高数第二章 导数与微分ppt课件.ppt

第二章 导数与微分2-1 导数概念,一、引例(一)直线运动的速度 (二)切线问题1、切线意义 设有曲线 上一点M,在点M外另取 作割线 ,当点N沿曲线C趋于点M时,如果割线 绕点M旋转而趋于极限位置MT,直线MT就称为曲线C在点M处的切线。,2、切线斜率的求法 设 是曲线 C上的一个点,则 就是曲线C在 点处切线的斜率。,二、导数的定义(一)函数在一点处的导数1、定义：设函数 的某个邻域内有定义,当自变量 处取得增量 （点 仍在该邻域内）时 , 相应地函数 取得增量 ，,如果 之比当 时的极限存在，则称函数 处可导，并称这个极限为 处的导数。记作 、,即 函数 处可导，也说成 具有导数或导数存在。 如果 不存在，就说函数 处不可导。,如果不可导的原因是也往往说函数 处的导数为无穷大。,2、求导的不同形式 或(当 时, ),例1设 求,例2已知 存在，求,3、导数的意义 函数 处的导数是因变量 处的变化率,它反映了 处因变量随自变量的变化而变化的快慢程度。,（二）导函数1、定义：如果函数 在开区间 内的每点处都可导，就称函数 在开区间 内可导，此时对于任一 ,都对应着 的一个确定的导数值，这样就构成了一个新的函数，这个函数叫做原来函数的导数，记作,2、导函数的求法 注：在求极限过程中 是常量。,例3求函数 的导数。例4求函数 在 处的导数。,例5求 的导数。例6求函数的导数。,例7求函数 的导数。,3、导函数 在点 处的导数 的关系(1)函数在某点处的导数是导函数在该点处的函数值,即 .(2) 是一个常数, 是一个函数,两者均与 无关。,例8求函数 处的导数。,例9函数 对任意 均满足 且有 ，其中为非零常数，则 （ ）（A） 处不可导 （B） 处可导且（C） 处可导，且 （D） 处可导且,（三）单侧导数1、定义：若极限 存在，则称这两个极限分别为函数 的左导数和右导数，记作 即左导数和右导数统称为单侧导数。,2、导数、左导数、右导数三者之间 的关系 函数 处可导的充分必要条件是左导数 和右导数都存在而且相等。,例10设函数 ,其中 是有界函数，问 处是否可导。,3、 在闭区间 上可导 如果函数 在开区间 内可导，且 都存在，就说在闭区间 上可导。,三、导数的几何意义：函数处的导数 ，在几何上表示曲线 处的切线的斜率，即 ，特别的是，如果 的导数为无穷大，此时切线的倾角为 ，故此时的切线垂直于 轴，切线方程为,(二)曲线在点 处的切、法线方程1、切线方程：2、法线方程(1)法线：过切点 且与切线垂直的直线叫做曲线 处的法线.(2)法线方程：如果 ,则法线方程为： 若 ,则法线方程为,例11求等边双曲线 在点 处的切线的斜率，并写出在该点处的切线方程和法线方程。例12求曲线 的通过点的切线方程。,四、函数可导性与连续性的关系(一)若函数 处可导,则函数在点 处必连续.(二)函数在某一点连续却不一定在该点处可导,例13函数 内连续,但在 点处不可导。,例14.设函数则 在点 处（ ）(A)极限不存在 (B)极限存在但不连续 (C)连续但不可导 (D)可导,例15设周期函数 在 内可导，周期为4，又求曲线 在点 处的切线的斜率。,2-2函数的求导法则,一、函数的和、差、积、商的求导法则（一）定理1 如果函数 及都在点 具有导数，那么它们的和、差、积、商（除分母为零的点外）都在点 具有导数，且,（1）（2）（3）,例1 求例2 求例3. 求,（二）推广 若函数处可导,则有,例4 求 及,例5若 求 .