截面上的最大切应力tmax在中性轴z处，其计算公式为,67,II. 梁的切应力强度条件,图a所示受满布均布荷载的简支梁，其最大弯矩所在跨中截面上、下边缘上的C点和D点处于单轴应力状态(state of uniaxial stress) (图d及图e)，故根据这些点对该梁进行强度计算时其强度条件就是按单轴应力状态建立的正应力强度条件,68,该梁最大剪力所在两个支座截面的中性轴上E和F点，通常略去约束力产生的挤压应力而认为其处于纯剪切应力状态 (shearing state of stress ) (图f及图g)，从而其切应力强度条件是按纯剪切应力状态建立的，即梁的切应力强度条件为,亦即,式中，t 为材料在横力弯曲时的许用切应力。,69,梁在荷载作用下，必须同时满足正应力强度条件和切应力强度条件。在选择梁的截面尺寸时，通常先按正应力强度条件定出截面尺寸，再按切应力强度条件校核。,70,图a所示梁，其既有剪力又有弯矩的横截面m-m上任意点G和H处于如图h及图i所示的平面应力状态(state of plane stress)。,71,需要指出，对于工字钢梁如果同一横截面上的弯矩和剪力都是最大的(图a、b、c)(或分别接近各自的最大值) 则该截面上腹板与翼缘交界点处由于正应力和切应力均相当大 (图d)，因此处于平面应力状态(图e)。这样的点必须进行强度校核。,72,但要注意，这时不能分别按正应力和切应力进行强度校核，而必须考虑两种应力的共同作用，见第七章中例题7-7。,73,此外，在最大弯矩所在横截面上还有剪力的情况，工字钢翼缘上存在平行于翼缘横截面边长的切应力，因此最大弯曲正应力所在点处也还有切应力，这些点事实上处于平面应力状态，只是在工程计算中对于它们通常仍应用按单轴应力状态建立的强度条件。,切应力强度条件,对于等宽度截面， 发生在中性轴上；,在进行梁的强度计算时，需注意以下问题：,（1）对于细长梁的弯曲变形，正应力的强度条件是主要的，剪应 力的强度条件是次要的。,对于宽度变化的截面， 不一定发生在中性轴上。,一般情况下，,以正应力设计为主，,切应力校核为辅；,(2) 对于较粗短的梁，当集中力较大时，,注意,(4) 薄壁截面梁时，也需要校核切应力。,截面上的剪力较大，需要校核切应力强度条件。,(3) 载荷离支座较近时，,截面上的剪力较大；,(5) 木梁顺纹方向，抗剪能力较差;,(6) 工字形截面梁，要进行切应力校核;,（7）正应力的最大值发生在横截面的上下边缘，,该处的切应力为零；,切应力的最大值发生在中性轴上，,该处的正应力为零。,对于横截面上其余各点，同时存在正应力、切应力。,这些点的强度计算，应按强度理论进行计算。,注意,77,一简易吊车的示意图如图a所示，其中F=30 kN，跨长 l=5 m。吊车大梁由20a号工字钢制成，许用弯曲正应力s=170 MPa，许用切应力t=100 MPa。试校核梁的强度。,例题 4-14,78,1. 校核正应力强度。吊车梁可简化为简支梁(图b)。,荷载移至跨中C截面处(图b)时梁的横截面上的最大弯矩比荷载在任何其它位置都要大。荷载在此最不利荷载位置时的弯矩图如图c所示，,例题 4-14,解:,79,由型钢规格表查得20a号工字钢的Wz=237cm3。梁的最大弯曲正应力为,例题 4-14,80,2. 校核切应力强度。 荷载移至紧靠支座A处(图d)时梁的剪力为最大。此时的约束力FAF，相应的剪力图如图e所示。FS,max=FA=30kN,对于20a号钢，由型钢规格表查得：,例题 4-14,81,于是有,由于梁的正应力和切应力强度条件均能满足，所以该梁是安全的。,(e),例题 4-14,82,简支梁在移动荷载F作用下，全梁弯矩为最大时，F力的最不利位置，可用如上所述的由经验来判断。也可用公式推导，即,例题 4-14,83,例：截面为三块矩形截面叠加而成(胶合成一体)的梁,胶 =3.4MPa，求：Fmax及此时的max。若截面为自由叠合，max的值又为多大。,F,解：1、确定 Fmax,2、确定max,3、自由叠合时的max,x,x,Fs,M,F,-F*1,悬臂梁由三块木板粘接而成。跨度为1m。胶合面的许可切应力为0.34MPa，木材的= 10 MPa，=1MPa，求许可载荷。,1.画梁的剪力图和弯矩图,2.按正应力强度条件计算许可载荷,3.