第2章测量误差与数据处理课件.ppt

第2章 测量误差与数据处理,误差的概念与表示方法；随机误差、系统误差和粗大误差的特性 与处理方法；测量数据的处理方法。,本章要点,2.1 测量误差的基本原理2.2 测量误差的分类2.3 随机误差2.4 粗大误差2.5 系统误差2.6 误差的合成与分配2.7 测量数据的处理,教学内容,测量就是通过实验来求出被测量的量值，因此测量过程就要涉及标准和误差这两个问题。测量过程中必须要有一个体现计值单位的量作为标准，而且要采用同一标准，测量结果才有意义。人们通过各种方法得到的测量值与真值之间总是有差别的，这个差别就是测量误差。,2.1 测量误差的基本原理,1.标准的定义 标准是一个公认的机构制定和批准的文件，它对活动或活动的结果规定了规则、导则或特性值，供共同和反复使用，以实现在预定结果领域内最佳秩序的效益。2.标准的分类及其定义（1）国际标准 （4）行业标准（2）区域标准 （5）地方标准（3）国家标准 （6）企业标准,2.1.1 测量标准,2.1.2 测量误差,研究测量理论的原因： （1）合理、正确地处理数据，得出被测量的最佳估计值 （2）根据数据处理的结果正确表示出测量不确定度。 （3）正确地分析误差来源及规律，以便在测量中合理地选择仪器、方法及环境，消除不利因素，完善检测手段，提高测量准确度。,（1）单次测量（2）多次测量：可以观察测量结果一致性的好坏。（3）等精度测量（4）非等精度测量,1. 测量常用术语,（5）真值A0：真实数值（理论上的、理想概念）（6）指定值As：约定真值，指定值（基准）（7）实际值A：相对真值，上一级标准所测量的值（8）标称值：测量器具上标定的数值（9）示值：测量值，测量器具指示的值，数值、单位,测量误差有绝对误差和相对误差两种表示方法。（1）绝对误差,实际应用中常用实际值A来代替真值。绝对误差：,有大小，又有符号和量纲,1. 误差的表示方法, 修正值 与绝对误差的绝对值大小相等，但符号相反的量值，称为修正值： 测量仪器的修正值可以通过上一级标准的检定给出，修正值可以是数值、表格、曲线或函数表达式等形式。 被测量的实际值： 在自动测量仪器中，利用内部的微处理器，存储和处理修正值，直接给出经过修正的实际值。,2.相对误差 测量的准确程度，不仅与被测量的绝对误差大小有关，而且与被测量的大小有关。 例 在相对误差相等的情况下，测量值越小，测量的准确程度越低，反之越高。 相对误差：绝对误差与被测量的真值之比 只有大小和符号，没有单位。,实际相对误差： 用实际值A代替真值A0 示值相对误差： 用测量值x代替实际值A,分贝误差分贝误差是用对数形式表示的一种误差，单位为分贝（dB）。分贝误差广泛用于增益（衰减）量的测量中。,用相对误差来表示：,二、误差的表示方法（续） P24,满度相对误差（满度误差、引用误差） 仪器量程内最大绝对误差 与测量仪器满度值（上限值） 的百分比值,仪表各量程内绝对误差的最大值：, 适合用来表示电表或仪器的准确度,二、误差的表示方法（续）,电工仪表就是按引用误差 之值进行分级的。我国电工仪表共分七级：0.1，0.2，0.5，1.0，1.5，2.5及5.0。准确度等级在0.2级以上的电表属于精密仪表，适用于要求较高的工作环境及严格的操作步骤。例2-3在进行量程选择时应尽可能使示值接近满度值，一般以示值不小于满度值的2/3为宜。,电子测量仪器的容许误差,容许误差：测量仪器在规定使用条件下可能产生的最大误差范围。测量仪器的容许误差可用工作误差、固有误差、影响误差、稳定误差等来描述。