不确定条件下的选择分析.docx

第五章 不确定条件下的选择前面两章讨论了确定性环境中的消费选择问题，即涉及的价格、收入、消费量等变量都具有确定性。然而实际消费选择并非总是在这种确定性环境中进行的，比如人们可以借款进行超支消费，如借款购房或贷款进大学接受高等教育，这种超支消费同人们未来收入有关，然而未来是不确定的，一个人的未来收入可能提高，也可能降低，也可能失业而只能享受社会救济。如果未来收益很低，那么当前的超支在未来就无能力偿付。因此，当前是否要超支消费，这是一个不确定的消费选择问题。又如择业，是在国有企事业单位找一份工作，以求得稳定的（较低）工资收入和安全的社会保障，还是在合资企业求得一个高薪职位但面临很大风险呢？一个人是把他(她)的余款存入银行以求得安全的低利息收入，还是利用余款购买股票进行投资，求得一个高收益但面临较大风险呢？这还是一个带不确定性的选择问题。本章讨论这种不确定条件下的消费选择问题。第一节 不确定性选择事例通常的“不确定”一词，是说人们不能确定某种行为一定会发生某种结果。经济学家对这个词的含义进行了严格界定，区分了两个不相同但相联系的概念：不肯定性与风险。不肯定性(uncertainty)是指人们既不能确定某种经济行为一定会发生某种结果，又不能确定其发生的可能性大小。出现不肯定性的原因可能是人们行为本身就具有不确定性因素，或者是人们行为不完全独立，或者是人们缺乏必要的信息等等。风险(risk)是指人们虽然不能确定某种经济行为一定会发生某种结果，但能够确定其发生的可能性大小，或者说，经济行为产生某种结果的可能性大小是客观存在，由客观条件决定。比如人们可以根据已有的经验，确定出某种经济行为的各种可能结果，并且确定出每种结果发生的概率。这样一来，便可计算这种经济行为的期望值，并利用期望值进行分析。下面来看不确定性条件下选择的几个事例。例1. 抽彩(lottery)设有两种奖品通过抽彩才能获得。第一种抽彩方式(即第一种彩票)是：获得奖品1的概率为，获得奖品2的概率为。第二种抽彩方式(即第二种彩票)是：获得奖品1的概率为，获得奖品2的概率为。抽彩人得到奖品1后，能获得个单位的效用；获得奖品2后，能获得个单位的效用。问抽彩人喜欢抽哪一种彩票？要回答这个问题，需要计算这两种彩票的预期效用（即效用的期望值）。用表示第一种彩票的预期效用，表示第二种彩票的预期效用。根据概率论的有关知识可知， ， 比较一下和的大小，如果，说明第一种彩票的效用期望值更大，因此抽彩人更喜欢第一种抽彩方式，选择第一种彩票。同理，当时，抽彩人会选择第二种彩票。当时，两种彩票的效用期望相同，因而对抽彩人来说无差异。这个例子同时也说明，一种彩票可以用抽彩的中奖概率分布来表示。比如说有一种彩票有个等级的奖励：1等奖，2等奖，等奖(末等奖)，等奖(无奖)。获得等奖的概率为（)，。这个彩票可用它的中奖概率分布来表示。再设抽彩人获得等奖时，可获得个单位的效用，则该彩票的预期效用为。预期效用越大的彩票，抽彩人（消费者）就越偏好于这种彩票。总之，彩票抽彩可用下表加以表示。 表5-1 彩票抽彩奖励等级1等奖2等奖等奖等奖中奖概率中奖效用预期效用例2. 赌博(gamble)赌博是典型的依靠随机因素来决定收入的现象，用它可来区别一个人是冒险者还是避险者。比如甲、乙两个球迷在为“巴西法国”足球比赛的胜负争执不休，甲认为巴西队赢，乙认为法国队赢。于是，有人建议他们以50元赌金打赌。如果不赌，甲和乙谁都不会赢得50元，当然也不会付出50元，双方收入50元不变。如果赌，赌赢者可得50元（收入变为100元），赌不赢就要付出50元(收入变为0元)。那么他们俩人是否要进行这场赌博呢？我们作一下分析。甲和乙之所以争论不休，是因为各人有各人的信息，各人有各人的判断。甲说巴西队赢球，是因为甲认为巴西队胜球的概率大于法国队。乙说法国队赢球，是因为乙认为法国队赢球的概率大于巴西队。设甲认为巴西队赢球的概率为，法国队赢球的概率为；乙认为巴西队赢球的概率为，法国队赢球的概率为。则，。