同构及同态（离散数学）ppt课件.ppt

6.5 同构及同态,6.5.1 同 态 映 射 6.5.2 同 构 映 射 6.5.3 同 态 核,6.5.1 同 态 映 射,定义. 设G是一个群，其运算是* ；K是一个乘法系统，其运算为 ，称G到K的一个映射是一个同态映射，如果对G中任意元素a，b ，有 (a * b)=(a) (b)注意：这个映射既不一定是单射也不一定是满射。,例. 设(G，*)，(K，+)是两个群，令 ：x e， xG，其中e是K的单位元。则是G到K内的映射，且对任意a,bG，有 (a*b)=e=e+e=(a)+(b)。即，是G到K的同态映射。(G)=e是K的一个子群, 记G(G)。,例.设G1是整数加法群，G2是模n的整数加法群，G2上的运算如下： a b= 令：x x(mod n)， xG1，则是G1到G2的满射，且对任意a,bG1，有 (a+b)=a+b(mod n) =a(mod n) b(mod n) =(a) (b) 。是G1到G2的满同态映射。,例. 设G为整数加群，G 为实数加群，令 ：x -x， xG，则是G到G内的映射，且对任意x1, x2 G，有(x1+x2)=-(x1+x2)=(-x1)+(-x2)=(x1)+(x2)，所以是G到 G的同态映射，显然是单射但不是满射，(G)=Z 是G的子群。,设G是一个群， K是一个乘法系统， 是G到K中的一个同态映射， G=(G) ，则 G是一个群， G的单位元1就是G的单位元1的映像(1) ，即，1= (1)； 对任意a G， （(a)）-1 = (a-1) 。 称G和G同态，记为GG。,定理6.5.1,例. 对群(Z，+)和(C*，) ，若令 ：n in， n Z，其中i是C的虚数单位。则是Z到C*内的一个映射，且对m,nZ，有 (m+n)=im+n= imin=(m)(n)。 即，是(Z，+)到(C*，)的同态映射， Z(Z)。(Z)=1，-1，i，-i是C*的一个子群。,例. 群（R，+）和 (R+, )是同态的， 因为若令：x ex ， xR ，则是R到R+的1-1映射，且对任意x1, x2 R ，有(x1+x2)=ex1+x2= ex1 ex2 =(x1) (x2)，是（R，+）到(R+, )的满同态映射。,证明,(1) 因为群G非空，至少1G，故至少 (1)G，即G非空。(2) 任取aG，bG， 往证abG。 因有a,bG, 使得 a=(a), b=(b)， 故按的同态性，ab= (a)(b)=(ab)，而ab G, 因而ab =(ab) (G),即 ab G。,(3) 往证G中有结合律成立：任取a ,b,cG，往证 a (bc)=(ab)c。因有a,b,cG,使得 a =(a), b=(b), c=(c)，故按的同态性， a (b c) = (a)(b)(c) = (a(bc) (ab)c= (a)(b)(c) = (ab)c) 因群G中有结合律成立,所以 a(bc)=(ab)c。于是(a(bc)=(ab)c)。因此， a (b c)=(ab)c。,(4) 往证G有左壹而且就是(1)， 即证对于任意的aG，有(1)a=a。 因有aG,使得 a =(a) ，按的同态性(1)a = (1)(a)=(1a)=(a)=a。(5) 往证G中任意元素(a) 有左逆且就是(a-1)。由aG，且G是群，知a-1G，故( a-1 ) G。由的同态性(a-1)(a)=(a-1a)=(1)。综上，G做成一个群， G的壹1=(1)，G中(a)的逆是(a-1)。,6.5.2 同 构 映 射,定义. 设G是一个群，K是一个乘法系统，是G到K内的一个同态映射，如果是G到(G)上的1-1映射，则称是同构映射。称G与(G)同构，记成G (G)。,例. 群（R+，）和（R，+）是同构的。因为若令 ：xlogx，xR+，则是R+到R上的1-1映射，且对任意a,bR+，(ab)=log(ab)=log a + log b=(a)+(b)。故是（R+，）到（R，+）上的同构映射。Log x是以e为底的x的对数，若取(x)=log2 x，或若取(x)=log10 x，则得到R+到R上的不同的同构映射。由此可见，群间可存在好多个甚至是无限多个同构映射。,例. （R*，）与（R，+）不可能同构。证明：用反证法。假设（R*，）与（R，+）同构，可设映射为R*到R上的一个同构映射，于是必有：1 0， -1 a， a 0。从而，(1)=(-1)(-1) =(-1)+(-1)=a+a=2a。则有2a=0，a=0，与a 0矛盾。