微分方程模型数学建模ppt课件.ppt
数学建摸课程,微分方程建模的思想和方法,微分方程建模的简单实例,微分方程的平衡点与稳定性,主要内容,案例,第三章 微分方程方法,2,2022年12月20日,3,2022年12月20日,第三章 微分方程方法,微分方程是研究函数变化规律的有力工具，有着广泛和实际的应用。微分方程建模主要有以下三种方法：根据已知规律建模利用高等数学中的微元分析法建模利用模拟近似法建模,4,2022年12月20日,开普勒三大定律：,太阳系每一颗行星的轨道皆以太阳为一焦点的椭圆;行星的向径在单位时间扫过的面积是一个常数；行星运动周期之平方与平均距离之立方成正比。,数学的实践与认识2005.12,动态模型,描述对象特征随时间(空间)的演变过程,分析对象特征的变化规律,预报对象特征的未来性态,研究控制对象特征的手段,根据函数及其变化率之间的关系确定函数,微分方程建模,根据建模目的和问题分析作出简化假设,按照内在规律或用类比法建立微分方程,5,2022年12月20日,6,2022年12月20日,一、微分方程建模的思想和方法,净变化率=输入率-输出率,当我们用微观的眼光观察实际问题时一般遵循如下的模式,（1）根据已知规律：利用数学、物理、力学、化学等经过实践检验的规律和定理；（2）利用微元法（3）利用模拟近似法：在社会科学、生物学、医学、经济学的学科中一些现象的规律性我们不太清楚，需要在不同的假设下去模拟实际现象。如此建立的模型从数学上求解或分析后再与实际对比，观察看这个模型是否能够模拟、近似这些现象。,7,2022年12月20日,1. 估计死亡时间,二、微分方程建模的简单实例,在凌晨1时警察发现一具尸体，测得尸体的温度是29，当时环境的温度是21.1h后尸体温度下降到27，若人体正常的体温是37，估计死亡时间。,8,2022年12月20日,二、微分方程建模的简单实例,1. 估计死亡时间,解方程得：,T(t)=29时，t=2.4094,这时求得的t是死者从死亡时间到尸体被发现所经历的时间。因此可得，死者的死亡时间大致在前一天晚上的10：35.,9,2022年12月20日,2. 湖水的污染问题,如图所示是一个容量为2000m3的一个小湖的示意图，通过小河A，水以0.1m3/s的速度流入，以相同的流量湖水经过B流出。在上午11:05时，因交通事故一个盛有毒性化学物质的容器倾翻，在图中X点处注入湖中。在采取紧急措施后，于11:35事故得到控制，但数量不详的化学物质Z已泻入湖中，初步估计Z的量在520m3之间。请建立一个模型，通过它来估计湖水污染程度随时间的变化并估计：（1）湖水何时到达污染高峰？（2）何时污染程度可降至安全水平（不大于0.05%）。,二、微分方程建模的简单实例,A,B,X,小湖示意图,10,2022年12月20日,2. 湖水的污染问题,二、微分方程建模的简单实例,11,2022年12月20日,2. 湖水的污染问题,二、微分方程建模的简单实例,Z取不同值时的浓度C（30）和时间T,13,2022年12月20日,三、微分方程的平衡点及稳定性,微分方程所描述的是物质系统的运动规律，实际中，人们只能考虑影响该过程的主要因素，而忽略次要的因素，这种次要的因素称为干扰因素。干扰因素在实际中可以瞬时地起作用，也可持续地起作用。 问题：在干扰因素客观存在的情况下，即干扰因素引起初值条件或微分方程的微小变化，是否也只引起对应解的微小变化？,有限区间的稳定性、无限区间的稳定性、渐进稳定性、扰动下的稳定性。,实际中，对于很多问题的微分方程模型并不需要求其一般解，而是需要求其某种理想状态下的解，这种解称为平衡点。,14,2022年12月20日,三 .微分方程的平衡点及其稳定性,平衡点的概念,15,2022年12月20日,三.微分方程的平衡点及其稳定性,平衡点的概念,问题：如何来断别平衡点的稳定性呢？,16,2022年12月20日,三 .微分方程的平衡点及其稳定性,平衡点的概念,17,2022年12月20日,三 .微分方程的平衡点及其稳定性,2. 一阶方程的平衡点及稳定性,为什么？,18,2022年12月20日,三 .微分方程的平衡点及其稳定性,3.平面方程的平衡点及稳定性,19,2022年12月20日,三 .微分方程的平衡点及其稳定性,3.平面方程的平衡点及稳定性,20,2022年12月20日,战争的预测与评估问题,问题的提出,由于国与国之间和地区之间的种族歧视、民族矛盾、利益冲突、历史遗留问题等原因造成了局部战争和地区性武装冲突时有发生，有的长期处于敌对状态，必然会导致敌对双方的军备竞赛，军事装备现已成为决定战争胜负的重要因素军事装备: 军事实力的总和，主要包括武器装备、电子信息装备、军事兵力、军事费用等,现代战争的特点是多兵种的协同作战，根据不同兵种的特点,在不同的区域参加战斗，都对战争的结果产生一定的影响,21,2022年12月20日,战争的预测与评估问题,问题的提出,现在要求建立数学模型讨论的问题： (1) 分析研究引起军备竞赛的因素，并就诸多因素之间的相互关系进行讨论； (2) 在多兵种的作战条件下，对作战双方的战势进行评估分析. （3）分析研究作战双方的兵力消耗，并预测初始总兵力和战斗力变化对作战结果的影响。,22,2022年12月20日,战争的预测与评估问题,2. 模型的假设,23,2022年12月20日,战争的预测与评估问题,3. 模型的建立与求解,24,2022年12月20日,战争的预测与评估问题,3. 