为了保证测量仪器示值的准确，仪器出厂前必须由检验部门对误差指标进行检验。在使用期间，必须定期进行校准检定，凡各项误差指标在容许误差范围之内，仪器视为合格。（1）工作误差 工作误差是在额定工作条件下仪器误差的极限值，即来自仪器外部的各种影响量和仪器内部的影响特性为任意可能的组合时，仪器误差的最大极限值。,（2）固有误差：固有误差在规定的一组影响量的基准条件下给出的误差,（3）影响误差 影响误差是用来表明一个影响量对仪器测量误差的影响。 例如温度误差、频率误差。它是当一个影响量在其额定使用范围内（或一个影响特性在其有效范围内）取任一值，而其它影响量和影响特性均处于基准条件时所测得的误差。（4）稳定误差 稳定误差是仪器的标称值在其他影响量和影响特性保持恒定的情况下，于规定时间内产生的误差极限。 我国新的部颁标准采用上述误差表示方法。 原来的标准把测量仪器的误差用基本误差和附加误差来表示。,（1）仪器误差：由于测量仪器及其附件的设计、制造、检定等不完善，以及仪器使用过程中老化、磨损、疲劳等因素而使仪器带有的误差。（2）使用误差：由于在测量中对测量设备使用操作不当而引起的误差。（3）人身误差：由于测量者的分辨能力、视觉疲劳、固有习惯或缺乏责任心等因素引起的误差称为人身误差。 例如读错刻度、计算错误等均属人身误差。 总之，人身误差是由于人为因素造成的。要减小人身误差必须加强责任心。 （4）影响误差：由于各种环境因素（温度、湿度、振动、电源电压、电磁场等）与测量要求的条件不一致而引起的误差。,2.2 测量误差的分类,2.2.1 测量误差的来源,（5）方法误差和理论误差：,由于测量方法不合理造成的误差称为方法误差。 例如用普通万用表测量高内阻回路的电压，由于万用表的输入电阻较低引起的误差。必须选择合适的测量方法。 理论误差是用近似的公式或近似值计算测量结果而引起的误差。 例如，用均值表测量非正态信号电压时，进行波形换算，其定度系数是一个近似值造成的误差是理论误差。因为其依据的理论公式本身就是近似的。,2.2.2 误差的分类,根据测量误差性质和特点的不同，测量误差可以分为三大类：随机误差、系统误差和粗大误差。,1.随机误差 定义: 在同一测量条件下（指在测量环境、测量人员、测量技术和测量仪器都相同的条件下），多次重复测量同一量值时（等精度测量），每次测量误差的绝对值和符号都以不可预知的方式变化的误差，称为随机误差或偶然误差，简称随差。 随机误差主要由对测量值影响微小但却互不相关的大量因素共同造成。这些因素主要是噪声干扰、电磁场微变、零件的摩擦和配合间隙、热起伏、空气扰动、大地微震、测量人员感官的无规律变化等。,随机误差的特点：有界性：在多次测量中误差绝对值的波动有一定的界限；对称性：当测量次数足够多时，正负误差出现的机会几乎相同； 抵偿性：随机误差的算术平均值趋于零。,例：对一不变的电压在相同情况下，多次测量得到1.235V，1.237V，1.234V，1.236V，1.235V，1.237V。单次测量的随差没有规律，但多次测量的总体却服从统计规律可通过数理统计的方法来处理,即求算术平均值,随机误差定义：测量结果与在重复性条件下，对同一被测量进行无限多次测量所得结果的平均值之差：,2.系统误差定义：在同一测量条件下，多次测量重复同一量时，测量误差的绝对值和符号都保持不变，或在测量条件改变时按一定规律变化的误差，称为系统误差。例如仪器的刻度误差和零位误差，或值随温度变化的误差。产生的主要原因是仪器的制造、安装或使用方法不正确，环境因素（温度、湿度、电源等）影响，测量原理中使用近似计算公式，测量人员不良的读数习惯等。