用表示甲的货币收入效用函数，表示乙的货币收入效用函数。甲根据自己的概率判断，计算出赌博的预期效用为；乙也根据自己的概率判断，计算出赌博的预期效用为。如果，那么甲参加赌博的预期效用大于不赌的效用，甲会参加赌博。同样，如果，那么乙参加赌博的预期效用大于不赌的效用，乙会参加赌博。只有当且时，这场赌博才能开展起来。否则，就有一方不愿意打赌。可见，一个人是否参加赌博，要看他打赌的预期效用是否大于不赌的效用。赌博是一种增加人们收入的冒险行动。赌赢了，人们收入会得到较大幅度的增加，但却冒着赌输使收入减少的风险。也正是这种风险，让不少赌徒倾家荡产。一个人是否喜欢赌博，这要看他对待风险的态度。我们以赌博为例，来对人们对待风险的态度作一个分析。设有一个赌博，赌输要输掉元，赌赢则可得到元的收获。某人现有货币收入元且，因而具有参加赌博的资金条件。那么他是否喜欢赌博？这取决于他对待赌博的态度。假定该人认为这场赌博输的概率为，赢的概率为，他的货币收入效用函数为。如果不参加赌博，则收入元不变，效用为；如果参加赌博，则预期收入为，预期效用为。当时，即当赌博的预期收入等于不赌的收入时，称这种赌博是公平赌博。一个人是否喜欢冒险，要看他对待公平赌博的态度。在公平赌博面前，如果他认为赌博的预期效用大于不赌的效用，即认为赌比不赌好，那么他就是一个喜欢冒险的人，称为冒险者或者称为风险爱好者；如果他在公平赌博面前认为不赌比赌好(即)，那么他就是一个不喜欢冒险的人，称为避险者或者称为风险规避者；如果他在公平赌博面前认为赌与不赌是一样的(即)，那么就称他是一个风险中立者。显然，一个人对待风险的态度，完全表现在他的效用函数的性态上(如图5-1所示)：(1) 风险爱好者的效用函数是凸函数，即对任何两种收入和，及任何实数，都有。(2) 风险规避者的效用函数是凹函数，即对任何两种收入和，及任何实数，都有。(3) 风险中立者的效用函数是线性的，即对任何两种收入和，及任何实数，都有。 (a) 风险爱好者 (b) 风险规避者 (c) 风险中立者 图5-1 对待风险的态度与效用函数性态应该说，我们大多数人都是不好冒险的，是避险者，谁能在不肯定的赌博收入等于肯定的不赌收入的情况下选择赌博呢？因此，边际效用递减规律(即效用函数为凹函数)对于大多数人来说都是适用的。我们再来看一下在不公平赌博面前，风险爱好者、风险规避者和风险中立者的不同态度。不公平赌博有两种：一种是预期收入大于不赌的收入，称为盈赌；另一种是预期收入小于不赌的收入，称为亏赌。假定效用函数是严格递增的（即收入越多，效用越大）。对于亏赌来说，。根据的严格递增性，。风险规避者及风险中立者认为，故，因此他们肯定不参加赌博；但风险爱好者认为，因此，与哪个更大不得肯定。这就是说，风险爱好者甚至连亏赌都有可能参加（因为有可能）。对于盈赌来说，因此。风险爱好者和中立者认为，因而，他们肯定要赌；但风险规避者认为，于是与哪个更大不得而知，这就是说，风险规避者甚至连盈赌都不一定参加（因为有可能）。以上对于赌博的分析，可用下表加以总结。 表5-2 赌博与对待风险的态度对待风险的态度效用函数的性态公平赌博盈赌亏赌风险爱好者凸函数赌赌不一定不赌风险中立者线性函数可赌、也可不赌赌不赌风险规避者凹函数不赌不一定赌不赌例3. 择业设某人面临两种工作，需要从中选择出一种。第一种工作是在私营公司里搞推销，薪金较高，但是收入是不确定的。如果干得好，每月可挣得2000元；干得一般，每月就只能挣得1000元。假定他挣得2000元和挣得1000元的概率各为1/2。第二种工作是在国营商店当售货员，每月工资1510元。但在国营商店营业状况极差的情况下，每月就只能得到510元的基本工资收入。不过，一般情况下国营商店营业状况不会极差，出现营业状况极差情况的可能性只有1，因此第二种工作获得月收入1510元的可能性为99。计算一下这两种工作的预期月收入和：（元）（元）可见，月收入的期望值都为1500元。再计算一下这两种工作月收入的方差和：所以，两种工作的标准差分别为，。