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第一章 集合,1.4 集合的运算,1.1 集合的含义与常用的数集,1.2 集合的表示方法,1.3 集合之间的关系,1.5 充分条件与必要条件,1.1 集合的含义和常用数集,1. 集合与元素 一般地，某些指定的对象集中在一起就成为一个集合，也简称集，通常用大写字母A、B、C表示.把具有某种属性的一些确定的对象叫做集合中的元素，通常用小写字母a、b、c表示；,1.1 集合的含义和常用数集,2. 集合和元素的关系 如果a是集合A的元素，记作aA，读作a属于A； 如果b不是集合B的元素，记作b B，读作b不属于B；,1.1 集合的含义和常用数集,例：“中国古代的四大发明”构成一个集合，该集合的元素就是指南针、造纸术、活字印刷术、火药。,“math”中的字母构成一个集合，该集合的元素就是m,a,t,h这4个字母。,“小于5的正整数”构成一个集合，该集合的元素就是1，2，3，4这4个数。,1.1 集合的含义和常用数集,3. 集合中元素的性质思考：“聪明的学生”能否构成一个集合？“boss”是由b，o，s，s四个元素构成的吗？,1.1 集合的含义和常用数集,（1）确定性：集合中元素必须是确定的，不确定的对象不能构成集合，如：“高三（1）班个子较高的同学”就不能构成集合。,（2）互异性：集合中任何两个元素都是不同的 对 象，如：“boss”中的字母构成集合中只有b，o，s这3个，而不能写出两个s。,（3）无序性：同一集合中的元素之间无顺序。,1.1 集合的含义和常用数集,4. 常用的数集一般地，我们约定用一些大写英文字母，表示常用的一些数的集合（简称数集）。自然数集，记作N；正整数集，记作N+ 或N* ；整数集，记作Z；有理数集，记作Q；实数集，记作R。,1.1 集合的含义和常用数集,练习一判断下列语句能否确定一个集合（1）小于8的自然数；（2）本班个子高的同学；（3）参加2008年奥运会的中国代表团成员,1.1 集合的含义和常用数集,练习二判断下面关系是否正确（1）0 Z （2） 1/2Q （3）0 N+ （4） -8 Z,1.1 集合的含义和常用数集,练习三用“属于”和“不属于”的符号填入空格（1）1/5_Z （2）1.4142_Q（3）-19_N （4） _R,1.1 复习,1、集合的含义 一般地，某些指定的对象集中在一起就成为一个集合。2、集合中元素的特征（1）确定性（2）互异性（3）无序性3、常用数集 自然数集N，正整数集N+或N*，整数集Z，有理数集Q，实数集R.,1.2 集合的表示方法,1. 集合的几种表示方法,（1）列举法：将集合的元素一一列举出来，并置于“”内，如1，2，3，4。用这种方法表示集合，元素之间需用逗号分隔，列举时与元素顺序无关。,（2）描述法：将集合的所有元素都具有的性质表示出来，写成x|P（x）的形式（其中x为集合中的代表元素，P（x）为元素x具有的性质。如x|x5且xN，x|x是中国古代四大发明）,1.2 集合的表示方法,（3）图示法,1.2 集合的表示方法,例1：由方程x2 -1=0的解的全体构成的集合，可表示为（1）列举法：1，-1。（2）描述法：x|x2 -1=0,xR（3）图示法：如下,1，-1,1.2 集合的表示方法,有限集：含有有限个元素的集合，叫做有限集。1，2，3，4无限集：含有无限个元素的集合，叫做无限集。x | x1，xR,1.2 集合的表示方法,例2：用列举法表示下列集合（1）x|x是大于2小于12的偶数（2）x|x2=4,解：（1）4，6，8，10 （2）2，-2,1.2 集合的表示方法,例3：用描述法表示下列集合（1）不小于2的全体实数的集合,解：（1）x|x2，xR;,1.2 复习,集合共有三种表示方法（1）列举法（2）描述法（3）图示法（韦恩图法）,1.3 集合之间的关系,1.3.1 子集，空集，真子集1.3.2 集合的相等,1.3.1 子集，空集，真子集,引入观察A，B集合之间有怎样的关系？（1）A=-1，1，B=-1，0，1，2；（2）A=N，B=R；（3）A=x|x为上海人，B=x|x为中国人。,1.3.1 子集，空集，真子集,很容易由上面几个例子看出集合A中的任何一个元素都是集合B的元素，集合A，B的关系可以用子集的概念来表述。,1.3.1 子集，空集，真子集,1. 