第二章 飞行器运动方程ppt课件.ppt

第二章 飞行器运动方程,主讲教师：张庆振 副教授,北航自动化学院自动控制系,1 飞行器运动方程组,以上假设适用于：飞行速度不高（Ma3）,大气层内飞行的飞行器,1）刚体飞行器运动的假设,飞行器为刚体且质量是常数地面坐标系为惯性坐标系忽略地球曲率，即采用所谓的“平板地球假设”重力加速度不随飞行高度变化而变化面对称飞行器几何外形对称，内部质量分布对称：,2）飞行器运动的自由度,刚体飞机的六自由度描述：,（1）质心的位移（线运动）：,飞行器的质心沿着地面坐标系的三个轴向的位移,飞行速度的增减运动、升降运动和侧移运动,（）质心的转动（角运动）：,飞行器的绕机体坐标系三个轴的转动,俯仰角运动、偏航角运动和滚转角运动,由于飞机具有一个几何和质量的对称面，根据各自由度之间的耦合强弱程度，可将六个自由度的运动分成对称平面内和非对称平面内的运动,（1）纵向运动（对称平面内运动）：,速度的增减,质心的升降,（）横侧向运动（非对称平面内运动）：,质心的侧向移动,绕轴的偏航角运动,绕轴的俯仰角运动,绕轴的滚转角运动,）飞机和导弹的运动特点,飞机和在大气层中飞行的导弹有很多共性，关于飞机运动特性的研究适用于导弹。,飞行任务：,飞行控制系统的主要任务是稳定飞行,导弹控制系统的主要任务是追击目标,运动分析：,地地导弹控制系统的主要任务是修正轨迹,飞机与导弹的操纵面,利用推力矢量控制,小扰动线性化方程与冻结系数法,水平转弯侧滑转弯（）、倾斜转弯（）,利用升力和侧力控制导弹的飞行轨迹,摆动发动机,）动力学方程组,选坐标系机体系 飞机六自由度运动包括飞机绕三轴的转动（状态变化），及飞机三个线位置的变化，所以在建立六自由度方程时，应选机体坐标系。（好处是转动惯量便于计算和分析，缺点是要考虑牵连运动）,动力学方程式是描述飞机所受力、力矩与飞机运动参数间关系的方程，显然包括两组方程。,在质量m为常量，且地面坐标系为惯性系的假设下：,力平衡方程式：,（理论依据牛顿第二定律）,力矩的平衡方程式：,（理论依据动量矩定理）,假设动坐标系相对惯性坐标系的速度为，总角速度向量为,用动坐标系表示绝对参数变化,将和在动坐标系（机体坐标系）中分解,用机体系表示绝对参数变化时,绝对参数变化,相对导数,牵连运动,第一项表示为（相对加速度）,第二项表示为（牵连加速度）,则有加速度在动坐标系（机体系）分解如下,合外力向动坐标系（机体坐标系）分解,代入,注:合外力包括 气动力、推力、重力,X：切向力；Y： 侧向力；Z：法向力。,将空气动力和发动机推力向动坐标系（机体坐标系）内分解为，再利用重力在动坐标系的分解有：,回忆重力在机体坐标系中的分解,外力改变飞行状态（速度）,根据理论力学中质点系对于固定点的动量矩定理可知，质点系对于定点的动量矩，对时间的向量导数等于作用于质点系的外力对同一点的力矩的向量和。,选择质心为动坐标系（机体坐标系）的原点，则在动坐标系内表示的动量矩,由此得到下列关系式,由假设飞机质量不变的刚体，惯性矩和惯性积为常量,则有动量矩导数在动坐标系（机体系）分解如下,外力矩向动坐标系（机体坐标系）进行分解,由动量矩定理,回忆飞行器外力矩（气动力矩和推力矩，重力不参与力矩分解）在机体坐标系中的分解：俯仰、滚转、偏航；回忆静稳定性的概念。,整理得到,其中,得到在动坐标系中飞行器在外合力矩作用下的角运动方程,外力矩改变飞行姿态（角速度）,在操纵舵面锁定的条件下，建立了外合力及外合力矩作用下的飞机动力学方程组。,力方程组,力矩方程组,运动学方程式是描写飞机相对地轴系下的位置及状态角的，也包括两种方程：角位置运动学方程式 给出p、q、r与 、 、 的关系线位置运动学方程 给出地轴系与体轴系间线速度关系 。,）运动学方程组,姿态角变化率的方位图,由图可知： ：为沿 轴的向量，向下为正。 ：在水平面内与ox轴在水平面上的投影相垂直，向右为正。绕地轴系oyg轴。 ：沿ox轴向量，向前为正。绕机体轴ox p、q、r为飞机绕机体三轴的角速度。 当 时，没有一个角速度分量是水平或垂直的。,把 向机体三轴投影的话，只有 p包含 的全部，p,q,r都包含 的投影分量。为简单起见，先令 求 与p,q,r的关系。再将 加上可得：,角位置运动学方程式 p、q、r一定正交，但 三者不一定正交,思考正交条件？