说明，第一种工作虽然收入可高达2000元，但风险大（即方差大）；第二种工作虽然收入最高只有1510元，但风险小（即方差小）。这个人会选择哪一种工作呢？如果他不喜好冒险，他会选择第二种工作，因为两种工作的预期收入相同，但第二种工作的风险小。如果他喜欢冒险，认为不冒险就发不了财，他就会选择第二种工作。如果两种工作的预期收入不同，比如说第一种工作在“干得好”和“干得一般”两种情况下的月收入都比上面所述的收入要增加100元，第二种工作的收入情况还是如上，则（元）（元）第一种工作虽然能向他提供比第二种工作更大的预期收入，但同时第一种工作比第二种工作风险大。敢作敢为、富有挑战精神的人可能会选择高预期收入、高风险的第一种工作，比较保守的人可能会选择第二种工作。在这种预期收入不同、风险不同的(工作)选择面前，人们究竟如何选择呢？要回答这个问题，需要对风险行为进行深入研究。第二节 预期效用本节讨论消费者在不确定环境中进行选择所依据的行为准则和目标。上节所述的几个事例说明了这样一个问题：在不确定的环境中或者具有风险的情况下，人们是根据预期效用进行决策的。这就是说，如果消费者对各种风险消费选择有一个评价(即有一个偏好关系)的话，那么这种评价(偏好)肯定是根据某种预期效用作出的。我们不禁要问：事实真是如此吗？对风险行为的评价背后是否有预期效用作为支持？答案可以说是肯定的。下面就来建立预期效用理论，回答这个问题。一、风险选择集合回到上节例1中，彩票可以用各种可能的获奖结果和获得各种奖的概率分布加以描述。设共有个等级的奖励：1等奖, 2等奖, , 等奖。一种彩票代表了获得各等级奖励的一种概率分布，不同彩票的获奖概率分布不同（这里考虑的不同彩票，仅仅是指购买这些彩票获得各等奖励的概率分布不同，而所有彩票的奖励类型都是相同的）。这样一来，每一种彩票都可用购买它的获奖概率分布来表示。当概率分布变为时，便代表了另一种彩票。抽彩人可以在各种彩票中选择购买，于是，抽彩人的选择范围可以用各种可能的概率分布的集合来表示。称此集合为抽彩的选择集合。注意，是欧氏空间的有界闭凸子集。对于任何两种彩票和，当为某随机事件发生的概率时，代表了一种以概率获得彩票，以概率获得彩票的新彩票，该彩票等同于获奖概率分布为的彩票。称为彩票和的复合彩票，或者称为复合抽彩。这就是选择集合的凸性的意义所在。抽彩行为的这种描述方式还可以一般化。设共有种商品可供人们选择，确定性商品空间为，确定性的选择集合（消费集合）为。在不确定的环境中，人们的选择依赖于某些自然状态(或事件)的是否出现，而这些自然状态出现与否是随机的或者不确定的。比如，如果天下雨，消费者购买雨伞；如果不下雨，就购买太阳镜。而天是否下雨，则不确定，但我们能根据气象台的天气预报说出下雨的概率。用表示影响人们选择的自然状态的全体，随机事件可用的子集表示。假定每个人都能根据自己掌握的知识和获悉的信息，判断出随机事件发生的可能性大小。这就是说，假定每个人都有自己的概率空间,其中为事件域(即为上的一个域），为上的概率（测度）函数。从这个概率空间出发，一种风险选择就是一种随机行为，表现为上的一个随机向量 (即是从到的一个映射）。这就是说，如果中的状态出现，就选择向量。由于出现与否不得肯定，因而不能肯定究竟选择中的哪一个向量。然而，选择中各个商品向量的概率分布是可以确定或估计的。这么一来，在带有不确定性的情况下，上的维随机向量的全体便代表了这个人所有可能的风险选择行为。用或表示来表示这个集合，即并称该集合为经济活动者的风险选择集合。对于，的数学期望向量称作的预期向量或预期值。风险选择集合扩充了确定性选择集合，即每一种确定性的选择都可看作是一种特殊的随机选择：（对任何）。更一般地，如果随机向量的取值几乎处处相等，即几乎处处等于某个（也即），则可把这个随机向量看成是确定性的向量，也就是说，可认为。易见，。作了这个解释后，我们可认为。当考虑风险行为的预期值时，必然涉及确定性行为之间的加权平均运算，而且还要涉及到这些运算结果序列的极限（比如连续型随机向量预期值的定义中既涉及加权平均运算，又涉及积分，而积分本身就是一种极限）。