系统误差表明了一个测量结果偏离真值或实际值的程度。系差越小，测量就越准确。系统误差的定量定义是：在重复性条件下，对同一被测量进行无限多次测量所得结果的平均值与被测量的真值之差。即,3.粗大误差： 粗大误差是一种显然与实际值不符的误差。 产生粗差的原因有：测量操作疏忽和失误 如测错、读错、记错以及实验条件未达到预定的要求而匆忙实验等。测量方法不当或错误 如用普通万用表电压档直接测高内阻电源的开路电压测量环境条件的突然变化 如电源电压突然增高或降低，雷电干扰、机械冲击等引起测量仪器示值的剧烈变化等。 含有粗差的测量值称为坏值或异常值，在数据处理时，应剔除掉。,4.系差和随差的表达式在剔除粗大误差后，只剩下系统误差和随机误差 各次测得值的绝对误差等于系统误差和随机误差的代数和。在任何一次测量中，系统误差和随机误差一般都是同时存在的。,准确度表示系统误差的大小。系统误差越小，则准确度越高，即测量值与实际值符合的程度越高。精密度表示随机误差的影响。精密度越高，表示随机误差越小。随机因素使测量值呈现分散而不确定，但总是分布在平均值附近。精确度用来反映系统误差和随机误差的综合影响。精确度越高，表示正确度和精密度都高，意味着系统误差和随机误差都小。,射击误差示意图,2.3 随机误差,在测量中，随机误差是不可避免的。随机误差是由大量微小的没有确定规律的因素引起的，比如外界条件（温度、湿度、气压、电源电压等）的微小波动，电磁场的干扰，大地轻微振动等。多次测量，测量值和随机误差服从概率统计规律。可用数理统计的方法，处理测量数据，从而减少随机误差对测量结果的影响。从理论上讨论，大多数测量值的可能取值范围是连续的，而实际上由于测量仪器的分辨率不可能无限小，得到的测量值往往是离散的。,1. 数学期望 数学期望:反映其平均特性。其定义如下：X为离散型随机变量：X为连续型随机变量：,2.3.1 随机变量的数学期望和标准差,当 时，用事件发生的频度代替事件发生的概率则,令n个可相同的测试数据xi(i=1.2,n) ，次数都计为1 ,当 时，,被测量x的数学期望，就是当测量次数 时，各次测量值的算术平均值。,当基本消除系统误差、又剔除粗大误差后，虽然仍有随机误差存在，但多次测得值的算术平均值很接近被测量的真值。因此可以把算术平均值作为最后的测量结果，并称之为被测量的最佳估计值或最可信赖值。,（无限多次测量）,2. 剩余误差 当进行有限次测量时，各次测得值与算术平均值之差，定义为剩余误差或残差。,3. 方差与标准偏差 方差是用来描述随机变量与其数学期望的分散程度。 设随机变量x的数学期望为E(x)，则x的方差定义为： 标准偏差定义为： 标准偏差同样描述随机变量与其数学期望的分散程度，并且与随机变量具有相同量纲。,测量中的随机误差通常是多种相互独立的因素造成的许多微小误差的总和。中心极限定理：假设被研究的随机变量可以表示为大量独立的随机变量的和，其中每一个随机变量对于总和只起微小作用，则可认为这个随机变量服从正态分布。 P.27,为什么测量数据和随机误差大多接近正态分布？,1. 正态分布,2.3.2 随机误差的分布,常见的非正态分布有均匀分布、三角分布、反正弦分布等。均匀分布：仪器中的刻度盘回差、最小分辨力引起的误差等；“四舍五入”的截尾误差；当只能估计误差在某一范围内，而不知其分布时，一般可假定均匀分布。,求被测量的数字特征，理论上需无穷多次测量，但在实际测量中只能进行有限次测量，怎么办？