= 0,线位置运动学方程 让地轴系依次按 转动即可：绕 轴转 得到,再绕轴 转 得到,最后绕 轴转 得到,由此可得：,或,地轴系与体轴系间方向余弦表,对于地面坐标轴系的位移运动有,而对于机体坐标轴系的速度分量有,通过变换得到导航方程组：,或者利用地面坐标轴系与气流坐标轴系的转换关系,将导航方程组式写成如下形式,至此，我们建立了：,六自由度飞机运动方程全量方程（12个） 包括动力学方程及运动学方程动力学方程是以动力学为基础,描述力及力矩平衡关系的方程,亦即为考虑在体轴系下运动参数与力、力矩的方程。 运动学方程通过体轴系与地轴系的关系,找出体轴系下的角速度、位移量与地面轴系下的角速度、位移量的关系。,力方程组,力矩方程组,运动方程组,或者：,导航方程组,（1）通过飞机运动方程全量方程（12个） ，就确定了状态向量 XT=u w p q r xg yg h 与控制输入向量 UT=T e a r之间的非线性函数关系。,注：,（2）12个方程是封闭的。只要已知飞行器相关的特征参数、飞行高度、马赫数及飞行状态（初始），就可以确定力（Fx,Fy,Fz）和力矩（L，M，N），应用12方程便可以求解在任意时刻飞行器的运动状态。,（3）力方程组、力矩方程组和运动方程组的计算不依赖于偏航角。,气动力的计算依赖于气流角， 和飞行速度V 所以我们改造力方程组，将力方程组中的机体系参量用气流坐标系的 、V表示：,注：,需要完成如下转换：,力方程组,变换公式如下,力方程组变换如下,这样：通过飞机运动方程全量方程（12个） ，就确定了状态向量 XT=V p q r xg yg h 与控制输入向量 UT=T e a r之间的非线性函数关系。,补充变换关系式,6）飞机运动方程的解耦分组,两种特殊的飞行状态,水平无侧滑飞行,存在代数关系式,6）飞机运动方程的解耦分组,两种特殊的飞行状态,水平侧滑飞行,存在代数关系式,稳态飞行,飞机进行稳态飞行的条件,附加不同限制条件，得到不同的稳态飞行状态,为常值,机翼水平稳态飞行,稳态转弯飞行,稳态拉起飞行,稳态滚转飞行,飞机的纵向运动和横侧向运动,水平无侧滑飞行状态分析（分析力、力矩、运动方程组）,重力在气流坐标系中的分解,力方程组,飞机的纵向运动和横侧向运动,水平无侧滑的力方程组如下：,注： 只与纵向的状态有关,利用运动方程组,则有,飞机的纵向运动和横侧向运动,力矩方程组第二式,有,纵向运动方程组,利用 来解耦力矩方程,力方程,力矩方程,运动方程,飞机的纵向运动和横侧向运动,横侧向运动方程组,这样：先解纵向运动的状态量,进而计算,进而利用导航方程,XT=V p q r xg yg h,7）飞机运动方程的线性化,运动参数非线性相关,力方程组,力矩方程组,力、力矩,一般情况下，求取解析解非常困难，只能借助计算机求取数值解！,一般采用线性化的方法求得飞机运动方程的解析解,目的（解析解）：分析飞机构型参数与飞行稳定性和操纵性之间的关系。,目的（线性化）：利用成熟的线性系统控制理论设计飞行控制器。,因此，将飞机运动方程进行线性化处理的方法成为目前在实际工程中广泛应用的重要方法之一。,8）基于小扰动原理的线性化方法,只保留一阶项，略去高阶小项（非线性）的等效！,补充：泰勒展级数展开,若函数f(x)在点x0的某一邻域内具有直到（n+1）阶导数，则在该邻域内f(x)的n阶泰勒公式为：,等效基础：x为小量（小扰动原理）,8）基于小扰动原理的线性化方法,将飞机运动方程写成隐式的非线性状态方程,飞机运动方程全量方程（12个），对应的状态向量 XT=V p q r xg yg h 控制输入向量 UT=T e a r,平衡点：将满足 或者U为常数值且 的解 称为平衡点；,引入几个概念：,基准运动：将飞行器在平衡点条件下的运动称为基准运动。,扰动运动：在外来干扰作用下，飞行器偏离平衡点条件下的运动，称为扰动运动。,小扰动运动：若飞行器的扰动运动与基准运动间的差别甚小，可视为小扰动运动。,飞行器运动方程的线性化,选择基准状态：无倾斜无侧滑的等速直线平飞状态,回忆：稳定坐标系,选择稳定轴系列写运动方程,描述飞机的运动参量，可看成是基准运动时的量值加上扰动小量，即：,，,，,，,，,在飞机等速平直飞行（基准运动）时,（基准运动的速度）,因为 等都是小量，而力、力矩取决于运动参数，因此：可以按照参数增量展成泰勒级数，并只保留一阶项。,对力和力矩方程组进行线性化：,力方程组,力矩方程组,非线性项,对其它的外力和力矩也能写出同样的表达式。,轴向力 泰勒展开（对所有运动参数）,因为基准运动是等速平飞，所以,则力和力矩泰勒展开（略高阶项和参数增量乘积项）,常系数线性微分方程,可以将运动参数分成对称的和不对称的两类。