拓展模块3.1排列与组合ppt课件.pptx
3.1 排列与组合,3.1.1 排列,问题,在北京、重庆、上海个民航站之间的直达航线，需要准备多少种不同的机票？,分析：这个问题就是从北京、重庆、上海3个民航站中，每次取出2个站，按照起点站在前，终点站在后的顺序排列，求不同的排列方法的总数。,起点,终点,北京,重庆,上海,重庆,上海,上海,北京,重庆,上海,解：根据分步计数原理，共有32=6（种）,第一步确定机票的起点 ,有3种不同方法；第二步确定机票的终点，有2种不同方法；,1）将被取的对象（如上面问题的民航站）叫做元素.2）上面的问题就是：从3个不同的元素中，任取2个，按照一定的顺序排成一列，可以得到多少个不同的排列.,引入,排列,一般的，从n个不同元素中，任取m (m n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列，其中 mn时叫做选排列； m=n时叫做全排列.,新知识,两个排列相同：（1）两个排列的元素完全相同（2）排列的顺序相同,说明,例1 写出从4个元素 a,b,c,d 中任取2个元素的所有排列。,知识巩固,分析：首先任取1个元素放在左边，然后在剩余的元素中任取1个元素放在右边。,解：所有排列为 ab, ac ,ad , ba , bc , bd , ca , cb ,cd ,da , db , dc.,排列数,从n个不同元素中，取出m (m n)个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号 表示 .,新知识,1. 从4个元素 a,b,c,d 中任取1个元素的排列数可以表示为 _. 2. 从4个元素 a,b,c,d 中任取2个元素的排列数可以表示为 _. 3. 从4个元素 a,b,c,d 中任取2个元素的排列数为_.4.,12,练习,排列数公式,新知识,研究,假定有n个元素，顺序排列的m个空位,第一步，从 n 个元素中任选1个元素，填到第1个空位，有 n 种方法；第二步，从剩余的 n-1 个元素中任选1个元素，填到第2个空位，有_种方法；第三步，从剩余的 _个元素中任选1个元素，填到第3个空位，有_种方法；第m步，从_个元素中任选1个元素，填到第m个空位，有_种方法；根据分步计数原理，全部填满空位的方法总数为,分步计数原理,n,n-1,n-2,n-m+1,.,n- (m-1),n-m+1,由此可得，从n个不同元素中任取m (m n)个元素的排列数 为,其中， 且 ，该公式叫做排列数公式,n-1,n-2,n-2,排列数公式,新知识,当 m = n 时，由公式得,由1到n的正整数的连乘积，叫做n的阶乘，记作,即,当 m n 时，,即,例2 计算 和,知识巩固,解：,练习： 计算 （1） （2）（3） （4） （5） （6）,知识巩固,课后练习3.1.11.填空(1) 已知 ，那么n=_;(2) 用1,2,3,4,5,6这六个数组成没有重复数字的四位数，共有_个.,8,例3 小华准备从7本世界名著中任选3本，分别送给甲、乙、丙3位同学，每人1本， 共有多少种选法？,知识巩固,解：,课后练习3.1.12. 在A,B,C,D四个候选人中，选出正副班长各一个，选法的种数是多少？,分析一：因为百位上的数字不能为0，所以分成两步考虑问题. 第一步先排百位上的数字，有 种方法； 第二步从剩余的数字中任取两个排列，有 种方法.,例4 用0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字的3位数 ？,知识巩固,解法一：由分步计数原理可得三位数的个数为,例4 用0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字的3位数 ？,知识巩固,分析二：组成三位数的数字中，可能含0，也可能不含0，所以分成两类考虑问题. 第一类为3位数字中含0 由于百位上的数字不能为0，所以只能将0放在个位或十位，有 种方法；然后在从 “1,2,3,4,5”五个数字中，任选2个数字，放到剩余的2个数位上有 种方法. 由分步计数原理知这类3位数的个数,第二类为3位数字中不含0， 从“1,2,3,4,5”五个数中任选三个数字放到3个位数上，这类3位数的个数为,解：由分类计数原理可得，所求3位数的个数为,课后练习3.1.13. 用1,2,3,4,5这五个数字，组成没有重复数字的三位数，其中偶数有多少个 ？,知识巩固,3.1.2 组合,问题,在北京、重庆、上海个民航站之间的直达航线，有多少种不同的飞机票价（假设两地之间的往返票价是相同的）？,分析：这个问题，是从3个不同的元素中任取出2个，不管是怎样的顺序总认为是一组，求一共有多少个不同的组.,飞机票价,北京重庆（重庆北京）,解：共有3组.,引入,北京上海（上海北京）,重庆上海（上海重庆）,新知识,组合,一般的，从n个不同元素中，任取m (m n)个不同的元素，组成一组，叫做从n个不同元素中取出m个不同元素的一个组合.,排列与组合的区别,排列的定义：一般的，从n个不同元素中，任取m (m n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列,从n个不同元素取m (m n)个元素的一个组合，与m个元素排列的顺序无关；从n个不同元素取m (m n)个元素的一个排列，与m个元素排列的顺序有关 .,新知识,组合数,一般的，从n个不同元素中取m (m n)个不同的元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个不同元素的组合数，用符号 表示.,组合数的计算-研究,例如：计算用两种不同的方法来计算方法一：方法二：从4个不同的元素中取3个不同元素的一个排列，可以分两步完成第一步，从4个不同的元素中取3个元素组成一组，有 种取法；第二步，对每一组中的3个不同元素进行全排列，根据分步计数原理所以,新知识,组合数的计算公式,一般的，从n个不同元素中取m (m n)个不同的元素的组合数为,所以公式还可以写作,由于,其中， 且 ，该公式叫做组合数公式,例5 计算 和,知识巩固,解：,练习：计算(1)(2)(3)(4),说明：（1）（2）,新知识,组合数的性质,性质1,利用这个性质，当 时，可以通过计算比较简单 的得到的 值，如,性质2,性质2反映出组合数公式中m与n之间存在的联系.,知识巩固,1、计算下列各数(1)(2)(3)(4),课后练习3.1.2,知识巩固,例6 圆周上有10个点，以任意三点为顶点画圆内接三角形，一共可以画多少个？,解：可以画出的圆内接三角形个数为,分析：因为只要选出三个点，三角形就唯一确定，与三个点的排列顺序无关，所以求得是从10个不同元素中任取3个不同元素的组合数.,即可以画出120个圆内接三角形.,知识巩固,课后练习3.1.2,2、6个朋友聚会，每两人握手一次，这次聚会他们一共握手多少次？3、从3、5、7、11这四个质数中任取两个相乘，可以得到多少个不同的积？4、学校开设了6门任意选修课，要求每个学生从中选学3门，共有多少种不同的选法？5、现有3张参观券，要在5人中选出3人去参观，共有多少种不同的选法？,