因此，一般情况下都要假定确定性选择集合是空间的凸闭子集。本章的分析中，哪里需要的凸闭性，哪里就假定是凸闭集，而不再赘述。从概率论知道，研究随机向量时，只要知道了随机向量的取值范围和概率分布，就满足了我们的要求。因此，分布相同的随机向量可以看作相同的随机向量。所谓是维随机向量的分布函数，是指是一个元实值函数，且对于任何，。分布函数的密度函数，是一个实值函数使得对任何，都有：(1) (2) (3) 由于中的随机向量取值于集合之中，因此可以认为的分布密度函数在集合之外取值为零：当时，。今后,我们把随机向量与它的分布函数（或者分布密度函数）等同看待。这样，就可用分布函数集合来替代风险选择集合，其中定义如下：是中的某随机向量的分布函数象复合抽彩一样，对于一般的随机行为，也有复合随机行为的概念。设为两种随机行为，分别为的分布函数，分别为的密度函数，为一事件发生的概率。用表示这样的复合随机行为：以概率选择，以概率选择（注意，与的含义不同）。亦即，当事件发生时，按照进行随机选择；当事件不发生时，按照进行随机选择。这也就是说，代表了这样的一种随机选择（随机向量）：如果事件发生，那么每当自然状态出现时，就选择；如果不发生，那么每当自然状态出现时，就选择。称为随机选择和的复合选择，或者称为随机向量和的复合随机向量。复合随机向量的概率分布可计算如下。对任何，用表示事件，则根据全概率公式（其中）可知，这说明，复合随机向量的概率分布函数是各个随机向量的分布函数按照概率进行的加权平均。同时也说明了分布函数的加权平均的意义。注意，随机向量的复合不要求确定性选择集合的凸性。既然我们可用分布函数集合代替随机向量集合，可见在带有不确定性的选择环境中，随机选择集合必然是凸集，即是凸集（尽管可能不是凸集）。今后，我们把分布函数称为按概率(和进行的复合分布函数。容易看出，复合分布的密度函数为。称此密度函数为按概率(和)进行的复合密度函数。以上分析表明了用分布函数集合替代随机选择集合的优越性所在：复合行为就是对概率分布进行加权平均。鉴于此，今后就直接把称为随机选择集合，即视和为同样的集合。二、预期效用性质我们先计算一下复合抽彩的预期效用。设为抽彩人获得第种奖品时获得的效用量。对于彩票，抽彩人的预期效用为：当和为两种彩票，为某事件发生的概率时，复合抽彩的预期效用为：这说明复合抽彩的预期效用等于其中各抽彩的预期效用的预期效用。抽彩人在复合抽彩中所表现出来的这种效用评价特点，称为预期效用性质。其实，预期效用性质不但为复合抽彩所具有，而且对一般的随机行为也是基本适用的。为了说明这一点，设是消费者在确定性环境下的效用函数，并假定定义在整个商品空间上。对于，设为其分布函数，则的预期效用(也可表示为)定义为：当为连续型随机变量且为的密度函数时，则的预期效用可写成：在带有不确定性的选择环境中，消费者的目标是让预期效用最大化。因此，如上的预期效用实际上给出了消费者在风险选择集合上的一个效用函数，称其为预期效用函数。当（)为确定性行为时，。 因此，预期效用函数是原来确定性的效用函数的扩充。对于任何及，复合随机行为的预期效用为也即对于任何及，都有。这说明不确定性条件下，从确定性效用函数导出的预期效用函数具有预期效用性质。三、预期效用函数预期效用性质在不确定性或风险问题研究中是相当重要的，也是有力的工具。确定性效用函数引导的预期效用函数，既具有预期效用性质，又诱导出了风险选择集合上的一个偏好关系：对于任何，当且仅当。对于这个偏好关系来说，表示它的效用函数有无穷多个，但是所有这些效用表示中最重要的一个，因为这个效用函数具有预期效用性质。更一般地，我们有下面的定义。预期效用性质风险选择集合上的效用函数叫做具有预期效用性质，是指对任何及任何实数，都有。如果直接采用随机向量集合表示风险选择集合，那么预期效用性质的表达方式变成为：任何及任何实数，都有。凡是具有预期效用性质的效用函数（或者），都叫做预期效用函数，或者叫做von Neumann-Morgenstern效用函数，简称为VNM效用函数。