,飞机外形和内部质量分布对称于,对称参数：,9）线性化运动方程的分组,基准运动为等速直线平飞,不对称参数：,没有破坏绕飞机气流的对称性，气动力和力矩处对称平面,引起不对称的气动力和力矩,考虑基准运动和对称性,将方程分组,纵向,横向,如果基准运动不是对称的（如等速直线侧滑飞行，等坡度盘旋飞行等），小扰动方法尽管可以线性化方程，但不能把方程组分成纵向和横侧，因纵向和横侧之间有一阶小量的联系！,补充说明：,2 飞机的纵向运动,以上讲述了：飞机小扰动线性化的具体方法；飞机扰动运动分成纵向和横侧的条件（ 基准运动是对称的； 小扰动）。,1）纵向运动方程式,本节将导出纵向扰动运动方程的具体表达式，并讨论纵向扰动运动的特征。,分析思路：飞机纵向运动只涉及纵向的运动参数和气动力，气动力一般在速度坐标系中建立， 采用速度坐标系建立纵向运动的一般方程（同稳定轴系）， 推导纵向小扰动线性化方程,飞机纵向受力图,（1） 发动机推力 ，发动机轴线与纵轴安装角为重心对推力线垂距为 （发动机轴线不一定过重心，轴线若在重心之下时 为正，则推力对重心之矩为正。）,下面将根据受力图建立纵向力（切向力、法向力）和力矩（俯仰）方程。,（2）升力L：垂直于飞行速度V，向上为正；,（3）阻力D：平行于飞行速度V，向后为正；,（4）俯仰力矩 （仅指气动力矩）：以抬头力矩为正。,切向速度，R 重心轨迹曲率半径,法向加速度,切向力,法向力,力矩,几何关系,运动学方程,利用牛二定律、动量矩定律推导得到的纵向运动方程组,利用纵向力分析得到运动方程组,比较：,考虑到：一般 ， 皆为小量，有,推力远小于重力，有,简化纵向运动方程,非线性方程（对运动参数）,2）纵向运动方程的线性化处理,忽略小量影响因素，且考虑基准飞行为直线平飞，高度（ ）变化不大。,首先线性化处理纵向力（ ）和力矩（ ）,对力和力矩在基准运动（ ）泰勒展开并保留一阶小项,令,线性化结果,切向运动方程的线性化,基准运动为等速直线平飞,切向运动方程,线性化结果：,令,法向运动方程的线性化,基准运动为等速直线平飞,基准运动有,线性化结果：,法向运动方程,绕oy轴转动动力学方程的线性化,基准运动有,线性化方程为：,整理后得：,式中导数计算公式：,纵向力矩方程,归纳以上三式，令，表示微分算子，得,线性化结果：,纵向小扰动线性化方程,纵向方程系数表示式（切向力方程大导数）,纵向方程系数表示式（法向力方程大导数）,纵向方程系数表示式（力矩方程大导数）,纵向方程系数表示式（力矩方程大导数）,飞机主要构造参数及纵向气动参数,3）纵向扰动运动的典型示例、扰动运动的两种模态,初始状态：,定常直线飞行,马赫数、力矩,查表计算纵向线性化方程大导数,大导数计算结果代入纵向线性化方程,我们研究初始条件 时，,的扰动运动的解。,扰动运动的解,工具：拉氏变换,拉氏变换法是一种数学积分变换，其核心是把时间函数f ( t )与复变函数 F ( s ) 联系起来，把时域问题变换为复频域问题，把时间域的高阶微分方程变换为复频域的代数方程以便求解。,时域微分方程,频域代数方程,拉氏变换,拉氏逆变换,求解,时域解,引入衰减因子 得,从傅里叶变换到拉普拉斯变换,w,s,j,s,+,=,令,拉普拉斯变换与傅里叶变换的区别：,（变量 t、 都是实数）,用拉氏变换求解纵向线性化方程,回忆：,令,考虑到前面给出的初始条件有,带入微分方程组，得拉氏变换代数方程组,如何求解此非齐次线性代数方程组,？,工具：利用克莱姆法则（Cramers rule),设线性方程组,则称此方程组为非,齐次线性方程组;,此时称方程组为齐次线性方程组.,非齐次与齐次线性方程组的概念,补充：,若常数项 不全为零，,若常数项 全为零，,克莱姆法则,如果线性方程组,的系数行列式不等于零，即,其中 是把系数行列式 中第 列的元素用方程组右端的常数项代替后所得到的 阶行列式，即,那么线性方程组有解，并且解是唯一的，解可以表为,分子行列式,方程的系数行列式（特征行列式）为,展开系数行列式得特征多项式,分解因式得,各分子行列式为,利用克莱姆法则，求代数方程组的解,以上三式可编程分项分式（为拉氏反变换）,经拉氏反变换即得相应的函数，设,过渡过程曲线,两种扰动运动模态及其物理成因,由图可知：,：初期阶段变化剧烈，数秒钟后即平缓下来,：缓慢增长，以后又缓慢减小,：兼有两者特点，初期阶段变化剧烈，以后又缓慢变化,可以看出：扰动运动存在两种模态,短周期模态： 周期短，衰减快，对应于特征方程的一对大共轭复根,长周期模态： 周期长，衰减慢，对应于特征方程的一对小共轭复根,各运动参数随时间的变化是上述两种模态的迭加！