例6设 求,二、反函数的求导法则 定理2：如果函数 在区间 内单调、可导，且 ，则它的反函数 在区间内也可导，且 。,例7求 的导数例8求 的导数。,三、复合函数的求导法则（一）定理3：如果 可导，而 可导，则复合函数 可导， 且其导数为：,例9例10,(二)推广：复合函数的求导法则对于多个中间变量的情形也是成立的 例如可导函数则复合函数 的导数为,例11,例12设 证明幂函数的导数公式 .,(三)复合函数的求导法则应用 它的基本方法是把复合函数中的某些量看作整体，把多步复合看作两步复合，重复进行下去即可。,例9,(四)复合函数求导注意的问题1、搞清复合关系,从外层到内层一步一步进行求导运算，不要遗漏复合 过程。2、当即有四则运算又有复合函数运 算时，要弄清运算程序，做到先考 虑运算，后考虑复合。,例14求函数 的导数。,例15已知 求：例16设,四、基本求导法则与导数公式(一)常数和基本初等函数的导数公式,(二)函数的和、差、积、商的求导法则 设 都可导,则有,(三)反函数的求导法则 设 内单调可导,且 ,则它的反函数 内也可导,且,(四)复合函数的求导法则 设 且都可导,则复合函数 的导数为 或,例17证明下列双曲函数及反双曲函数 的导数公式，,例18求 的导数。例19,2-3 高阶导数,（一）二阶导数1、定义：把 的导数叫做函数 的二阶导数，记作即 相应地，把 的导数 叫做 的一阶导数。,例1证明：函数 满足关系式 。,2、 路程函数 的导数的意义 设物体沿着一条直线运动的方程为 ,则 即路程对时间的二阶导数为加速度。,例2设 ,其中 具有二阶导数,求 。,1、定义：把 阶导数的导数叫做 ，记作2、高阶导数：二阶及二阶以上的导数叫高阶导数,3、注意：如果函数 在点 具有n阶导数，那么 在点 的某一邻域内必定具有一切低于n阶的导数,例3设 ，则使存在的最高阶数 为 （ ） （A）0 （B）1 （C）2 （D）3,二、（一）直接法：所谓直接法是指先求出所给函数的前几阶导数后，分析所得结果，找出规律性，从而总结出 阶导数。,例4.求指数函数 阶导数.例5.求正弦与余弦函数的 阶导数.,例6求对数函数 阶导数。例7求幂函数的 阶导数公式。,例8设 求,例9已知函数 具有任意阶导数，且 ，则当 为大于2的正整数时， 阶导数 （ ）（A） （B）（C） （D）,(二)利用 阶导数的求导法则求导法则:如果阶导数，则有 (2) 莱布尼兹公式,例10 例11.已知,(三)间接法：利用已知的高阶导数公式，通过四则运算，变量代换等方法达到求已知函数的导数的方法。,例12求 阶导数。,例13试从 导出,2-4 隐函数及由参数方程所确定的 函数的导数 相关变化率一、隐函数的导数(一)相关定义1、显函数：符号左端是因变量的符号，而右端是含有自变量的式子,当自变量取定义域内任一值时,由这个式子能确定对应的函数值,用这种方式表达的函数叫显函数,即形如 这样的函数。,2、隐函数:如果变量 满足一个方程 在一定条件下,当 取某区间内的任一值时,相应的总有满足这个方程的唯一的 值存在,那么就说方程 ,在该区间内确定了一个隐函数。3、隐函数的显化：把一个隐函数化成显函数叫做隐函数的显化。,(二)隐函数的求导方法1、两边求导法 设方程 ,确定了一个隐函数 ,则有 ,两边对 求导,即可得 .,例1求由方程所确定的隐函数的导数,例2设函数 由方程 所确定, 求 的值。,例3求椭圆 在点 处的切线方程。,2、对数求导法适用了幂指函数 ,其中 , 都可导.,例4求 的导数.,例5若函数 ，其中 为可导的正值函数，求 。