,2.3.3 有限次测量下的计算方法,当n为有限值时，用残差来近似或代替真正的随机误差：,标准偏差估计值（贝塞尔公式）：,测量值的算术平均值比测量值更接近真值（条件）,能不能用算术平均值去代替每一次的测量值去表示标准差？,算术平均值的标准偏差比总体或单次测量值的标准偏差小 倍。原因是随机误差的抵偿性。 P.29,推导：,*,【例3.1】 用温度计重复测量某个不变的温度，得11个测量值的序列（见下表）。求测量值的平均值及其标准偏差。,解：平均值 用公式 计算各测量值残差列于上表中标准偏差估计值： 标准偏差：,置信概率与置信区间 置信区间 置信限： k置信系数（或置信因子）,置信概率是图中阴影部分面积,2.3.4 测量结果的置信度,2.4 粗大误差及其判断准则,粗大误差出现的概率很小，列出可疑数据，分析是否是粗大误差，若是，则应将对应的测量值剔除。粗大误差产生原因以及防止与消除的方法 （1）粗大误差的产生原因 测量人员的主观原因：操作失误或错误记录；客观外界条件的原因：测量条件意外改变、受较大的电 磁干扰，或测量仪器偶然失效等。（2）防止和消除粗大误差的方法 针对其产生的原因，采取各种措施，防止产生粗大误差。,粗大误差的判别准则：,统计学的方法的基本思想是：给定一置信概率，确定相应的置信区间，凡超过置信区间的误差就认为是粗大误差，并予以剔除。莱特检验法 格拉布斯检验法,式中，G值按重复测量次数n及置信概率Pc确定,应注意的问题,所有的检验法都是人为主观拟定的，至今无统一的规定。当偏离正态分布和测量次数少时检验不一定可靠。若有多个可疑数据同时超过检验所定置信区间，应逐个剔除，重新计算，再行判别。若有两个相同数据超出范围时，应逐个剔除。在一组测量数据中，可疑数据应很少。反之，说明系统工作不正常。,解： 计算得 =0.033计算残差填入表， 最大， 是可疑数据。 用莱特检验法 3 =30.033=0.099 故可判断 是粗大误差，应予剔除。 再对剔除后的数据计算得： = 0.016 3= 0.048 各测量值的残差v填入表，残差均小于3s 故14个数据都为正常数据。,【例】 对某电炉的温度进行多次重复测量，所得结果列于表，试检查测量数据中有无粗大误差。,2.5 系统误差,在同一条件下，多次测量同一量值时，误差的绝对值和符号保持不变，或者在条件改变时，误差按一定的规律变化。,多次测量求平均不能减少系差。,系统误差表明了一个测量结果的平均值偏离真值或约定真值的程度。,2.5.1 系统误差的特性,系统误差的变化规律：,恒值系差；变值系差,1.恒值系差检查和处理 恒值系差（恒差）常用的判断方法： （1）改变测量条件 （2）理论分析计算 （3）用高档仪器比对、校准,2.5.2 系统误差的检查与判别,当测量次数n足够大时，随机误差对 的影响可忽略，恒差会反映在 中。,（n足够大时）,对测量结果的影响：,利用修正值C=-可以从进行平均前的每个测量值xi中扣除，也可以在得到算术平均值后扣除。,不影响 的计算，也不影响的计算。,2.变值系差检查方法（1）残差观察法 将所测数据及其残差按先后次序列表或作图，观察各数据的残差值的大小和符号的变化。, 若测量值中含有不变的系统误差，用残差法就发现不了。,（2）累进性系差的判别马利科夫判据 如由于蓄电池端电压的下降引起的电流下降。 在累进性系差的情况下，残差基本上向一个固定方向变化。 步骤： 将n项残差 按顺序排列。 分成前后两半求和，再求其差值D。 当n为偶数时， 当n为奇数时， 若D0，则说明测量数据部存在累进性系差；若D明显地不等于0，则存在累进性系差。,（3）周期性系差的判别阿贝赫梅特判据 如当指针式仪表度盘安装偏心时，会产生这种周期性误差。