,物理成因：,注：在初始姿态不发生变化的条件下，其扰动成因为，气流方向发生了改变,由运动方程 ：,时，,纵向静稳定力矩（ ）与转动惯量（ ）的比值远大于阻力、重力差值（ ）与质量（m)的比值。,因此：飞机消除 要快些，而改变 要慢些,在 的作用下,由两个数据可以看出：,此外，飞机的俯仰阻尼力矩 与 也不小，表现出周期短阻尼大的特点，在扰动运动初期阶段数秒内短周期运动已基本结束，俯仰力矩基本恢复到受扰前的平衡状态。,飞机受扰运动示意图,速度增加，动压增加，举力增加， ，轨迹向上弯曲。,在重力沿轨迹切线方向分力（ ）的作用下，逐渐加速。,短周期运动结束后，,飞机下滑。,轨迹向上，重力分力使飞机减速，动压减小， ，轨迹下弯。,飞机动能与位能的交替变换，变现为 和 的振荡运动,主要是长周期运动,起恢复作用的气动力 和起阻尼作用的气动力 远远小于飞机质量（m），因此长周期特点： 振荡周期长，衰减慢,在长周期运动中，飞机重心时升时降，故称为 浮沉运动,主要是短周期运动,两项系数相当，长短运动都很明显,4）关于模态的概念,模态：运动的基本胎型，是时不变线性系统的固有特性。,又称： 简正模态；正则模态,特性：对某个简正模态，各运动参数的幅值有固定的比例关系，各运动参数之间的相位差也是固定的，并以同一个频率，同一个衰减指数（或增长指数）运动,简正模态的含义也指各模态独立：理论上设一种初始条件，只引起某个模态的运动，而不激发其它模态的运动。,5）纵向运动的传递函数,以升降舵偏转为输入的各个传递函数(油门杆输入情况待后述）,令 ，并认为各变量初始条件为零。纵向运动方程式经拉普拉斯变换，得：,（一）纵向运动的传递函数,以升降舵偏转增量 为输入，飞行速度增量 为输出的传递函数可以写为两个行列式之比：,V传递函数的增益,V传递函数分子行列式,纵向运动特征行列式,长周期运动的阻尼比,长周期运动的固有频率,短周期运动的阻尼比,短周期运动的固有频率,V传递函数的传递系数,V传递函数分子的时间常数,长周期运动的时间常数,短周期运动的时间常数,同理可写出以升降舵偏转增量 为输入，迎角增量 为输出的传递函数为：,传递函数分子行列式,传递函数的增益,同理可写出以升降舵偏转增量 为输入，俯仰角增量 为输出的传递函数为：,传递函数分子行列式, 传递函数的增益,一般飞机的 为 两个二次因式之积，分别代表长周期模态（phugoid mode）和短周期模态(short period mode)。,以上3个传递函数的分母多项式 即纵向扰动运动的特征多项式。,纵向运动的特征方程：,即,飞机的特征方程具有下列特点：,描述了飞机本身的固有稳定性,特征方程完全取决于飞机本身的构造参数、气动参数和飞行状态，而与初始条件无关（可由特征方程的构成系数看出）,根据特征根实部和虚部的不同情况，可以初步分析飞机的扰动运动的基本特性：,当虚部 时，特征根 为一实根，飞机的扰动运动为非周期项,因此，根据特征根的情况，可以判断飞机运动的稳定性！,特征方程的根（即特征根）具有下列形式,当虚部 时，特征根 为一对共轭复根，飞机的扰动运动为周期运动,当虚部 时，由于特征根 具有负实部，飞机的扰动运动是稳定的,当虚部 时，由于特征根 具有正实部，飞机的扰动运动是不稳定的,当虚部 且 时，特征根 为纯虚根，飞机的扰动运动为简谐振动,在某些情况下，长周期模态可能变成1正（+）1负（-）的两个实根。,单调发散,只有重心移到焦点之后，短周期模态才变成1正（+）1负（-）的两个实根。,大的发散指数,纵向运动的特征方程：,举例说明,（二）传递函数及其频率特性,飞机三面图,带入,飞机相关数据：,某飞机在 作等速平飞，各大导数为：,负舵偏产生正攻角,负舵偏产生正俯仰角,对数频率特性及其渐进线图,对数频率特性及其渐进线图,对数频率特性及其渐进线图,升降舵脉冲偏转引起的响应：,升降舵脉冲偏转引起的长周期近似响应,通过升降舵脉冲偏转引起的响应图可以看到：,短周期运动： 和 的幅值变化很小；,长周期运动： 和的幅值几乎为零。,由此得到启示：,可将短周期运动和长周期运动,分开处理，使分析过程大为简化！,6）短周期运动的近似传递函数,纵向运动的初始阶段，短周期运动占主导地位，其过渡过程时间很短，飞行速度变化不大，可以认为:,纵向运动方程变为：,（法向力方程）,（力矩方程）,删去一个方程，减少一个自由度。