,(2)适用于含有因式，尤其是含有根式因式的函数求导。,例6求 的导数.,二、由参数方程所确定的函数的导数(一)定义:若参数方程 确定了函数 之间的函数关系,则称此函数关系所表达的函数为由参数方程所确定的函数。,(二)参数方程求导法则 设参数方程 确定了函数 ,若函数 的反函数存在,且 单调可导 可导，则由参数方程所确定的函数 的导数,特别的如果 二阶可导那么又可得到由参数方程所确定的函数的二阶导数,例7对数螺线 处的切线的直角坐标方程为何。,例8. 已知抛射物体的运动轨迹的参数方程为 求抛射物体在时刻 的运动速度的大小和方向.,例9计算由摆线的参数方程 所确定的函数 的二阶导数。,例10设函数所确定，求 。,三、相关变化率（一）定义：设 都是可导函数，而变量 之间存在某种关系，从而变化率 间也存在一定关系，这两个相互依赖的变化率称为相关变化率。,例11.一气球从离开观察员500米处离地面铅直上升,当气球高度为500米时，其速率为 ,求此时观察员视线的仰角增加的速率是多少？,2-5 函数的微分,一、微分的定义 （二）定义：设函数 在某区间内有定义， 在这区间内，如果函数的增量 可以表示为 ，其中A是不依赖于 的常数，那么称函数 是可微的。,而 叫做函数 相应于自变量增量 的微分， 记作,（三）可微与可导的关系 函数 可微的充分必要条件是函数 可导，且当 可微时，其微分一定是 。,例1求函数 的微分。,例2求函数 时的微分。,（四）微分的意义 当 很小时，微分 是函数改变量 的近似值,(五)用 代替 的相对误差的极限 以微分 近似代替增量 时,相对误差当 时趋于零.且误差为 ,因此,在 很小时,有近似等式 。,(六)函数的微分 函数 在任意点 的微分称为函数的微分,记作 , 即,(七)自变量的微分：把自变量 的增量 称为自变量的微分。 由于函数的微分 与自变量的微分 之商等于该函数导数,因此，导数也叫“微商”,二、微分的几何意义 对于可微函数,当 是曲线 上点的纵坐标的增量时, 是曲线的切线上点的纵坐标的 相应增量。,三、基本初等函数的微分公式与微分运算法则(一)基本初等函数的微分形式(二)函数的和、差、积、商的微分法则,（三）复合函数的微分法则微分形式不变性：无论 是自变量，还是中间变量，微分形式， 保持不变，这一性质称为微分形式不变性。,例3,例4,例5已知 所确定的函数, .,例6在下列不等式左端的括号中填入适当的函数，使等式成立。,四、微分在近似计算中的应用(一)近似计算方法1、如果 处的导数 ,且 很小时,有,例7有一批半径为1cm的球,为了提高球面的光洁度要镀上一层铜，厚度定为0.01cm，估计一下每只球需用铜多少克(铜的密度是 ) .,2、,例8利用微分计算的近似值。,3、尤其当 时,故当 很小时有,例9验证当 很小时，,4、应用公式注意的问题(1) 的正负要考虑(2)应注意公式使用的条件 很小.,（二）误差估计1、相关的定义（1）间接测量误差：由于测量仪器的精度，测量的条件和测量的方法等各种因素的影响，测得的数据往往带有误差，而根据带有误差的数据计算所得的结果也会有误差，我们把它叫做间接测量误差。,（2）绝对误差，相对误差 如果某个量的精确值是A，它的近似值为 的绝对误差，而绝对误差与 的相对误差。,（3）绝对误差限，相对误差限 如果某个量的精确值是A,测得它的近似值是 ，又知道它的误差不超过 ,那么， 叫做测量A的绝对误差限，而 叫做测量A的相对误差限。,例10设测得圆钢截面的直径 测量D的绝对误差限 ，利用公式 计算圆钢截面积时，试估计面积的误差。,