不过采取后一种叫法时，其意义已经扩充了原来的von Neumann-Morgenstern效用函数概念。 当一个预期效用函数是上的某个偏好关系的效用表示时，就称是的预期效用表示，或者称是的预期效用函数。具有预期效用表示的偏好关系，也就叫做预期偏好。（一）预期效用公理下面看一看在什么条件下，一个偏好关系的预期效用函数存在。为此，设是风险选择集合上的一个偏好关系。我们需要对提出一些附加性公理。阿基米德公理对于任何的，如果，则存在使得。独立性公理对于任何的及任何实数，如果，则连续性公理对于任何的，集合和集合都是闭集。这三条公理称为预期效用公理，其几何直观意义如图5-2所示。阿基米德公理的经济含义是，如果随机行为的好坏程度介于和之间，那么必然存在与的两种复合行为和，使得的好坏程度介于和之间。独立性公理的经济含义是，如果随机行为不优于，那么对于任何第三种随机行为来说，与的任何复合行为必然也不优于与的相应的复合行为。从独立性公理立即可知，当，即与无差异时，复合行为与也无差异。连续性公理是拓扑意义下关于偏好连续性的一般性要求。实际上，连续性公理蕴含着阿基米德公理。因此，阿基米德公理是关于偏好序连续性的最弱要求。 (a) 阿基米德公理 (b) 独立性公理 (c) 连续性公理图5-2 预期效用公理预期效用函数定理设是风险选择集合上的偏好关系。具有预期效用表示当且仅当服从阿基米德公理和独立性公理。当具有预期效用表示时，的预期效用函数在仿射变换下是唯一的，即若和都是的预期效用函数，则必存在实数和，使得对一切，都有。本定理的证明过于复杂，这里省去。感兴趣的读者可参考费希博恩的著作决策的效用理论(P.C. Fishburn, Utility Theory for Decision Making, New York: Wiley,1970)。另外，费希博恩还在这部著作中给出预期效用的积分表示形式，从而使得预期效用问题得到了圆满解决。下面我们介绍费希博恩关于预期效用的积分表示理论。（二）预期效用的积分形式设概率空间中的自然状态集合就是确定性条件下消费者的选择集合，即。这样做的经济意义是：在不确定性的环境中，消费者能够估计出每一种随机行为下选择到的一个子集合中的向量的可能性大小，即能估计出概率，这就象抽彩人能够知道每种彩票获得各种奖品的概率大小一样。同前面一样，对于，用表示取值为常向量的随机向量，用表示的分布函数。于是可以认为，从而可以认为。另外，我们要求的每个单点子集都是的元素。这就是说，消费者能够估计出每一种随机行为下选择到中的一个向量的可能性大小。作了这样的看待后，如果是上的偏好关系，那么同时规定了消费者在上的偏好关系。也就是说，对于，是指。定义(可测的偏好)上的偏好关系叫做是可测的，是指对于任何的，集合和都是的元素。单调性公理对任何及，如果几乎对所有都成立，则；如果几乎对所有的都成立，则。换个说法，单调性公理是说，对于任意的、及，设为的密度函数，当时，(1) 如果对一切成立，则；(2) 如果对一切成立，则。对此，我们作一点解释。条件是说，随机选择行为的选择结果几乎总是出现在集合中，即几乎总是选择中的商品向量。(1)是说，如果中每个向量对消费者的效用都没有的效用大，那么随机选择的效用也就没有的效用大。(2)是说，如果中每个向量对消费者的效用都不比的效用小，那么随机选择的效用也就不比的效用小。预期效用的积分表示设为概率空间，对一切成立，是上的可测偏好关系，并且服从阿基米德公理、独立性公理和单调性公理。则存在一个有界可测实值函数使得对一切，都有而且这个函数在仿射变换下是唯一的。预期效用函数概念是von Neumann-Morgenstern效用函数概念的扩展，而预期效用的积分表示中的效用函数，才是原来意义下的von Neumann-Morgenstern效用函数。鉴于此，当一个有界可测实值函数满足如下条件时：就称是偏好关系的von Neumann-Morgenstern(简称VNM)效用函数。