,求 2 自由度短周期运动的传递函数,求 2 自由度短周期运动的传递函数,对俯仰速率积分！,代入前例中的数据，可求得短周期近似传递函数,短周期近似传递函数与三自由度纵向传递函数对数频率特性的比较,短周期近似传递函数与三自由度纵向传递函数对数频率特性的比较,升降舵脉冲偏转引起的响应：,即认为：舵面偏转对总升力（法向力）的贡献为零，只产生俯仰力矩。,常规飞机的升降舵在距重心较远的平尾上，平尾上的舵面小偏转引起的法向力（小力、大力臂）足以产生较大的纵向控制力矩。因此，从工程近似的意义上来说，可认为,传递函数进一步简化：,补充：,7）长周期运动的近似传递函数,纵向长周期模态主要是飞机质心的轨迹运动。长周期运动期间，短周期运动过程已基本结束，飞行器基本上处于力矩平衡状态。即可以认为:,长周期纵向运动方程简化为：,上式已简化为二阶系统,长周期运动的近似传递函数,长周期运动的近似传递函数,由,得到,代入前例数据,长周期近似传递函数与三自由度纵向传递函数对数频率特性的比较,长周期近似传递函数与三自由度纵向传递函数对数频率特性的比较,短周期近似传递函数与三自由度纵向传递函数对数频率特性的比较,升降舵脉冲偏转引起的长周期近似响应,8）定速静稳定性与定载静稳定性,重心在焦点之前,重心在焦点之后,？,？,？,：纵向静稳定性导数,为俯仰力矩曲线的斜率，表征飞机纵向静稳定性的参数。,由于 规定M数不变，即飞行速度不变，故 表示的纵向静稳定性也称为 定速静稳定性,表示的飞机静稳定性只是考虑马赫数 为常值，攻角变化引起俯仰力矩变化而决定的静稳定性。,定速情况下， 的变化引起升力 的变化，相应的过载系数（ ）也变化，因此： 定速静稳定性也常称为按过载的静稳定性,？,短周期运动的特征方程：,稳定与否取决于系数的正负,？,常数项：,？,关键,即常数项大于零的条件为,而查表知,因此，即使 是很小的正值（即有很小的静不稳定），只要满足 式，短周期模态还是稳定的。,导数乘积项：,可以起到稳定系统的作用,由前例数据,因此，短周期模态是否稳定很大程度上取决于 (即 ),发散,驾驶员不干预飞机：,俯仰力矩系数,飞机受扰后：,因此，纵向三自由度运动是否稳定并非仅取决于,三自由度运动特征行列式和特征方程,对于时不变系统，特征方程常数项等于零是静稳定与静不稳定的边界。,静稳定性条件：,大导数计算：,常数项,的条件：,在亚音速飞行段：,有：,的条件变为：,超音速飞行段， 可能为负，但数值很小；跨音速飞行， 变化有规律，都能满足：,此式表示纵向 静稳定性条件,定载,的微分：,驾驶员不干预飞机：,或：,定载条件：,因此定载条件就是：,而：,将此式在平衡点 处求导：,得：,常数,称为： 定载静稳定性导数,代入,此式与前 建立的公式相同,物理意义解释,假定：,系统对速度静稳定！,假定：,系统对速度静不稳定！,定速静稳定性，即按过载的静稳定性,定载静稳定性，即按速度的静稳定性,稳定过程，速度保持控制（或假设速度不变），攻角变化，导致升力变化，导致过载变化；看力矩引起攻角的收敛与发散状况,稳定过程，过载保持控制（升力重力平衡，高度不变、飞行方向不发生改变），速度变化，要求升力不变化，则要求攻角变化；看力矩引起速度的收敛与发散状况,补充：,由长周期近似方程可知，定载不稳定（特征方程常数项小于零），长周期模态有单调发散的正根。,低速飞行时，空气可压缩性很小， ，定载静稳定性和定速静稳定性相同。,多数飞机进入跨音速飞行段后，由于 的负值较大，使得定载不稳，飞机有容易自动进入俯冲的趋势，飞机采用“M数配平系统”即可保证速度稳定性。,9）空速与高度变化对纵向模态特征参数的影响,1短周期固有频率,短周期近似传递函数,由短周期特征方程,但一般飞机有,因此,故,即有,飞机在低空飞行时的固有频率大于高空飞行时,飞机在高速飞行时的固有频率大于低速飞行时,焦点随M数增加而后移，使 随M数增加而增大，故,要比 增加的更多。,2短周期的阻尼比,由短周期特征方程,式中，分子 与 成正比,式中，分母 与 成正比,故,即有,随高度增加而降低，与飞行速度几乎无关；,随M数的增加 在增加，而 等先增加，超音速段又减小，故超音速段 是减小的,现代高性能飞机的飞行高度很高，可达1820Km，因此,值降低太多，必须用人工阻尼改善。,3微分环节的时间常数,由短周期特征方程,即,的大小影响到飞机的机动快速性,？