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    第二节中心极限定理课件.ppt

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    第二节中心极限定理课件.ppt

    第二节 中心极限定理,大数定律与中心极限定理,1,t课件,一、中心极限定理的意义,在实际问题中许多随机变量是由相互独立随机因素的综合(或和)影响所形成的.,例如,炮弹射击的落点与目标的偏差,就受着许多随机因素(如瞄准,空气阻力,炮弹或炮身结构等)综合影响的. 每个随机因素对弹着点(随机变量和)所起的作用都是很小的. 那么弹着点服从怎样分布?,2,t课件,一、中心极限定理的意义,如果一个随机变量是由大量相互独立的随机因素的综合影响所造成,而每一个别因素对这种综合影响所起的作用不大,则这种随机变量一般都服从或近似服从正态分布.,自从高斯指出测量误差服从正态分布之后,人们发现,正态分布在自然界中极为常见.,高斯,3,t课件,一、中心极限定理的意义,现在我们就来研究独立随机变量之和所特有的规律性问题.,当n无限增大时,这个和的极限分布是什么呢?,在什么条件下极限分布会是正态的呢?,4,t课件,一、中心极限定理的意义,5,t课件,一、中心极限定理的意义,在概率论中,习惯于把和的分布收敛于正态分布这一类定理都叫做中心极限定理.,6,t课件,二、李雅普诺夫中心极限定理,1. 李雅普诺夫(Lyapunov)定理,7,t课件,注意:,二、李雅普诺夫中心极限定理,8,t课件,二、李雅普诺夫中心极限定理,对于李雅普诺夫定理中的随机变量序列,将其约束条件改为独立同分布,即,林德贝尔格勒维 中心极限定理,9,t课件,三、勒维中心极限定理,2. 林德贝尔格勒维(Lindeberg-Levy)定理,10,t课件,三、勒维中心极限定理,11,t课件,三、勒维中心极限定理,12,t课件,例1 对敌人的防御地段进行100次轰炸,每次轰炸命中目标的炸弹数目是随机变量,其期望为2,方差为1.69.求在100次轰炸中有180颗至220颗炸弹命中目标的概率.,解:,设Xi -第i次轰炸命中目标的炸弹数,i=1,2, ,100,三、勒维中心极限定理,则100次轰炸命中目标的炸弹总数为,依题意,,13,t课件,例1 对敌人的防御地段进行100次轰炸,每次轰炸命中目标的炸弹数目是随机变量,其期望为2,方差为1.69.求在100次轰炸中有180颗至220颗炸弹命中目标的概率.,由中心极限定理,三、勒维中心极限定理,于是,,14,t课件,三、勒维中心极限定理,例2 计算机在进行数学计算时,遵从四舍五入原则. 为简单计,现从小数点后第一位进行舍入运算,设误差 . 若一项计算中进行了100次数字运算,求平均误差落入 上的概率.,解:,设Xi -第i次运算中产生的误差,i=1,2, ,100,则诸Xi 独立,服从 ,,100次运算的平均误差为,15,t课件,于是,,依题意,,由中心极限定理,三、勒维中心极限定理,16,t课件,对于勒维中心极限定理中的随机变量序列,将其约束条件改为独立同0-1分布,即,三、勒维中心极限定理,拉普拉斯 中心极限定理,17,t课件,四、拉普拉斯中心极限定理,3. 棣莫佛拉普拉斯(De Moivre-Laplace)定理,18,t课件,定理表明: 二项分布的极限分布是正态分布,四、拉普拉斯中心极限定理,在n重贝努利试验中,描述A事件发生次数的随机变量服从二项分布. 当试验次数较多时,根据中心极限定理,可利用正态分布近似计算二项分布,即,19,t课件,四、拉普拉斯中心极限定理,例3 100台车床独立工作,每台实际工作时间占全部工作时间的80%. 求任一时刻有70至86台车床工作的概率.,解:,则,依题意,,20,t课件,四、拉普拉斯中心极限定理,例3 100台车床独立工作,每台实际工作时间占全部工作时间的80%. 求任一时刻有70至86台车床工作的概率.,由中心极限定理,于是,,21,t课件,五、课程小结,1. 标准化因子,22,t课件,五、课程小结,中心极限定理其实是描述的随机变量序列和,经标准化后,当序列容量无限大时的极限分布.,2. 中心极限定理的内容,23,t课件,五、课程小结,24,t课件,六、课堂练习,根据以往经验,某种电器元件的寿命服从均值为100小时的指数分布. 现随机地取16只,设它们的寿命是相互独立的. 求这16只元件的寿命的总和大于1920小时的概率.,25,t课件,由题给条件知,诸Xi独立,,16只元件的寿命的总和为,且E(Xi)=100, D(Xi)=10000,依题意,所求为P(Y1920).,设第i只元件的寿命为Xi , i=1,2, ,16,解:,E(Y)=1600,D(Y)=160000,由中心极限定理,近似N(0,1),P(Y1920)=1-P(Y1920),=1-(0.8),1-,=1-0.7881=0.2119,六、课堂练习,26,t课件,

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