高等数学三重积分ppt课件.ppt

,第三节,一、三重积分的概念,二、三重积分的计算,三重积分,第十章,一、三重积分的概念,类似二重积分解决问题的思想, 采用,引例: 设在空间有限闭区域 内分布着某种不均匀的,物质,求分布在 内的物质的,可得,“分割作近似，求和取极限！”,解决方法:,质量 M .,密度函数为,定义. 设,存在,称为体积元素,若对 作任意分割:,任意取点,则称此极限为函数,在 上的三重积分.,在直角坐标系下常写作,三重积分的性质与二重积分相似.,性质:,例如,下列“乘,中值定理.,在有界闭域 上连续,则存在,使得,V 为 的,体积,积和式” 极限,二、三重积分的计算,1. 利用直角坐标计算三重积分,方法1 . 投影法 (“先一后二”),方法2 . 截面法 (“先二后一”),然后，结合二重 积分的方法即可转化为三次积分。,先假设连续函数,最后, 推广到一般可积函数的定积分计算.,这里只叙述三重积分转化为三次积分的方法:,方法1. 投影法 (“先一后二” ),则有：,方法2. 截面法 (“先二后一”),则有：,投影法,三次积分的转化方法：,设区域,利用投影法结果 ,把二重积分化成二次积分即得:,当被积函数在积分域上变号时, 因为,均为为非负函数,根据重积分性质仍可用前面介绍的方法计算.,其中 为三个坐标,例1. 计算三重积分,所围成的闭区域 .,解:,面及平面,例2. 计算三重积分,解:,用“先二后一 ”,小结: 直角坐标下三重积分的计算方法,方法1. “先一后二”,方法2. “先二后一”,注：“三次积分”的计算：,2. 利用柱面坐标计算三重积分,就称为点M 的柱面坐标.,直角坐标与柱面坐标的关系:,坐标面分别为,圆柱面,半平面,平面,如图所示, 在柱面坐标系中体积元素为,因此,其中,适用范围:,1) 积分域表面用柱面坐标表示时方程简单 ;,2) 被积函数用柱面坐标表示时变量互相分离.,其中 为,例3. 计算三重积分,所,解: 在柱面坐标系下,及平面,由柱面,围成半圆柱体.,例4. 计算三重积分,解: 在柱面坐标系下,所围成 .,与平面,其中 由抛物面,原式 =,3. 利用球面坐标计算三重积分,就称为点M 的球面坐标.,直角坐标与球面坐标的关系,坐标面分别为,如图所示, 在球面坐标系中体积元素为,因此有,其中,适用范围:,1) 积分域表面用球面坐标表示时方程简单;,2) 被积函数用球面坐标表示时变量互相分离.,例5. 计算三重积分,解: 在球面坐标系下,所围立体.,其中,与球面,内容小结,积分区域多由坐标面,被积函数形式简洁, 或,变量可分离.,围成 ;,1. 将,用三次积分表示,其中 由,所,提示:,思考与练习,六个平面,围成 ,1. 设 由锥面,和球面,所围成 , 计算,提示:,利用对称性,用球坐标,思考与练习,2. 计算,其中,解:,利用对称性,