按切应力强度条件计算许可载荷,解：,例,4.按胶合面强度条件计算许可载荷,5.梁的许可载荷为,例10 图示梁由两根木料胶合而成，已知木材的容许正应力=10MPa，容许切应力=1.0MPa ，胶缝的容许切应力1 =0.4MPa，试确定容许荷载集度q。,A,B,3m,FA=1.5q,FB=1.5q,z,100,100,50,M图,Fs图,1.5q,1.125q,解：求支座反力；,画剪力图与弯矩图；,按正应力强度条件确定容许荷载；,A,B,3m,FA=1.5q,FB=1.5q,100,100,50,M图,Fs图,1.5q,1.5q,z,按切应力强度条件确定容许荷载；,1.125q,A,B,3m,FA=1.5q,FB=1.5q,100,100,50,M图,Fs图,1.5q,1.5q,z,1.125q,按胶缝切应力强度条件确定容许荷载；,例11 图示圆截面梁，直径d=200mm，材料的容许正应力=10MPa，容许切应力=2MPa 。试校核该梁的强度。,A,B,3m,1m,FA=5kN,d,FB=10kN,解：求支座反力；,画剪力图和弯矩图；,Fs图,M图,5kN,3kN,7kN,1.25m,3kN.m,3.125kN.m,最大正应力发生在距A 端1.25m截面的上下边缘；,最大切应力发生在B 的左截面的中性轴上。,A,B,3m,1m,FA=5kN,d,FB=10kN,Fs图,M图,5kN,3kN,7kN,1.25m,3kN.m,3.125kN.m,此梁安全。,91,例：圆形截面梁受力如图所示。已知材料的许用应力=160MPa，=100MPa，试求最小直径dmin。,92,解：,由正应力强度条件：,由剪应力强度条件：,例 铸铁梁的截面为T字形，受力如图。已知材料许用拉应力为 ，许用压应力为 ， 。试校核梁的正应力强度和剪应力强度。若将梁的截面倒置，情况又如何？,200mm,约束反力：,解：,（1）确定中性轴的位置,最大静矩：,（2）绘剪力图、弯矩图,约束反力：,(+),(-),(-),20KN,10KN,10KN,由 、 知：,（3）正应力强度校核,对于A截面：,对于D截面：,正应力强度足够。,因此,（4）剪应力强度校核,在A截面：,剪应力强度足够。,y,z,h,b,解： （1）横截面的切应力为：,例5结构如图，试证明： （1）任意横截面上的切应力的合力等于该面的剪力； （2）任意横截面上的正应力的合力矩等于该面的弯矩； （3）过高度中点做纵截面，那么，此纵截面上的切应力的 合力由哪个力来平衡？,q,100,(2) 横截面上的合剪力为：,(3) 合力偶,101,(4)中面上的切应力为：,纵面上的合剪力与右侧面的正应力的合力平衡。,(5) 纵截面上的合剪力大小为：,1、求图示梁上1-1截面上、二点的切应力，及梁内最大的切应力。,2、求图示梁内最大正应力、最大切应力，并画出正应力与切应力的分布规律。,3、矩形截面简支梁由三根宽为150、高为60的矩形板胶合而成。已知胶合面上的许用剪应力为 胶合0.5MP，梁的许用应力为：10MP， 2MP。校核梁的强度。,4、矩形截面简支梁24100，许用剪应力为60MP，校核梁的剪切强度。,5、P200KN，均布载荷的集度为q=10KN/m，梁的跨度为L2米，集中力到支座的距离a0.2米。梁的许用应力为：160MP， 100MP，选择工字钢型号。,6、矩形截面简支梁24100，梁的许用应力为：120MP，许用剪应力为 100MP，校核梁的强度。,7、矩形截面简支梁，高：宽3：2，梁的许用应力为：8MP， 0.7MP，设计矩形截面的尺寸、。,8、矩形截面简支梁，宽50，高160，梁的许用应力为：MP， 1MP，求梁的许可载荷。,110,4-6 梁的合理设计,I. 合理配置梁的荷载和支座,111,112,II. 合理选取截面形状,(1) 尽可能使横截面上的面积分布在距中性轴较远处，以使弯曲截面系数Wz增大。,由四根100 mm80 mm10 mm不等边角钢按四种不同方式焊成的梁(角钢的长肢均平放，故四种截面的高度均为160 mm)，他们在竖直平面内弯曲时横截面对于中性轴的惯性矩Iz和弯曲截面系数Wz如下：,113,图a所示截面,图b所示截面,图c所示截面,图d所示截面,选择合理的梁截面,1、根据抗弯截面系数与截面面积 比值Wz /A选择截面,高h、宽b的矩形截面,直径为h的圆形截面,高h的工字形、槽形截面,比较：具有同样高度h的矩形、圆形和工字形（或槽形）截面的Wz /A值。