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实例1 （求曲边梯形的面积）,一、问题的提出,用矩形面积近似取代曲边梯形面积,显然，小矩形越多，矩形总面积越接近曲边梯形面积,（四个小矩形）,（九个小矩形）,观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系,播放,曲边梯形如图所示，,曲边梯形面积的近似值为,曲边梯形面积为,实例2 （求变速直线运动的路程）,思路：把整段时间分割成若干小段，每小段上速度看作不变，求出各小段的路程再相加，便得到路程的近似值，最后通过对时间的无限细分过程求得路程的精确值,（1）分割,（2）求和,（3）取极限,路程的精确值,二、定积分的定义,定义,记为,积分上限,积分下限,积分和,注意：,定理1,定理2,三、存在定理,曲边梯形的面积,曲边梯形的面积的负值,四、定积分的几何意义,几何意义：,例1 利用定义计算定积分,解,例2 利用定义计算定积分,解,证明,利用对数的性质得,极限运算与对数运算换序得,故,五、小结,定积分的实质：特殊和式的极限,定积分的思想和方法：,求近似以直（不变）代曲（变）,取极限,思考题,将和式极限：,表示成定积分.,思考题解答,原式,练 习 题,练习题答案,观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系,观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系,观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系,观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系,观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系,观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系,观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系,观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系,观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系,观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系,观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系,观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系,观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系,观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系,观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系,对定积分的补充规定:,说明,在下面的性质中，假定定积分都存在，且不考虑积分上下限的大小,一、基本内容,证,（此性质可以推广到有限多个函数作和的情况）,性质1,证,性质2,补充：不论 的相对位置如何, 上式总成立.,例 若,（定积分对于积分区间具有可加性）,则,性质3,证,性质4,性质5,解,令,于是,性质5的推论：,证,（1）,证,说明： 可积性是显然的.,性质5的推论：,（2）,证,（此性质可用于估计积分值的大致范围）,性质6,解,解,证,由闭区间上连续函数的介值定理知,性质7（定积分中值定理）,积分中值公式,使,即,积分中值公式的几何解释：,解,由积分中值定理知有,使,定积分的性质,（注意估值性质、积分中值定理的应用）,典型问题,（）估计积分值；,（）不计算定积分比较积分大小,二、小结,思考题,思考题解答,例,练 习 题,练习题答案,变速直线运动中位置函数与速度函数的联系,变速直线运动中路程为,另一方面这段路程可表示为,一、问题的提出,考察定积分,记,积分上限函数,二、积分上限函数及其导数,积分上限函数的性质,证,由积分中值定理得,补充,证,例1 求,解,分析：这是 型不定式，应用洛必达法则.,证,证,令,定理2（原函数存在定理）,定理的重要意义：,（1）肯定了连续函数的原函数是存在的.,（2）初步揭示了积分学中的定积分与原函数之间的联系.,定理 3（微积分基本公式）,证,三、牛顿莱布尼茨公式,令,令,牛顿莱布尼茨公式,微积分基本公式表明：,注意,求定积分问题转化为求原函数的问题.,例4 求,原式,例5 设 , 求 .,解,解,例6 求,解,由图形可知,例7 求,解,解 面积,3.微积分基本公式,1.积分上限函数,2.积分上限函数的导数,四、小结,牛顿莱布尼茨公式沟通了微分学与积分学之间的关系,思考题,思考题解答,练 习 题,练习题答案,定理,一、换元公式,证,应用换元公式时应注意:,（1）,（2）,例1 计算,解,令,例2 计算,解,例3 计算,解,原式,例4 计算,解,令,原式,证,奇函数,例6 计算,解,原式,偶函数,单位圆的面积,证,（1）设,（2）设,几个特殊积分、定积分的几个等式,定积分的换元法,二、小结,思考题,解,令,思考题解答,计算中第二步是错误的.,正确解法是,练 习 题,练习题答案,推导,一、分部积分公式,例1 计算,解,令,则,例2 计算,解,例3 计算,解,例4 设 求,解,例5 证明定积分公式,证,设,积分 关于下标的递推公式,直到下标减到0或1为止,于是,定积分的分部积分公式,二、小结,（注意与不定积分分部积分法的区别）,思考题,思考题解答,练 习 题,练习题答案,一、问题的提出,计算定积分的方法：,(1) 求原函数；,问题：,(1) 被积函数的原函数不能用初等函数表示；,(2) 被积函数难于用公式表示，而是用图形或表格给出的；,(3) 被积函数虽然能用公式表示，但计算其原函数很困难,(2) 利用牛顿莱布尼茨公式得结果,解决办法：建立定积分的近似计算方法,常用方法：矩形法、梯形法、抛物线法,思路：,二、矩形法,则有,则有,三、梯形法,梯形法就是在每个小区间上，以窄梯形的面积近似代替窄曲边梯形的面积，如图,例,解,相应的函数值为,列表:,利用矩形法公式（），得,利用矩形法公式（），得,利用梯形法公式（），得,实际上是前面两值的平均值，,四、抛物线法,因为经过三个不同的点可以唯一确定一抛物线,于是所求面积为,例,对如图所示的图形测量所得的数据如下表所示,用抛物线法计算该图形的面积 .,解,根据抛物线公式(4)，得,五、小结,求定积分近似值的方法：,矩形法、梯形法、抛物线法,注意：对于以上三种方法当取得越大时近似程度就越好,练 习 题,练习题答案,一、无穷限的广义积分,例1 计算广义积分,解,例2 计算广义积分,解,证,证,二、无界函数的广义积分,定义中C为瑕点，以上积分称为瑕积分.,例5 计算广义积分,解,证,例7 计算广义积分,解,故原广义积分发散.,例8 计算广义积分,解,瑕点,无界函数的广义积分（瑕积分）,无穷限的广义积分,（注意：不能忽略内部的瑕点）,三、小结,思考题,积分 的瑕点是哪几点？,思考题解答,积分 可能的瑕点是,不是瑕点,的瑕点是,练 习 题,练习题答案,第五章习题课,问题1:曲边梯形的面积,问题2:变速直线运动的路程,存在定理,广义积分,定积分,定积分的性质,定积分的计算法,牛顿-莱布尼茨公式,一、主要内容,1、问题的提出,实例1 （求曲边梯形的面积A）,实例2 （求变速直线运动的路程）,方法:分割、求和、取极限.,2、定积分的定义,定义,记为,可积的两个充分条件：,定理1,定理2,3、存在定理,4、定积分的性质,性质1,性质2,性质3,性质5,推论：,（1）,（2）,性质4,性质7 (定积分中值定理),性质6,积分中值公式,5、牛顿莱布尼茨公式,定理1,定理2（原函数存在定理）,定理 3（微积分基本公式）,也可写成,牛顿莱布尼茨公式,6、定积分的计算法,换元公式,（1）换元法,（2）分部积分法,分部积分公式,、广义积分,(1)无穷限的广义积分,(2)无界函数的广义积分,例1,解,二、典型例题,例2,解,例3,解,例4,解,例5,解,例6,解,是偶函数,例7,解,例8,证,例9,证,作辅助函数,例10,解,(1),(2),测 验 题,测验题答案,