,1.从产生系统误差根源上采取措施减小系统误差 要从测量原理和测量方法尽力做到正确、严格。 测量仪器定期检定和校准，正确使用仪器。 注意周围环境对测量的影响，特别是温度对电子测量的影响较大。 尽量减少或消除测量人员主观原因造成的系统误差。应提高测量人员业务技术水平和工作责任心，改进设备。2.用修正法减少系统误差修正值误差=（测量值真值） 实际值测量值修正值,2.5.3 系统误差的削弱或消除方法, 零式法 替代法 交换法 补偿法 微差法,3.采用一些专门的测量方法,4.消除或削弱系统误差的其他方法,（1）随机化处理（2）智能仪器中系统误差的消除,问题：用间接法测量电阻消耗的功率P时，需测量电阻R、端电压U和电流I三个量中的任两个量。（1）如果知道了U、I、R的误差，如何计算P的误差？（2）如果对P的总测量误差提出要求，如何决定U、I、R可容许的分项误差？,2.6 误差的合成与分配,误差合成,误差分配,2.6.1 误差传递公式,例：用间接测量法测电阻消耗的功率。若电阻、电压和电流测量的相对误差分别为 、 和 ，问所求功率的相对误差为多少？,用相对误差形式表示总的合成误差：,例：用上式重新计算上页例题。,* 2.6.2 常用函数的合成误差（略）, 若y=f(x1,x2,xm)的函数关系为和、差关系时，可以先求总合的绝对误差；若函数为积、商或乘方、开方关系时，先求总合的相对误差比较方便。,2.6.3 系统误差的合成,确定性系统误差：,为确定性系统误差，可由上式直接求出总合的系统误差。, 随机误差的合成,上式为已知各分项方差，求总合方差的公式。,2.6.4 微小误差准则,（1）确定性系统误差微小准则, 当总误差保留一位有效数字时，若,则 可作为微小误差忽略不计。, 当总误差保留两位有效数字时，若,则 可作为微小误差忽略不计。,（2）随机误差微小准则, 当总误差保留一位有效数字时，若,则 可作为微小误差忽略不计。, 当总误差保留两位有效数字时，若,则 可作为微小误差忽略不计。,2.6.5 测量误差的分配,1.等准确度分配,等准确度分配是指分配给各分项的误差彼此相同，则由误差传递公式可得到分配给各分项的误差为：,j=1， ，m,j=1， ，m,等准确度分配通常用于各分项性质相同（量纲相同），大小相近的情况。例2-8,1.等准确度分配,等准确度分配是指分配给各分项的误差彼此相同，则由误差传递公式可得到分配给各分项的误差为：,2.等作用分配,等作用分配是指分配给各分项的误差在数值上虽然不一定相等，但它们对测量的作用或者说对总合的影响是相同的：,j=1， ，m,j=1， ，m,例2-9,3.按主要误差项分配,当各分项误差项中第k项误差特别大时，按照微小误差准则，若其他项对总和的影响可以忽略，这时就可以不考虑次要分项的误差分配问题，只要保证主要项的误差小于总和的误差即可,即只考虑主要项的影响。,2.6.6 最佳测量方案的选择,根据现有条件，了解各分项误差可能达到的最小数值，然后比较各种可能的方案，选择合成误差最小者作为现有条件下的“最佳”方案。,例2-10,1. 有效数字 所谓有效数字，是指在测量数值中，从最左边1位非零数字起到含有误差的那位存疑数为止的各位数字。 例如： 3.142四位有效数字，极限误差0.0005 8.700四位有效数字，极限误差0.0005 8.7103 二位有效数字，极限误差0.05103 0.0807 三位有效数字，极限误差0.005存疑数，主要由仪表所能达到的精度决定。存疑数，可能发生末位的半个单位（0.5个单位）变化。