,抗弯截面系数越大，梁能承受载荷越大；横截面积越小，梁使用的材料越少。综合考虑梁的安全性与经济性，可知Wz /A值越大，梁截面越合理。因此这三种截面的合理顺序是：工字形与槽形截面 矩形截面， 圆形截面。,116,(2) 对于由拉伸和压缩许用应力值相等的材料 (例如建筑用钢) 制成的梁，其横截面应以中性轴为对称轴。对于在压缩强度远高于拉伸强度的材料(例如铸铁)制成的梁，宜采用T形等对中性轴不对称的截面，并将其翼缘置于受拉一侧，如下图。,117,为充分发挥材料的强度，最合理的设计为,因,即,118,III. 合理设计梁的外形,可将梁的截面高度设计成考虑各截面弯矩大小变化的变截面梁；若使梁的各横截面上的最大正应力都相等，并均达到材料的许用应力，则这种变截面梁称为等强度梁。,采用变截面梁,变截面梁：梁的截面沿梁轴变化的梁。,等强度梁：理想的变截面梁是使所有横截面上的最大弯曲正应力均相同，并且等于许用应力。,例：如图所示的悬臂梁，自由端作用有集中力F，下面讨论该梁的等强度梁截面形状。,悬臂梁的弯矩函数为：,选取梁截面为矩形，宽度为常量b，高度可变，设为h(x)，则,所以截面高度沿轴线按抛物线规律变化，如图b所示。,悬臂梁的弯矩函数为：,按梁弯曲正应力强度条件设计梁截面，等强度梁是理想状态，考虑到生产工艺，工程实际常采用近似的等强度梁，如图所示的汽车板簧即为应用实例。,提高弯曲强度的措施,1、合理布置支座,一、 降低 Mmax,2、合理布置载荷,降低 Mmax,安装齿轮,靠近轴承一侧；,3、集中力分散,降低 Mmax,二、梁的合理截面,增大抗弯截面系数,截面面积几乎不变的情况下，,截面的大部分分布在远离中性轴的区域,1、合理设计截面,抗弯截面系数WZ越大、横截面面积A越小，,截面越合理。,来衡量截面的经济性与合理性,合理截面,合理截面,伽利略1638年关于两种新科学的对话和证明,“空心梁能大大提高强度，而无须增加重量，,所以在技术上得到广泛应用。,在自然界就更为普遍了，,这样的例子在鸟类的骨骼和各种芦苇中可以看到，,它们既轻巧而又对弯曲和断裂具有相当高的抵抗能力。“,矩形截面中性轴附近的材料未充分利用，工字形截面更合理。,根据应力分布的规律：,解释,合理截面,合理截面要求上下危险点同时达到各自的许用应力。,对于塑性材料,宜设计成关于中性轴对称的截面,对于脆性材料,宜设计成关于中性轴不对称的截面,且使中性轴靠近受拉一侧。,2、合理放置截面,竖放比横放更合理。,为降低重量，可在中性轴附近开孔。,三、等强度梁,工程中的等强度梁,工程中的等强度梁,工程中的等强度梁,2、T型铸铁梁，承受正弯矩的条件下，下列哪一种放置中，强度最高？,讨论,1、梁发生平面弯曲时，横截面绕 旋转A：轴线； B：中性轴； C：横截面对称轴；,3、EA均相同，哪一个截面承担的最大弯矩M最大？,4、铸铁梁有四种截面形式，C为截面形心，y1/y2=2，最佳形状为： 。,5、T型截面铸铁梁，受主动力偶M作用，从强度的角度看，如何放置？阐述原因。,7、弯曲时，梁的横截面中性轴过形心。对吗？,6、从哪些方面考虑提高梁的承载力？,8、梁在横力弯曲时，横截面上 。A：正应力不等于零，剪应力等于零； B：正应力等于零，剪应力不等于零；C：正应力、剪应力均不等于零； D：正应力、剪应力均等于零；,9、材料、横截面均相同的两梁，变形后轴线为两个同心圆，那么，最大弯曲正应力哪一个大？,11、用一块板与4块不等边角钢组成复合型截面梁，请画出合理截面的组合形式。,10、梁的某段承受正弯矩时，靠近顶面或底面的纵向纤维分别： 。,12、简支梁材料为普通碳钢，承受均布载荷，采用 截面形式最合理。如果材料为铸铁，哪种截面合理？为什么？,13、等强度梁各个横截面上的 。A：最大正应力相等； B：最大正应力相等且等于许用正应力；C：最大剪应力相等 ；D：最大剪应力相等且等于许用剪应力；,14、厂房中的“鱼腹梁”是根据简支梁上 而设计的等强度梁。 A：受集中力、截面宽度不变 B：受均布力、截面宽度不变；C：受集中力、截面高度不变 D：受均布力、截面高度不变；,15、悬臂梁受力后与大半径刚性圆柱面贴合，从此后随力P的增加，梁内弯矩 。