,从两方面来说明,也说明： 越小，机动能力越强,由短周期特征方程,有,说明：高度增高， 减小，即单位攻角产生的航迹倾斜角偏转速率减小，即飞机机动能力降低。,说明1：高度增高， 增加，即航迹倾斜角 延后姿态角 的时间加长，也表明高空的机动能力下降。,说明2： 增大则 变小，飞机机动能力提高。,由短周期特征方程,有,另外，由,4传递系数,由短周期特征方程,表明：飞行高度和速度都不直接影响,只有 M 数对 和 有影响。M增加到超音速时，由于 降低而 增加，故 要降低。,传递系数 降低说明什么,？,由短周期特征方程,即：,表明：高度增加时， 减少,速度增加时， 增加,因此，速度增加则 降低，,1长周期固有频率,长周期近似传递函数,由长周期特征方程,低速飞行时， 要满足平飞条件,所以,即：固有频率 与空速成反比。,注：在亚音速段 为正， 随 增加而略有下降；超音速段 为负，虽然数值很小，但促使 快速下降。,由,故,2长周期阻尼比,由长周期特征方程,其中,装有喷气发动机的飞机,此式表明：长周期运动的阻尼比与飞机的升阻比 成反比，也就是气动外形好的飞机 要小些。,故,在亚音速飞行段,即有,另：高度增加， 下降， 减少,纵向模态特征参数随 的变化表,特征参数,飞行高度增加,飞行速度增加,减 小,减 小,减 小,减 小,不 变,增 大,基本不变,增 大,纵向定速稳定性导数 越大，静稳定度愈大， 愈大。,10）气动导数变化对纵向模态特征参数的影响,由短周期固有频率,由短周期阻尼比,增加 、 和 都改善 ，而增加 将降低 。,对 的影响主要是 的影响；由于 增加， 下降， 随之下降,升力系数 和 对 有直接影响。,由长周期固有频率,在亚音速段： 为正；在超音速段 为负；跨音速段 先正后负。这些都对 带来影响。,对于超音速飞机，要想方设法减小 ，所以超音速飞机长周期阻尼比很小。,由上式可知，增加 可以增大 。,由长周期阻尼比,在亚音速段： 为正；在超音速段 为负；跨音速段 先正后负。这些都对 带来影响。,气动导数变化对纵向模态特征参数的影响,气动导数变化,受影响的特征参数,减 小,增 大,增大，,增 大,正值增加,和 绝对值增加,绝对值增加,负值增加,正值增加,负值增加,减小,增 大,减 小,则改变推力时长周期模态的响应将占绝对优势。,11）油门杆偏转的纵向动力学响应,由前纵向小扰动线性化微分方程组,考虑到一般飞机发动机推力线都通过重心或接近于通过重心,令,可得操纵油门杆 的长周期近似运动方程式,且有,并令,以及,（代数方程式）,拉氏变换求传递函数,油门杆阶跃偏转的运动参数稳态值,油门杆阶跃偏转的拉氏变换,所以,由终值定理，某参数的稳态输出为,得到,？,同理可得,结论：,油门杆前推 ，发动机推力增大，速度、迎角不变，但飞机俯仰角 发生变化，飞机爬升。,变化过程：,？,为什么攻角没有变化,思考：如何实现加速平飞,令 ，得终值方程组,考虑：以升降舵偏转为输入的各个传递函数,解得平衡值（即稳态值）,关于纵向操纵的一些概念,单纯改变油门只能在过渡过程中改变速度，最终稳态速度和攻角均不改变，但飞行轨迹上升或下滑。,若要平飞加速，则应在加大油门后，随着飞行速度的增加逐渐推驾驶杆以减小攻角，从而满足,若加大推力是为了爬升，则应在加大油门后，逐渐拉驾驶杆以增大攻角，升力快速增加，从而使飞行轨迹快速向上弯曲。,关于反操纵问题,长周期模态不稳定使操纵飞机变得困难。 例如要使飞机平飞加速，对于定载稳定的飞机来说，只要逐渐推杆即可，这样的操纵符合驾驶员的感觉，称为正常操纵。 若飞机定载不稳定，那么加大油门使飞行速度增加后，飞机有自动低头的趋势，速度会自动增加，此时如驾驶员按正常操纵推驾驶杆，飞机将进入俯冲。为使飞机不致进入俯冲，必须拉驾驶杆以维持L=G。但不可拉杆太多，否则飞机减速过快，会自动进入大过载状态，可能引起结构上的破坏。这种操纵技巧较难掌握，此情况称为反操纵。,第十节 飞机的横侧运动,飞机横侧运动包括：滚转、偏航和侧移 3 个 自由度的运动,飞机横侧操纵面（输入）包括：副翼、方向舵,（侧移方程）,1）横侧运动线性化方程,基准运动为等速直线平飞的横侧小扰动线性化微分方程,上式是对稳定轴系建立的！,（滚转方程）,（偏航方程）,气动侧力增量,气动滚转力矩增量,气动偏航力矩增量,我们习惯于使用侧滑角 ，而不习惯用侧移分速度 ，有,基准运动的飞行速度,由于基准运动是对称平直飞行的，因此有,令,以及,横侧小扰动线性化微分方程可写为,（侧移方程）,（滚转方程）,（偏航方程）,（几何关系）,（几何关系）,上式可改写为,上式中各大导数的意义及计算公式列于下表。