,2.7 测量数据的处理,2.7.1 有效数字的处理,测量结果应保留位数的原则是：其最末1位数字是不可靠的，而倒数第2位数字应是可靠的。 即：最末1位有效数字应与测量精度是同一量级的。测量误差一般取12位有效数字。若知道误差的单位量级，则在表达测量数据时，也应与之配合。在进行比较重要的测量时，测量结果和测量误差课比上述原则再多取1位数字作为参考。,2.数字的舍入规则 目前广泛采用如下的舍入规则： （1）小于5舍去末位不变。 （2）大于5进1在末位增1。 （3）等于5时，取偶数当末位是偶数，末位不变；末位是奇数，在末位增1（将末位凑为偶数）。,例：将下列数据舍入到小数第二位。 12.434412.43 63.7350163.74 0.694990.69 25.325025.32 17.695517.70 123.1150123.12 需要注意的是，舍入应一次到位，不能逐位舍入。 上例中0.69499，正确结果为0.69 ，错误做法是： 0.694990.69500.6950.70。,在“等于5”的舍入处理上，采用取偶数规则，是为了在比较多的数据舍入处理中，使产生正负误差的概率近似相等。,中间的0和末尾的0都是有效数字，不能随意添加。开头的零不是有效数字。测量数据的绝对值比较大（或比较小），而有效数字又比较少的测量数据，应采用科学计数法，即a10n，a的位数由有效数字的位数所决定。测量结果（或读数）的有效位数应由该测量的不确定度来确定，即测量结果的最末一位应与不确定度的位数对齐。 例如，某物理量的测量结果的值为63.44，且该量的测量不确定度u0.4，测量结果表示为63.40.4。,3.近似运算法则 保留的位数原则上取决于各数中准确度最差的那一项。（1）加法运算 以小数点后位数最少的为准（各项无小数点则以有效位数最少者为准），其余各数可多取1位小数，但最后结果应与小数位数最少的数据小数位相同。例如：（2）减法运算：当两数相差甚远时，原则同加法运算；当两数很接近时，有可能造成很大的相对误差，因此，第一要尽量避免导致相近两数相减的测量方法，第二在运算中多一些有效数字。,（3）乘除法运算 以有效位数最少的数据为准，其余各数据要比有效位数最少的数据位数多取1位数字，而最后结果应与有效位数最少的数据位数相同。例如： （4）乘方、开方运算： 运算结果比原数多保留一位有效数字。例如： （27.8）2772.8 (115)21.322104,测量不确定度,1.不确定度的概念 不确定度是说明测量结果可能的分散程度的参数。 它不能独立地存在，而是要和测量结果一起存在，作为测量结果的一部分。 一个完整的测量结果应包含被测量值的估值与分散性参数两部分。例如，被测量Y的测量结果为 Y=yU U：测量不确定度，规定这个参数可以是标准偏差或的倍数k，也可以是具有某置信概率P（例如P=95%）下置信区间的半宽。,2.不确定度的分类（1）标准不确定度 用概率分布的标准偏差表示的不确定度。 A类标准不确定度uA（由多次测值求标准差获得） B类标准不确定度uB（查已有信息求得） 合成标准不确定度uC（A、B类合成，多个不确定度合成）（2）扩展不确定度（扩大置信区间，提高置信概率）,不确定度的理解： 它是与测量结果相关的参数： 。 其置信区间是： 。它与真值没有关系，但它将真值包含在区间中了。不确定度U小，则区间小，被测量值的分散性小。 不确定度U恒为正值。号只是标明区间的取向。,3.不确定度的来源,被测量定义的不完善，实现被测量定义的方法不理想，被测量样本不能代表所定义的被测量。测量装置或仪器的分辨力、抗干扰能力、控制部分稳定性等影响。