子集 对于两个集合A与B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，那么集合A叫集合B的子集，记作：A B （或 B A），读作A包含于B（或B包含A）。,如果集合A不是集合B的子集，记作： A B，读作：A不包含于B。,1.3.1 子集，空集，真子集,2. 空集 我们把不包含任何元素的集合叫空集，记作： 我们规定：空集是任何一个集合的子集，即 A,1.3.1 子集，空集，真子集,3. 真子集 对于两个集合A、B，如果A包含于B，且B中至少有一个元素不属于A，则称集合A是集合B的真子集，记作：A B（或B A），读作：A真包含于B（或B真包含A）。 如：a，b a，b，c,1.3.1 子集，空集，真子集,由子集和真子集的定义可知： 对于集合A，B，C，若A B，B C，则 A C 对于A，B，C，若A B，B C，则 A C,1.3.1 子集，空集，真子集,例1： 说出集合A=a，b的所有子集与真子集。,解：集合A的所有子集是： ，a，b，a，b 上述集合除了a，b，剩下的都是A的真 子集。,1.3.1 子集，空集，真子集,例2： 说出下列各组的三个集合中，哪两个集合之间有包含关系？ （1）S=-2，-1，0，1，2，A=-1，1 B=-2，2； （2）S=R，A=x|x0，xR。,解：在（1）与（2）中，都有A S，B S,1.3.1 复习,1、子集 对于两个集合A与B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，那么集合A叫集合B的子集，记作：A B （或 B A），读作A包含于B（或B包含A）。2、空集 我们把不包含任何元素的集合叫空集，记作： 3、真子集 对于两个集合A、B，如果A包含于B，且B中至少有一个元素不属于A，则称集合A是集合B的真子集，记作：A B（或B A），读作：A真包含于B（或B真包含A）。,1.3.2 集合的相等,对于两个集合A与B，如果A B，且B A，则称集合A与B相等，记作A=B。例如：A=x|x2=4，B=2，-2 A和B就是两个相等的集合。,1.3.2 集合的相等,例1：说出下面两个集合的关系 （1）A=1，3，5，7，B=3，7； （2）C=x|x2=1，D=-1，1； （3）E=偶数，F=整数。,解：（1）B C （2）C = D （3）E F,1.3.2 复习,对于两个集合A与B，如果A B，且B A，则称集合A与B相等，记作A=B,1.4 集合的运算,1.4.1 交集1.4.2 并集1.4.3 补集,1.4.1 交集,1、引入 观察下列两组集合并用图示法表示出来（1）A=x|x为会打篮球的同学，B=x|x为会打排球的同学，C=x|x为既会打篮球又会打排球的同学；（2）A=-2，-1，0，1，2，B=-2，-1，3 C=-1，-2。观察上述组合A,B,C都有怎样的关系？,1.4.1 交集,很容易看出集合C中的元素既在集合A中，又在集合B中。,1.4.1 交集,2、交集的概念 一般的，由所有属于集合A又属于集合B的元素所组成的集合，叫做集合A与集合B的交集，记作AB，读作“A交B”。,1.4.1 交集,AB,AB=,相交,不相交,AB=A,AA=A,AB=BA,A =,1.4.1 交集,3、交集的性质对于任意两个集合都有（1）AB=BA（2）AA=A（3）A = A=（4）如果A B，则AB=A,1.4.1 交集,例1：已知A=1，2，3，4,B=3，4，5,求AB。解：AB=1，2，3，4 3，4，5=3，4,练习1： 设A= 12的正约数 ，B= 18的正约数 ，用列举法写出12与18的正公约数集。,解：A= 1, 2，3, 4，6, 12 ,B= 1, 2，3, 6，9, 18 ,12与18的正公约数集是,AB=, 1, 2，3, 4，6, 12 , 1, 2, 3, 6, 9, 18 ,= 1, 2, 3 , 6 ,练习2A4，3，2，1，0,1，2B4,3，2,1，0，1，2，求AB,1.4.1 交集,例2：已知A=菱形，B=矩形，求AB。解：AB=菱形 矩形=正方形,1.4.1 交集,例3：已知A=（x,y）|2x+3y=1，B=（x,y）|3x-2y=3,求AB。