故，原假设不对，（R*，）与（R，+）不可能同构。,例. 无限循环群同构于整数加法群。证明： 设G=（g）是无限循环群，Z为整数加法群，则对aG，n Z，使得a=gn， 令f：a n。不难验证 f 是G到Z上的1-1映射；任取a,bG，则存在i,jZ，使得a=gi， b=gj，f(gi gj)= f(gi+j )=i+j=f(gi )+ f(gj),因此， f 是G到Z上的同构映射，即G Z。,自同构映射,定义. 设G是一个群，若是G到G上的同构映射，则称为自同构映射。例. 恒等映射，称为恒等自同构映射。例. 设（Z，+）是整数加法群，令：n -n， nZ ，则是Z的一个自同构映射。例. 设G是一个Abel群，将G的每个元素都映到其逆元素的映射：a a-1 ( aG）是G的一个自同构映射:(ab)= (ab)-1 = b-1a -1 =a-1b -1=(a)(b),6.5.3 同 态 核,定义. 设是G到G上的一个同态映射，命N为G中所有变成G中1的元素g的集合，记为-1(1)，即N=-1 ( 1)=g gG ,(g)=1则称N为的核。例. 设G是整数加法群， G是模3的加法群：0，1，2，：x x（mod 3），xG ，则是G 到G上的同态映射。的核为3G。,群的第一同态定理,定理6.5.2 设是群G到G上的一个同态映射，于是， 的核N是G的一个正规子群， 对于G的任意元素a，-1 ( a)=x|xG ,(x)= a是N在G中的一个陪集，因此，G的元素和N在G中的陪集一一对应。,证明,先证N是G的子群。 1）证N非空。因为(1)=1，所以1N。 2）若aN，bN，往证ab-1N。由（a）=1，（b）=1， 可得(ab-1)=(a)(b-1)=(a)(b)-1 =1(1)-1=1，故ab-1N。,再证N是G的正规子群，即证对于任意的gG，gNg-1 N。事实上，(gNg-1)=(g)(N)(g-1) =(g)1(g)-1=(g)(g)-1=1。故gNg-1 N。 （任取x gNg-1 , 则有n N，使得x= gng-1 ,故(x)=(gng-1 ) =(g)(n) (g-1 ) ) = (g)1 (g-1 )=(g) (g)-1=1，因此， x N。,最后证明：若aG而(a)=a,往证 -1(a)=Na。事实上，对任意的bG，b-1(a)iff （b）=a iff (b)(a)-1=1 iff (b)(a)-1 = (b)(a -1 ) =(ba-1)=1 iff b a-1N iff bNa,引理1,设N是群G的正规子群。若A，B是N的陪集，则AB也是N的陪集。证明：因为N是正规子群，故Nb=bN，今设A=aN，B=bN，则AB=aNbN=abNN=abN，所以AB也是N的陪集。,群的第二同态定理,定理6.5.3 设N是群G的正规子群，于是按照陪集的乘法，N的所有陪集作成一个群 。命 ：aaN，a G,则是G到 上的一个同态映射，且的核就是N。 称为G对于N的商群，记为GN。若G是有限群，则商群中元素个数等于N在G中的指数，即等于陪集的个数。,证明,首先证明G 。1)显然， 是G到 上的映射。2）任取a,bG， (a)(b)=aNbN=abN=(ab)，故是G到 上的同态映射.因此， 是一个群。其次证明的核是N。因 单位元就是N本身，所以，核=g(g)=N, gG =ggN=N, gG=ggN=N。,例. 设R是整数环，N=5I= ,-10,-5,0,5,10, ，则N是G的正规子群。令 为G中N的所有陪集作成的集合： ， ， ， ， ， =,-10,-5,0,5,10, =N=0+N， =,-9,-4,1,6,11,=1+N， 用表示陪集间的加法，则 =(1+N)(4+N)=(1+4)+N=N= ， 在陪集加法下是一个群，若命：aa+N，则是G到 上的同态映射,且的核就是N。,群的第三同态定理,定理6.5.4 设是群G到G上的一个同态映射，若的核为N，则G G/N。例. 设G是整数加法群， ：xx（mod 5），xG ，则 G=（G）=0，1，2，3，4是模5的加法群，是G 到G上的同态映射。的核为N=5G， G/N = , , , , ，则G G/N。,证明,因为G的元素和G/N的元素一一对应，设在这个一一对应之下，G的元素a和b分别对应G/N的元素aN 和bN：a aN，b bN。于是a=（a），b=（b），而且ab=（ab），可见G的元素ab所对应的G/N的元素是abN=aNbN：ab aNbN。所以G和G/N同构。,证法二：建立映射：a -1(a), aG。