,注：西方国家习惯于用稳定轴系建立纵/侧向运动方 程，需要将机体轴系的参量转换到稳定轴系！,对应于研究纵向运动的飞机，研究横侧运动。,2）横侧扰动运动典型示例、横侧扰动运动的三种模态,（一）横侧扰动运动举例,初始状态：,定常直线飞行,飞机主要构造参数及气动导数（对稳定轴系）,查表计算横向运动方程大导数,如下初始条件下,且驾驶员不操纵飞机,求解 侧滑扰动下 横侧向的稳定性问题,时域微分方程,频域代数方程,拉氏变换,拉氏逆变换,求解,时域解,求解和分析过程同纵向,将各系数代入运动方程并拉氏变换：,展开系数行列式得,特征方程 的根为,复频域求解代数方程组（利用克莱姆法则）,拉氏反变换求时域解（ ）,横侧运动过渡过程曲线,横侧向运动有三种模态,（二）横侧扰动运动的典型模态,滚转快速阻尼模态,对应于大负根,缓慢螺旋运动模态,对应于小根（可正：缓慢发散：可负，缓慢收敛）,振荡运动模态,对应于共轭复根,（荷兰滚模态）,飞机横侧扰动运动由此 3 种典型模态线性叠加而成,？,滚转阻尼模态,滚转阻尼模态,阻尼力矩很大：机翼阻尼力矩，平尾、垂尾阻尼力矩,转动惯量 很小：,因此：飞机受扰后的滚转运动受到大的阻尼力矩和小的转动惯量的作用，快速结束滚转运动。,该模态对应的是一个大的负实根！,荷兰滚模态（振荡模态）,滚转阻尼运动快速结束后，共轭复根表现的振荡运动。,航向静稳定性（风标静稳定性）,回顾：,垂尾在飞机后方,另：航向阻尼,综合作用：振荡消除侧滑角偏差。,惯性,在数值上远小于,横侧向振荡模态的衰减很慢（阻尼不够）。,因此：,横滚静稳定性导数 的作用,综合表现：摆振+滚转 运动,此外：,正负振荡,左右滚转,后视图：侧滑引起的滚转运动,右翼,左翼,上反角,后掠角,后上垂尾,荷兰滚运动过程说明如下：,抵消偏航运动的阻尼效果,反方向可作类似的分析,右滚转,左偏航,惯性,荷兰滚运动的飞行轨迹,左右偏航、右左滚转的飘摆运动，轨迹呈 S 形,很像荷兰人滑冰的动作，故称为：荷兰滚模态,由上述分析可以知道：滚转运动加入到航向振荡运动中来，使得本来较小航向阻尼比进一步减少，所以：,必须选择适当的横滚静稳定性，若横滚静稳定性设计的太大（ 负值太大），会使荷兰滚模态不稳定！,螺旋模态,较小， 较大时，易形成不稳定的螺旋模态,不能太大，否则会使荷兰滚模态不稳定,回顾：,螺旋模态描述如下,（加剧右滚转）,综合作用：滚转角正向增大,小,大,当,滚转角 正向增大的结果：,逐渐减小,故称为：螺旋模态,高度不断下降的螺旋线飞行轨迹,轨迹综合为：,升力的垂直分量,高度不断下降！,逐渐增大,轨迹向心力,盘旋半径不断减小！,螺旋模态不稳定：交叉力矩导数 作用大于滚动静稳定导数 的作用，使得 发散。,螺旋运动（不稳定）的飞行轨迹,螺旋模态不稳定对应小实根为正值。若小实根为负值，则滚转角不发散，螺旋模态是稳定的，此时形不成下降的螺旋飞行轨迹，但仍称它为螺旋摸态。,危害：,如果对不稳定的螺旋运动不加干预，飞机将最终坠入尾旋。,但螺旋模态的初期发散是很缓慢的，如果正实根不太大，非周期发散不太快，驾驶员有足够时间纠正它。,由于荷兰滚模态周期短阻尼小，飞机左右摇摆不停，给乘员带来不适，影响歼击机设计瞄准，因此设计飞机时：尽量增大荷兰滚模态的阻尼比，宁可让螺旋模态稍微的不稳定。,通过前面的分析：荷兰滚模态与螺旋模态对总体结构和气动具有矛盾的要求！,原则：,设计飞机时，选择合适的机翼上反角,调整,荷兰滚模态稳定要求：,螺旋模态稳定要求：,选择合适的立尾面积,调整,横侧向运动各自由度之间的力和力矩的相互作用复杂。,（三）3 种模态的简化处理法,交叉动导数：,绕 轴的运动引起绕 轴的力矩,因此横侧向各模态的简化不如纵向简单！,绕 轴的运动引起绕 轴的力矩,因此，只考虑一个滚转速率 的自由度，微分方程为,滚转阻尼模态的简化处理,具有大展弦比机翼的飞机，滚转阻尼导数在滚转阻尼模态中占据绝对地位，初步认为：滚转阻尼作用就是由其导数所致。,由于滚转阻尼大， 小，因此滚转运动受到大的阻尼力矩的阻止，很快结束。,代入前例数据后得大负实根,经拉氏变换后得特征方程,与精确解 的误差为：,简化处理效果：精确！,即认为偏航和侧移运动不受滚转速率 和滚转角 的影响,荷兰滚模态的简化处理,前面的分析指出，荷兰滚模态的物理成因与纵向短周期相仿：对侧滑的稳定过程受到偏航阻尼力矩的作用。