第七节商环与环同态基本定理.docx

第七节商环与环同态基本定理教学内容及要求：了解及掌握商环及其性质，环同态基本定理，环的同构定理.教学重点：环同态基本定理.教学难点：环同态基本定理.教学过程：由于正规子群的特殊性，可以由它产生商群，并能由此获得群论中很多重要的结论.同样，利用理想也可以产生一些新环，由此得到环论中i系列相应的结果.一、商环设N是环H的一个理想，则N是R的一个子加群，于是对环R的加法来说，N是R的一个正规子群，从而A关于N的一切陪集a+N(aR)作成的集合%对陪集的加法(a+N)+(b+N)=(a+b)+N作成一个加群.现在的想法是看能不能对%再规定另外一个代数运算使其作成一个环.设+ N,b + N是%中任意两个陪集,再规定乘法:(+N)(b+N)="+N需证明这是%的一个代数运算，即其结果与配集中代表元的选择无关.事实上，设a+N=c+N,b+N=d+N则。-cN,6-dN由于NvR,故(a-c)bsN、C(b-d)N从而(a-c)b+c(b-d)=ac-bdwN,因此ab+N=cd+N亦即(+N)g+N)=(c+N)(d+N)说明运算与代表元的选择无关.我们把上面这个代数运算叫做陪集的乘法.定理1.设NVR,则%对陪集的加法与乘法作成一个环，称为R关于N的商环(有时也称为剩余类环)，且证明：令:aa+N则易知这是R到%的一个关于加法与乘法的同态满射，故”%.由于R是环，因此%也是环上面的。称为R到商环%的自然同态.二、环同态基本定理定理2(环同态基本定理),设R与只是两个环，R-R9则(1)这个同态核N,即零元的全体逆象是R的一个理想；%吨证明：设。是R到巨的同态满射，(1)由第三章，N是R的一个子加群，其次，设wN"R,则dO,rT于是在。之下有rar=0,rr=0故r”,rN,即NvR.(2)令;a+N(a)则由群同态基本定理知，作为加群，是%到户的一个同构映射.又由于(+N)(b+N)=M+N而。(")=o3)eS),故“是环%到京的一个同构映射，从而%二”.该定理也常常称为环的第一同构定理.定理3.在环R到环R的同态映射下，则(1) R的子环(理想)的象是R的一个子环(理想(2) R的子环(理想)的逆象是R的一个子环(理想).这个定理的证明与群论中相应定理的证明完全类似，故省略不写.但要注意的是在(1)中把子环改成理想时，还应要求同态映射是一个满射.课堂小结：环同态基本定理.课后作业：1,3,