模型的建立与求解,特征方程为：,0,q0稳定，q0不稳定.,25,2022年12月20日,战争的预测与评估问题,3. 模型的建立与求解,26,2022年12月20日,战争的预测与评估问题,3. 模型的建立与求解,27,2022年12月20日,战争的预测与评估问题,3. 模型的建立与求解,28,2022年12月20日,战争的预测与评估问题,3. 模型的建立与求解,问题(2):在多兵种的作战条件下，对作战双方的战势进行评估分析.,29,2022年12月20日,战争的预测与评估问题,3. 模型的建立与求解,30,2022年12月20日,战争的预测与评估问题,3. 模型的建立与求解,兰彻斯特多兵种作战模型,31,2022年12月20日,战争的预测与评估问题,3. 模型的建立与求解,问题(3)作为思考题,参见兰彻斯特作战模型.,32,2022年12月20日,SARS(严重急性呼吸道综合症, 俗称:非典型肺炎)是21世纪第一个在世界范围内传播的传染病 SARS的爆发和蔓延给部分国家和地区的经济发展和人民生活带来了一定的影响，人们从中得到了许多重要的经验和教训，认识到定量地研究传染病的传播规律、为预测和控制传染病蔓延创造条件的重要性,传染病模型,问题的提出,描述传染病的传播过程,分析受感染人数的变化规律,预报传染病高潮到来的时刻,预防传染病蔓延的手段,按照传播过程的一般规律，用机理分析方法建立模型,传染病模型,1. 问题的要求,2022年12月20日,33,已感染人数 (病人) i(t),每个病人每天有效接触(足以使人致病)人数为,模型1,假设,若有效接触的是病人，则不能使病人数增加,建模,?,2022年12月20日,34,模型2,区分已感染者(病人)和未感染者(健康人),假设,1）总人数N不变，病人和健康 人的 比例分别为,2）每个病人每天有效接触人数为, 且使接触的健康人致病,建模, 日接触率,SI 模型,2022年12月20日,35,每个每天可使s(t)个健康人变成病人,模型2,tm传染病高潮到来时刻, (日接触率) tm,病人可以治愈！,?,t=tm, di/dt 最大,2022年12月20日,36,日接触率表示该地区的卫生水平，越小表示卫生水平越高。所以改善保健设施、提高卫生水平可以推迟传染病高潮的到来。,模型3,传染病无免疫性病人治愈成为健康人，健康人可再次被感染,增加假设,SIS 模型,3）病人每天治愈的比例为, 日治愈率,建模, 日接触率,1/ 感染期, 一个感染期内每个病人的有效接触人数，称为接触数。,2022年12月20日,37,接触数 =1 阈值,感染期内有效接触感染的健康者人数不超过病人数,模型2(SI模型)如何看作模型3(SIS模型)的特例？,2022年12月20日,38,di/dt=0的稳定平衡点,模型4,传染病有免疫性病人治愈后即移出感染系统，称移出者,SIR模型,假设,1）总人数N不变，病人、健康人和移出者的比例分别为,2）病人的日接触率 , 日治愈率, 接触数 = / ,建模,需建立 的两个方程,2022年12月20日,39,SIR模型,2022年12月20日,40,对于病愈免疫移出者,相轨线 的定义域,在D内作相轨线 的图形，进行分析,2022年12月20日,41,SIR模型,相轨线 及其分析,s(t)单调减相轨线的方向,P1: s01/ i(t)先升后降至0,P2: s01/ i(t)单调降至0,1/阈值,2022年12月20日,42,SIR模型,预防传染病蔓延的手段, (日接触率) 卫生水平,(日治愈率) 医疗水平,传染病不蔓延的条件s01/, 的估计,降低 s0,提高 r0,提高阈值 1/,2022年12月20日,43,SIR模型,被传染人数的估计,记被传染人数比例, 小, s0 1,提高阈值1/降低被传染人数比例 x,s0 - 1/ = ,2022年12月20日,44,45,2022年12月20日,SARS的传播问题,问题的提出,请你对SARS 的传播建立数学模型，要求说明怎样才能建立一个真正能够预测，以及能为预防和控制提供可靠、足够信息的模型，这样做的困难在哪里？并对疫情传播所造成的影响做出估计.,46,2022年12月20日,实际中，SARS的传染过程为： “易感人群病毒潜伏人群 发病人群退出者” 通过分析各类人群之间的转化关系，可以建立微分方程模型来刻画SARS传染规律 将SARS传播过程分为控前和控后两个阶段,SARS的传播问题,2问题的分析,47,2022年12月20日,在控前阶段，SARS按自然传播规律传播 ； 在控后阶段，随着人们防范措施的增强促使日传染率减小，主要有两方面的原因：（1）来自于因对疫情的恐慌心理；（2）来自于防预政策、法律法规的颁布等,SARS的传播问题,2问题的分析,48,2022年12月20日,SARS的传播问题,3模型的建立与求解,具体模型详见教材。,参考文献：1姜启源、谢金星、叶俊，数学模型（第三版），高等教育出版社；2箫树铁、姜启源等，大学数学（第二版）数学实验。高等教育出版社；3韩中庚、郭晓丽等，实用运筹学模型方法与计算，清华大学出版社；,49,2022年12月20日,相关的问题数学模型,传染病理论模型： SI模型、SIS模型、SIR模型、SIER模型。人口理论模型： Malthus模型、Logistic模型、人口的发展方程。（2007年全国建模竞赛题）,辛苦了，下次再见！,休息一会,