但是风标静稳定过程受到滚转运动的影响。,因此近似认为：横滚运动对荷兰滚模态（侧滑稳定过程）没有影响。,横侧向运动方程简化为,代入前例数据得,拉氏变换，得特征方程,两者误差为：,而三自由度运动荷兰滚模态的精确解为,令 为可变动量,为了分析横滚静稳定性导数对荷兰滚模态的影响程度,则三自由横侧向运动的特征方程形式如下,式中：,取不同数据进行劈根，就可画出荷兰滚模态固有频率 和阻尼比 随 的变化曲线。,荷兰滚模态固有频率 和阻尼比 随 的变化图,（1）荷兰滚的阻尼比 随 变大而减小， 变得很大时，才会使 变成负值，这时的荷兰滚模态不稳定。,由图看出：,（3）当 时， ，这是该机荷兰滚模态自然阻尼比的极限值，与简化处理 非常接近，可见飞机自身的荷兰滚阻尼比太小，必须用人工阻尼改善。,（2）就提高 而言， 设计的不能太大，前例中 是合时的。,（4）荷兰滚的自然频率 随 变化很小，简化方程解的 与之非常接近，说明摆振频率主要取决于偏航和侧移运动。,由图看出：,（5） 时摆振的 角不引起滚转力矩，只有偏航角速度 通过 才引起滚转力矩，因此滚转角速度 很小，小的 通过 引起的偏航力矩也很小，故偏航与滚转铰链很弱，因此简化方程接近精确解。,综上，简化方程对设计合理的飞机是一个满意的近似。,即认为,螺旋模态的简化处理,从扰动运动解的表示式可以看到，螺旋模态在各运动参数中只占据很小的份额，且运动参数变化慢。,因此近似认为：惯性项可以忽略！,代入横侧向运动方程，代表螺旋模态的特征方程为,代入前例数据,两者误差为,螺旋模态简化方程的解为,上述基于物理成因得出的简化方法称为：螺旋模态简化第一法,精确解为,由横侧向3自由度运动特征方程,解根的数学关系出发：螺旋模态简化第二法,此方程有小实根，且数量上相对其它根小两个数量级，则对该小根起决定性作用的是最后两项，即,故,与精确解的误差：,螺旋模态的稳定条件是：,由特征行列式,查大导数表， 的条件为,对应前面的分析：,3）横侧运动的传递函数,（一）横侧运动（三自由度）传递函数的推导,研究以方向舵 、副翼 偏转为输入的传递函数。零干扰零初始条件下，横侧运动方程组如下,可以如下表示：,先令副翼偏转为零（ ），分别写出方向舵 为输入， 、 和 为输出的传递函数。,式中： ，已将 的几何关系代入。,式中：,以为 输入， 为输出传递函数分子行列式,横侧三自由度运动特征行列式,以 为输入， 为输出的传递函数增益,分子时间常数,滚转阻尼模态时间常数,螺旋模态时间常数,荷兰滚模态阻尼比,荷兰滚模态固有频率,荷兰滚模态的时间常数,以 为输入， 为输出的传递函数的传递系数,同样可求出以 为输入， ， 和 为输出的传递函数，其中系数的含义与上面相同。,舵面 到偏航角 之间包含一个积分环节：,以舵面输入偏航角为输出的传递函数：,舵偏角 或 为常值时，偏航角 会不停地变化。,积分环节的输入与输出无比例关系，即航向运动受扰动后不能回复到受扰前的航向。,飞机航向角的变化不会改变力和力矩的平衡，因此飞机具有航向随遇平衡的性质。,物理解释：,这称为：横侧向的航向中立稳定模态。,（二）传递函数及频率特性举例,以纵向运动分析的那架飞机为例，横侧运动方程系数如下：,代入横侧向线性方程组，并拉氏变换,特征多项式为,方向舵舵面输入，各状态参数的传递函数为,副翼偏转输入，各状态参数的传递函数为,输入的横侧向频率特性,荷兰滚模态,荷兰滚模态,输入的横侧向频率特性,荷兰滚模态,输入的横侧向频率特性,输入的横侧向频率特性,荷兰滚模态,输入的横侧向频率特性,荷兰滚模态,输入的横侧向频率特性,总结：,（1）除由 脉冲偏转引起的 外，其余脉冲响应中荷兰滚运动都起主要作用（传递函数的频率特性中均出现荷兰滚峰值）,（2）对于滚转阻尼模态，传递函数 和 的分子与分母的一次式基本对消，表明滚转阻尼模态在由 脉冲引起的 和 响应中影响很小,即：,方向舵偏转主要引起荷兰滚模态运动，对滚转模态的影响不明显；,副翼偏转主要引起滚转模态运动，对荷兰滚模态有一定的影响。,-,-,方向舵脉冲偏转响应,副翼脉冲偏转响应,4）二自由度荷兰滚运动的近似传递函数,研究近似认为滚转运动对荷兰滚模态没有影响，即认为偏航和侧移运动不受滚转速率 和滚转角 的影响。,拉氏变换,方向舵偏转引起的侧力一般较小，可认为 ，以上两式简化为,解上式，得荷兰滚运动近似传递函数,5）一自由度滚转运动的近似传递函数,副翼偏转主要引起滚转运动，且叠加一定程度的荷兰滚振荡运动。如果忽