积分表示定理说明，一般情况下偏好关系的VNM效用函数都是存在的。特别地，当概率空间和偏好关系满足积分表示定理的条件且时，存在的VNM效用函数，从而存在通常意义下的预期效用：对于任何，一般情况下，如果我们只知道风险选择集合上的某个偏好关系的预期效用函数，而不知道的VNM效用函数是否存在，那么由于具有预期效用性质，我们可以直接认为就是随机选择行动的效用的预期值。预期效用函数存在定理和预期效用的积分表示定理告诉我们，在带有不确定性的选择环境中，当影响人们选择的自然状态概率空间存在时，也即当不确定事件发生的概率可以确定时，人们对各种随机选择行动的好坏评价虽然是依照个人偏好进行的，但这实际上是预期效用在起着作用，也就是说，人们对随机行为实际上是依照预期效用大小进行评价的。第三节 主观概率上一节解决了风险选择情况下偏好关系的预期效用表示问题，建立了预期效用公理体系，证明了服从这套公理体系的经济行为背后必然有预期效用的支持。然而，我们对进入预期效用函数的“概率”的确切性质还不太清楚。直接的解释可以说它们是客观存在的，即“客观概率”，比如是在对频率观察的基础上计算出来的概率。但我们也不止一次地提到，决策者可根据自己的经验、自己掌握的信息和知识对事件发生的概率作出判断或估计，这种判断当然因人而异，与个人的主观感觉不无关系，因而是“主观概率”，即决策者主观上认为的某些事件发生的可能性。如果所涉及的只是客观概率，那么经济决策涉及的就只是风险。如果涉及到主观概率，那么经济活动的性质就带有真正意义下的不确定性，即不肯定性。事实上，在实际经济决策活动中，决策者涉及的的一般都是主观概率与客观概率的混合。可见对于主观概率的研究，在不确定性问题研究中相当重要。象用预期效用公理体系来推断预期效用函数存在一样，我们也可以问：关于选择行为的何种公理体系能够用于推断主观概率的存在？即在什么样的公理体系下，一个人在不确定情况下的选择行为可以视为他好象根据某种主观概率度量的预期效用来进行决策？幸运的是，这种公理体系确实存在并且合理似然，它是由萨维奇1954年构建的，1972年又对其进行了修订、补充和完善。迄今为止，萨维奇的结果一直处于领先地位，还未见到在不确定性决策公理化研究方面出现其完美性超过萨维奇的其它结果。下面，我们对萨维奇的主观概率公理体系作一概要介绍。想了解具体细节的读者，可参考萨维奇的统计分析基础(L.J. Savage, Foundation of Statistics, New York: Dover Publications, 1972)。一、不肯定性行为的表述不肯定性条件下决策者的选择结果依赖于某些自然状态，而事件发生的概率却未必是客观存在的。用表示所涉及的一切自然状态构成的集合，称为状态空间。用表示的幂集，即的所有子集之集族，也可简记为，即。中的元素称为事件。用表示一切可能出现的选择结果的集合，称为确定性选择集合。假定是实数集合的子集。决策者的行为可用一个映射表示，其意义是说决策者的选择依赖于出现哪种自然状态：如果状态出现，那么他就选择。但究竟选择中哪一个结果，则不得而知，并且不知道选择到中的一个结果的概率有多大。这样的选择行为才是真正意义上的不确定性行为。用表示一切可能的不肯定性行为的全体，即是由所有从到的映射构成的集合，称为决策者的选择集合或者称为决策者的行为空间。对于不确定性行为，集合称为的结果集合。注意，结果集合中的每种结果都代表一种(实际上不带有不确定性的)“不确定性”行为：对任何，。称这个行为为确定性行为，并把与等同看待。作了这个说明之后，我们今后将不在区分与，并且直接用表示。也就是说，我们认为。在不确定条件下，决策者要根据自己的判断来在选择空间中选择一种行动，这意味着决策者在上有一个偏好关系，它对各种行为的好坏作出了排序。由于，因此上的偏好关系确定了上的偏好关系(仍用表示)，即可用对中的各种结果排出好坏次序来。需要注意，对于和，和具有不同的意义：表示行为不比确定性行为优；而表示结果不比结果优，或者说把结果也当成一种行为来看待的话，确定性行为不比确定性行为优。