往证是G到G/N上的同构映射。证是G到G/N内的映射。任取aG,则有aG,使a=(a)。由定理6.5.2，知-1(a)=aN。由定义，(a)=-1(a)=aNG/N。证是满映射。任取aNG/N，设(a)=a，则aG，由定理6.5.2，知(a)=-1(a)=aN。,证是单射。任取a,bG,若ab，证(a) (b)。若不然, (a) =(b)。设a=(a), b=(b), a,bG,于是，-1(a)=-1(b)，即aN=bN。又a=a1aN,故abN，即有nN，使a=bn。因此， (a)=(bn)=(b)(n)=(b)，与ab矛盾。,证是G到G/N的同态映射。任取a,bG,设a=(a),b=(b), a,bG,则(ab)=(a)(b)= (ab)=-1(ab) =abN=aNbN=-1(a)-1(b)=(a)(b).综上， 是G到G/N上的同构映射，即G G/N。,G中子群与G中子群的关系,设为群G到G上的同态映射。结论1. 若H为G之子群，则 H=(H)亦为G之子群。 证明：由H为G之子群，知H为群，再 由为群G到G上的同态映射知，为群H到H上的同态映射,由定理6.5.1知， H亦为群，而 H=(H)G，故为G之子群。,结论2. 若H为G之子群，则 H=-1（H）亦必为G之子群，其中-1（H）= x| xG ,(x)H 。证明：-1（H）非空，因(1)=1H, 所以1-1（H）；若a，b-1 ( H)，即(a),(b)H，因H为子群，故(ab-1)=(a)(b-1)=(a)(b)-1H，因之 ab-1-1（H）。,思考题,(-1(H) 等于H吗 ？-1(H)等于H吗 ？,例.G是模12的整数加法群，G=0,1,11, G是模4的整数加法群，G=0,1,2,3,令：x x(mod 4)， xG，则为G到G上的同态映射， 的核为N=0,4,8。取G的子群H=0,6，则 H=(H)=0,2是G的子群，而 -1(H)=-1 (0,2 ) =0,4,8,2,6,10=H+N=0,6+0,4,8若取H=0,2， -1(H)=0,4,8,2,6,10, (-1(H)= 0,2= H。,结论3. -1(H)=HN证明：(1)任取aHN，则有hH,nN，使得a=hn。故 (a)=(hn)=(h)(n)=(h)(H)，因此， a-1(H) , HN-1 （H）；(2) 任取a-1（H），往证aHN。因(a)=h(H)，又(H)为H之映像，故必有hH使(h)=h=(a)， 即(h-1a)= (h)-1(a)=(1)，故，h-1aN，即有nN，使得h-1a=n， 故a=hnHN, -1（H） HN ；总之,-1（H）=HN。,结论4.若 N H ，则HN=H, 即 -1(H)=H。证明： （1） 因1N，故H =H1 HN。（2） 若 N H ，则HN HH=H。因此， HN=H。,定理6.5.5,G与N之间的子群和G的子群一一对应，大群对应大群，小群对应小群，正规子群对应正规子群。证明：一一对应已证: 若 N H ，则-1(H)=H。(-1(H) =H。只需证明大群对应大群，小群对应小群，正规子群对应正规子群。,设H1， H2是群G的子群，且H1 H2，往证(H1) (H2)。 任取h2(H2)，则有h2H2，使得(h2)=h2.由H1 H2，知h2H1，故(h2)(H1)， 即h2(H1)。设H1，H2是群G的子群，且H1H2，往证-1(H1) -1(H2)。 任取h2-1(H2)，于是有(h2)H2，而H1H2，故(h2)H1，所以h2-1(H1)，-1(H1) -1(H2)。,证明H是G的正规子群必要而且只要 H=(H)是G的正规子群。若H是G的正规子群，任取 G中元素g，往证gHg-1H。 任取xgHg-1 ，则不妨设x=ghg=(g)(h)(g)-1 =(g)(h)(g -1)=(ghg -1) 由H是G的正规子群，知gHg-1H，而ghg -1 gHg-1，故ghg -1 H 。因此，x=(ghg -1) (H) =H.即，gHg-1H ,H=(H)是G的正规子群。,若H是G的正规子群，任取 G中元素g，往证gHg-1H。 任取xgHg-1 ，设x=ghg-1 ，则 (x) =(ghg-1 ) = (g) (h) (g-1 ) = (g) (h)(g) )-1 = g h g-1 由H是G的正规子群，知gHg-1H，而g h g-1 gHg-1，故(x) = g h g-1 H。因此，x -1(H)。由 N H ，则-1(H)=H，所以， x H ，即，gHg-1H , H是G的正规子群。,