,A：上升；B：下降；C：不变；,小结,1、了解梁纯弯曲正应力的推导方法,2、熟练掌握弯曲正应力的计算、弯曲正应力强度条件及其应用,4、了解提高梁弯曲强度的主要措施,3、掌握弯曲切应力的计算公式、强度条件及其应用,149,I-3 惯性矩和惯性积的平行移轴公式组合 截面的惯性矩和惯性积,工程中常遇到由基本图形构成的组合截面，例如下面例题中所示的两种横截面。当对组合截面杆件计算在外力作用下的应力和变形时需要求出它们对于形心轴x、y (本节中的x轴就是以前我们所用的z轴) 的一些几何性质，例如：,惯性矩 (moment of inertia),惯性积 (product of inertia),150,在已知构成组合截面的每一图形对于通过其自身形心且平行于组合截面某个轴(例如x轴)的惯性矩时，组合截面的惯性矩可利用平行移轴公式求得。组合截面对于某对相互垂直的轴(例如x、y轴)的惯性积也可类似地求得。,x,151,已知任意形状的截面(如图)的面积A以及对于形心轴xC和yC的惯性矩 及惯性积 ，现需导出该截面对于与形心轴xC ， yC平行的x轴和y轴的惯性矩Ix，Iy和惯性积Ixy。截面的形心C在x，y坐标系内的坐标为,I. 惯性矩和惯性积的平行移轴公式,152,注意到xC轴为形心轴，故上式中的静矩SxC等于零，从而有,因截面上的任一元素dA在x，y坐标系内的坐标为,于是有,153,同理可得,以上三式就是惯性矩和惯性积的平行移轴公式。需要注意的是式中的a、b为坐标，有正负，应用惯性积平行移轴公式时要特别注意。,154,II. 组合截面的惯性矩及惯性积,若组合截面由几个部分组成，则组合截面对于x，y两轴的惯性矩和惯性积分别为,x,155,试求图a所示截面对于x轴的惯性矩Ix ，对于y轴的惯性矩Iy ，以及对于x、y轴的惯性积Ixy 。,例题 4-15,156,将截面看作由一个矩形和两个半圆形组成，半圆形的形心位置如图b所示。,例题 4-15,157,1. 求Ix,设矩形对x轴的惯性矩为 ，每个半圆形对x轴的惯性矩为 ，则有,其中：,例题 4-15,解:,158,至于 则需先求出半圆形对其自身形心轴的惯性矩。根据平行移轴公式可得 ，而半圆形对于直径轴x(图b)的惯性矩等于圆形对x轴的惯性矩pd 4/64的一半，即 于是得,例题 4-15,159,然后再利用平行移轴公式求半圆形对x轴的惯性矩：,将 d = 80 mm，a = 100 mm 代入后得,从而得图a所示截面对x轴的惯性矩为,例题 4-15,160,2. 求Iy,此组合截面的y轴就是矩形和半圆形的形心轴，故不必应用平行轴公式,所以,将 d = 80 mm，a = 100 mm 代入后得,例题 4-15,161,3. 求 Ixy,由 可知，只要x 轴或y 轴为截面的对称轴，则由于与该轴对称的任何两个面积元素dA的惯性积xydA数值相等而正负号相反，致使整个截面的惯性积必定等于零。图a所示截面的x 轴和y 轴都是对称轴，当然Ixy=0。,例题 4-15,162,图示组合截面由一个25c号槽钢截面和两个90 mm90 mm12 mm等边角钢截面组成。试求此截面分别对于形心轴x和y的惯性矩Ix 和 Iy 。,例题 4-16,163,90 mm90 mm12 mm等边角钢截面,形心位置如图所示,形心位置如图所示,1. 求组合截面的形心位置,由型钢规格表查得：25c号槽钢截面,例题 4-16,解:,164,组合截面的形心C在对称轴x上。以两个角钢截面的形心连线为参考轴,只需求组合截面形心C以该轴为基准的横坐标 ：,例题 4-16,165,于是有,例题 4-16,166,2. 利用平行移轴公式求Ix和Iy,槽钢截面对x轴和y轴的惯性矩为,例题 4-16,167,角钢截面对x轴和y轴的惯性矩为,例题 4-16,168,于是有组合截面对于两主轴x轴和y轴的惯性矩分别为,顺便指出，该组合截面的x轴为对称轴，因此截面对于x、y轴的惯性积Ixy等于零。,例题 4-16,169,思考: 图示为两根同一型号的槽钢截面组成的组合截面。已知每根槽钢截面面积A，每根槽钢截面对于自身形心轴y0的惯性矩 以及通过槽钢截面腹板外侧的轴y1的惯性矩 ，试问是否可用下列两式中的任何一式求组合截面对于y轴的惯性矩Iy ，并说明理由：,175,第四章结束,