测量环境的不完善对测量过程的影响以及测量人员技术水平等影响。计量标准和标准物质的值本身的不确定度，在数据简化算法中使用的常数及其他参数值的不确定度，以及在测量过程中引入的近似值的影响。在相同条件下，由随机因素所引起的被测量本身的不稳定性,误差与不确定度的区别,自由度,贝塞尔公式中，标准差的自由度 理解：系列测量的标准差的可信程度与自由度有密切关系，自由度越大，标准差越可信赖。 由于标准不确定度是用标准差来表征的，故不确定评定的质量如何，也可用自由度来说明。 因此，自由度是表达测量可靠程度的量，测量次数n多，可靠性好，则自由度大。,2.7.2 等精度测量结果的处理,对测量值进行系统误差修正，将数据依次列成表格；求出算术平均值列出残差 ，并验证按贝塞尔公式计算标准偏差的估计值；按莱特准则或格拉布斯准则，检查和剔除粗大误差；判断有无系统误差。如有，应查明原因，修正或消除系统误差后重新测量；计算算术平均值的标准偏差估计值；写出最后结果的表达式，即 （单位）。,2.7.3 非等精度测量结果的处理,1.测量结果的权,测量结果的权可理解为，当它与另一些测量结果比较时，对该测量结果所给予的信赖程度。,2.加权平均,对某量X进行了m次非等精度测量，得到了m个数据，x1,x2,xm，它们对应的权分别为w1,w2,wm。 X的估计值为：,3.加权平均值的方差,将m次非等精度测量等效为n次等精度测量， 。每次等精度测量的方差即为单位权（wj=1）的方差 ，i=1,2,n。 则加权平均值的方差为：,即：, 测量数据的表示方法,在实际测量中，存在有一定关系的一组测量数据（xi,yi）(i=1,2,n)，该组数据间具有一定的函数关系，对于这类数据的表示方法有：列表法、图示法和经验公式法。,1.测量结果的曲线表示,1）作图要点 首先要选好坐标； 曲线急剧变化的地方测量数据应多取一些； 另外，注意曲线的修匀。,2）用分组平均法修匀曲线将各数据点连成光滑曲线的过程称为曲线的修匀。为了提高作图的精度，可用分组平均法进行曲线修匀。,2.经验公式的确定,在实际应用中，经验公式（也称回归方程）是在实验测量的基础上归纳出来的，可在一定条件下使用。在确定经验公式时，首先，根据经过修匀的曲线，再根据其形状估计出经验公式的基本形式。在误差理论中，通常采用最小二乘法原理和回归分析等方法来确定经验公式。,1）最小二乘法,是一种确定参数估计值的方法。,测量结果的最可信赖值应在残差平方和为最小的条件下求出。,严格来说，最小二乘法只适用于残差或者说随机误差服从正态分布的情况，但对于误差接近于正态分布的情况也适用。,2）回归分析法（工程上又称为直线拟合）,回归分析法是处理多个变量之间相互关系的一种常用的数理统计方法。,回归分析法包括两个方面的任务：第一，根据测量数据确定函数形式，即回归方程的类型；第二，确定方程中的参数。,一元线性回归，即处理两个变量x和y之间的线性关系，这是工程上和科研中常遇到的直线拟合问题。如：温度、湿度、压力等传感器的输出电压与温度、湿度、压力之间就是这种直线方程关系：y=bx+a。,例：在温度传感器校验测量中测得一组数据如表所示，这里x可以看做温度值（），y是传感器输出地电压值（V）。试用最小二乘法拟合，求表中实验数据的最佳曲线和经验公式。,解：设要求的最佳曲线为线性方程为：,由于在实际测量中有误差，可写成：,则残差为：,根据最小二乘法原理：,求上式的极小值，即对可变系数b和a进行偏微分：,得满足最小二乘法的条件方程：,代入数据得方程组：,解方程组得：,相应的直线方程为：,