(一) 状态分划为了研究不确定性，人们往往会依据某种原则对影响人们选择的各种可能的不确定性因素(即自然状态)进行分门别类。这种做法体现为对状态空间进行分划。所谓状态空间的一种分划，是指由的有限个互不相交的子集构成的集族，满足条件。(二) 复合行为设是状态空间的一个分划，是一系列不确定性行为，即中的一个有限序列。我们可以把这个行为复合在一起，构成一种新的不确定性行为：对于每个，当时，。这个新行为叫做行为的复合行为，并记作。容易看出，对于结果集合为有限集合的不确定性行为，设，并令，则是的一个分划并且。复合行为的经济意义是什么呢？实际上，这里的复合行为类似于上一节中所说的复合彩票。它是说：如果事件发生，则按照计划进行不确定性的选择；如果事件发生，则按照计划进行不确定性的选择；如此等等，如果事件发生，则按照计划进行不确定性的选择。经常碰到的是两个行为的复合。设，为的余集。与的复合行为，就是通过事件的发生与否来决定的一种新的不确定性行为：如果事件发生，就采取行为；否则，采取行为。(三) 条件偏好设（即为一事件），为任意两个不确定性行为，为上的一个偏好关系。如果对任何的，都有，则称依事件不优于，或者称依事件不比优，或者称为依事件不次于，记作，或记作。这种由事件决定的偏好关系，称为条件偏好关系。显然，当时，对任何，都有；而当时，偏好与条件偏好一致。(四) 零事件设。如果对于任何，都有，则称是零事件。否则，称是非零事件。显然，空集是零事件。二、主观概率公理体系萨维奇对上的偏好关系提出了以下六条公理。确认性公理对任何及任何，当且仅当。确认性公理蕴含着对任何事件，条件偏好是非空偏好。这条公理也表明了一种独立性：对于两种不确定的选择行为，决策者关心的只是这两种选择有何不同，他对这两种行为的好坏评价也就只取决于两种选择的不同之处，而与相同之处无关。也就是说，与行为相比，决策者是否更偏好于行为，取决于区别集合，而与具有相同选择结果的集合无关。简言之，不确定性选择上的差别，决定着决策者的偏好。状态独立公理对任何非零事件，任何及任何，当且仅当。状态独立公理表明，决策者在结果集合上对各种结果作出的好坏排序，不依赖于任何非零事件，从而也与自然状态无关。同时这条公理也表明，如果两种不确定行为仅仅在一种自然状态下的选择结果不同，那么着两种不同选择结果之间的优劣比较决定了这两种行为之间的优劣比较。定性概率公理对于任何及确定性行为，设且，则 当且仅当。定性概率公理保证了事件域上实质上存在着某种定性的概率关系，定义如下：对于任何，事件至少与事件等可能发生，记作 * ，是指存在，使得。非退化公理存在满足。无原子公理对于任何，如果，则存在的分划，使得和对一切成立。无原子公理起着连续性假设的作用，它还（与非退化公理一道）蕴含着状态空间的无限性。进一步，无原子公理与如上所述的各公理一道，蕴含着选择集合按照序拓扑可成为一个连通的拓扑空间。条件单调性公理对任何及，如果对一切成立，则；同样，如果对一切成立，则。三、萨维奇定理函数叫做状态空间上的有限可加概率测度，是指具有以下三条性质：(1) 对任何，都有，(2) ，(3) 对于任何有限个两两不交的集合，都有。测度叫做是无原子测度，是指对任何实数及集合，都存在满足：(1), (2)。萨维奇定理对于行为空间上的任一偏好关系来说，下面两个命题等价：(1) 服从确认性公理、状态独立公理、定性概率公理、非退化公理、无原子公理和条件单调性公理。(2) 上存在唯一的有限可加无原子概率测度，存在一个在仿射变换下唯一的有界函数，使得对任何，当且仅当。萨维奇定理指出了保证主观概率和VNM效用函数唯一存在的不确定性经济行为公理。不过这里的概率稍不同于通常所说的概率，它只具有有限可加性，而不具有可数可加性，这是因为在无限状态空间上，当事件域为的一切子集之集族时，满足可数可加性的概率是不存在的。因此，经典概率论中总是要求事件域只是样本空间的一部分子集所组成的集族，然后才要求概率具有可数可加性。