解：AB= （x,y）|2x+3y=1 （x,y）|3x-2y=3 = （x,y）| 2x+3y=1 3x-2y=3 = （11/13,-3/13）,1.4.1 交集,练习31、已知A=1，3，4，B=3，4，5，6，求 AB。解：AB=1，3，43，4，5，6=3，4,1.4.1 交集,练习42、已知A=a，b，c，d，B=b，d，m，n，求AB。解：AB=a，b，c，d b，d，m，n=b，d,1.4.1 交集,复习1、交集的概念和表示方法2、交集的性质,1.4.2 并集,引入 观察下列集合A，B，C有怎样的关系？ A=2，4，6，B=4，8，12， C=2，4，6，8，12,容易看出来，集合C中的元素是由集合A和集合B中的元素合并在一起构成的,1.4.2 并集,定义： 一般的，对于两个给定集合A，B，把它们所有的元素合并在一起构成的集合，叫做A与B的并集，记作AB，读作“A并B”。,1.4.2 并集,对于任何两个集合都有 （1）AB=BA； （2）AA=A； （3）A = A=A。 若A B，则AB=B；若A B，则AB=A,1.4.2 并集,例1： 已知：A=1，2，3，4，B=3，4，5，6，7，求AB。,解：AB=1，2，3，4 3，4，5，6，7 =1，2，3，4，5，6，7,1.4.2 并集,例2： 已知N=自然数，Z=整数，求NZ。,解：NZ=自然数 整数=整数,1.4.3 补集,引入 观察下列各组中的三个集合，它们之间有什么关系？ （1）S=-2，-1，1，2，A=-1，1， B=-2，2； （2）S=R，A=x|x0，xR， B=x|x0，xR。,1.4.3 补集,设有两个集合A，S，由S中不属于A的所有元素组成的集合，成为S的子集A的补集，记作CsA（读作“A在S中的补集”）即 CsA=x|xS且x A。如图：深色部分为A在S中的补集。,S,1.4.3 补集,如果集合S中包含我们所要研究的各个集合，这时S可以看做一个全集，通常记作U。例如，在研究实数时，常把实数集R作为全集。由补集的定义可知，对于任意集合A，有： A CuA =U A CuA = Cu(CuA) =A,1.4.3 补集,例1 已知U=1，2，3，4，5，6， A=1，2，5，求CuA， A CuA ， A CuA 。,解：CuA=3，4，6， A CuA = ， A CuA =U。,1.4.3 补集,例2 已知U=实数，Q=有理数，求CuQ。,解： CuQ=无理数。,1.4.3 补集,例3 已知U=R，A=x|x5，求CuA。,解：CuA=x|x5。,1.5 充分条件与必要条件,引入“如果两个三角形相似，那么它们的对应角相等”。这是我们初中几何中用到的性质。 而形如这种：“如果p，则q”的命题也非常多。我们经常由“如果”这部分经过推理论证，得出“则”这部分是正确的，我们就说p可以推出q，记作： p q 读作：p推出q，p是q的充分条件，q是p的必要条件,1.5 充分条件与必要条件,例如： （1）如果四边形ABCD是正方形，则这个四边形的四条边相等。 我们可以把这个命题写为： p：四边形ABCD为正方形，q：四边形的四条边相等。 那么：p是q的充分条件，q是p的必要条件。,1.5 充分条件与必要条件,（2）如果x-1=0，那么x2-1=0。 分析：由x-1=0推出x2-1=0是正确的。 我们可以把命题写成： p： x-1=0，q： x2-1=0 则有：p是q的充分条件，q是p的必要条件。,1.5 充分条件与必要条件,我们在开课时讲的例子也可以这样写： p：两个三角形相似，q：它们的对应角相等。 我们知道p是q的充分条件，但是由于“对应角相等的三角形也相似”，所以我们说q也是p的充分条件。即，p是q的充分条件，也是p的必要条件。,1.5 充分条件与必要条件,一般的，如果p q，且q p，我们就说p是q的充分且必要条件，简称充要条件，记作：p q例如：设x，y为实数，如果x2+y2=0，则x=0且y=0，可叙述为： x2+y2=0是x=0且y=0的充要条件。,1.5 充分条件与必要条件,如果p q，同时q p，我们就说p是q的既不充分也不必要条件。例如，x5，是x3的既不充分也不必要条件。,1.5 充分条件与必要条件,1.5 充分条件与必要条件,例1： 已知A是B的充分条件，C是D的必要条件，A是C的充要条件，求B与D的关系。,解：根据已知条件可知， A B，D C，A C D C A B 所以D B 即D是B的充分条件，B是D的必要条件。,