绝对值三角不等式及其应用课件.ppt

绝对值不等式,关于绝对值还有什么性质呢?,绝对值三角不等式,实数a的绝对值|a|的几何意义是：表示数轴上坐标为a的点A到原点的距离：,O,a,A,x,|a|,x,A,B,a,b,|a-b|,任意两个实数a,b在数轴上的对应点分别为A、B，那么|a-b|的几何意义是：,根据绝对值的定义，实数a的绝对值|a|有明确的几何意义：,A、B两点间的距离即线段AB的长度。,联系绝对值的几何意义，从“运算”的角度研究|a|,|b|,|a+b|,|a-b|等之间的关系：,分ab0和ab0时，如下图可得|a+b|=|a|+|b|,O,x,a,b,a+b,O,x,a,b,a+b,（2）当ab0,b0，如下图可得：|a+b|a|+|b|,O,b,a,x,a+b,如果a0，如下图可得：|a+b|a|+|b|,a+b,a,b,x,O,（3）如果ab=0，则a=0或b=0，易得： |a+b|=|a|+|b|,定理1 如果a, b是实数，则 |a+b|a|+|b|当且仅当ab0时，等号成立。,探究 如果把定理1中的实数a, b分别换成向量a, b, 能得出什么结果？你能解释它的几何意义吗？,x,为了更好地理解定理1，我们再从代数推理的角度给出证明,由于定理1与三角形之间的这种关系，我们称|a+b|a|+|b|,这个不等式为绝对值三角不等式。,证明: 10.当ab0时,20. 当ab0时,综合10,20知定理成立.,定理1的代数证明：,探究 你能根据定理1的研究思路，探究一下|a|,|b|,|a+b|,|a-b|等之间的其他关系吗？例如：|a|-|b|与|a+b|，|a|+|b|与|a-b|，|a|-|b|与|a-b|等之间的关系。,|a|-|b|a+b|, |a|+|b|a-b|, |a|-|b|a-b|.,如果a, b是实数，那么 |a|-|b|ab|a|+|b|,|a|-|b|a+b|a|+|b|,以上讨论了关于两个实数的绝对值不等式，这是最基本、最重要的绝对值不等式。根据这样的思想方法，我们可以讨论涉及多个实数的绝对值不等式问题,定理2 如果a, b, c是实数，那么 |a-c|a-b|+|b-c|当且仅当(a-b)(b-c)0时，等号成立。,证明：根据绝对值三角不等式有 |a-c|=|(a-b)+(b-c)|a-b|+|b-c|当且仅当(a-b)(b-c)0时，等号成立。,B,绝对值三角不等式的应用,证:,证明： |2x+3y-2a-3b|=|(2x-2a)+(3y-3b)| =|2(x-a)+3(y-b)|2(x-a)|+|3(y-b)| =2|x-a|+3|y-b|2 +3=5.所以 |2x+3y-2a-3b|5.,例2 两个施工队分别被安排在公路沿线的两个地点施工，这两个地点分别位于公路路碑的第10km和第20km处。现要在公路沿线建两个施工队的共同临时生活区，每个施工队每天在生活区和施工地点之间往返一次。要使两个施工队每天往返的路程之和最小，生活区应该建于何处？,分析：假设生活区建在公路路碑的第xkm处，两个施工队每天往返的路程之和为S(x)km，则有 S(x)=2(|x-10|+|x-20|)，要求问题化归为求该函数的最小值，可用绝对值三角不等式求解。,