如果我们仿效经典概率论的做法来研究主观概率问题，那么我们所得到的主观概率就会同经典概率论中使用的概率具有同样的性质，因而可用经典概率处理主观概率问题。例1. 主观概率的测定我们以赌博为例，简要说明一下如何测定主观概率的问题。设赌博的结果只有两种：要不然获得收入，要不然获得收入()。因此，确定性选择集合。设为状态空间，为事件域，它是一个代数。一切可能的赌博所构成的集合可表示为：，其中是说，获得收入的概率为，获得收入的概率为。现在，消费者不知道一次赌博中获得这两种收入的概率分布情况，但消费者能够对各种可能的赌博作出好坏判断，即他在上有一个偏好关系 。我们看一看如何从这个偏好关系来测定消费者在赌博评价中的主观概率。任意给定，考虑这样的赌博：当事件发生时，获得收入；当不发生时，获得收入。这个赌博可表示为，即，当时，；当时，。显然，即在我们考虑的赌博范围之内。这样，在中必然存在着一个赌博满足（即消费者认为与无差异）。假设该消费者认为（即高收入比低收入好，从而偏好是非退化的），并且认为获得赌博中获得高收入的可能性越大越好（即当且仅当。从而偏好满足独立性公理）。于是与无差异的赌博中的实数是唯一确定的，这个就可认为是消费者对事件发生的可能性大小的主观判断主观概率。令，可以证明这样定义的函数服从概率的基本性质，因而可看作适赌博者的主观概率测度，也即就是赌博者的主观概率空间。萨维奇定理和上面事例说明，只要观察到的选择行为服从某些合理似然的公理，那么主观概率和效用函数都可从观察到的行为构建出来。其概率也必然服从贝叶斯定律：这里为任意两个事件，为条件概率，即事件发生的情况下事件发生的概率。比如彩票抽奖，开始时人们对中奖概率各有自己的判断，当然这个概率是很低的，前来抽彩的人不会那么多。当抽彩进行了一段时间后，如果奖品还未被抽走，那么人们就会修正以前作出的中奖概率判断，得出新的判断，即把先前的概率修改成为了条件概率。修改后的概率较以前要高，从而这个时候他就可能决定抽彩。贝叶斯定律说明了理性决策者如何根据事实(或依据得到的信息)来调整和修正他的主观概率判断。如果把贝叶斯公式中的解释为某一特定的假设，把解释为推断假设为真的证据，把解释为决策者认为假设为真的主观概率(即)，那么贝叶斯定律说明了决策者如何根据证据来调整他相信假设为真的概率。贝叶斯定律是重要的，它把先验概率(即在观察证据前假设为真的概率)与后验概率(即在观察证据后假设为真的概率)联系在一起，成为大多数理性学习行为模型的基础。第四节 两个悖论到目前为止，我们的分析似乎是直观的、合乎实际的，而且所建立的理论似乎是完美的。但要注意，我们并不能由此就说，该理论是对决策者实际行动的确切描述。且看下面的关于预期效用和主观概率的两个悖论。悖论1. 阿莱悖论(Allais paradox)(关于预期效用的悖论)现有四种彩票：，其中获奖收入与获奖概率分布情况分别如下表所示。彩票奖金(元)100500100010005000获奖概率1001089111891090通过调查发现，很多人都认为且，即偏好于而非，偏好于而非。这可能是因为与相比，购买彩票可稳稳当当地得到100元奖金，而购买彩票虽然以极大的可能性得到100元奖金和以较小的可能性得到500元的更高奖金，但同时还冒有一文不得的风险。既然购买最可能得到的奖金仍是100元，因此没有好，或者说比好。对于彩票和来讲，购买获得500元高额奖金的可能性仅比购买获得100元低额奖金的可能性小1，而且500元与100元之间的差额不算小，因此购买比购买要好。设预期效用函数为，那么而且应该有及。从可以推出。在此式两边加上可得：，即，这与实际调查结果相矛盾。阿莱悖论说明，实际中人们往往并不是按预期效用大小来对风险行为进行评价的。因此，预期效用理论也有不切实际的地方和时候。悖论2. 艾尔斯伯格悖论(Ellsberg paradox)(关于主观概率的悖论)袋中有红、蓝、绿三种颜色的球共300个，其中红球100个。现有四种形式的赌博：赌博：从带中摸出一球，如果为红球，可得1000元。赌博：从带中摸出一球