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    高级人工智能课件.ppt

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    高级人工智能课件.ppt

    2.3 Bayes 决策规则,2.3.1 最小错误率的Bayes决策 利用Bayes公式,可以在模式分类中尽量减少分类的错误;称之为最小错误率的Bayes决策 考虑对正常人和病人的识别问题。 假设每个要识别的人有d个基本特性的特征,如身高、体重、温度、脉搏等,从而组成一个d维空间的向量,识别的目的就是要将分类成正常人或病人。,如果用 表示人的健康状态,则 表示健康状态 表示患病状态 对人个体的识别就是 把归类于 、 这两种可能状态。 类别状态是一个随机变量,但其概率分布是已知的,则有健康状态概率 和患病状态概率 是已知的。即 、 是先验概率。 在两类问题中,显然存在: + =1 (2.3-1),为简单起见,只用一个特征即温度进行分类,有d=1。 在自然条件下,观察到的类别条件概率分布为已知,并且有:(分布如图2,1所示) 是健康状态下观察 的类条件概率密度 是患病状态下观察 的类条件概率密度 1.由于已知:状态先验概率 类条件概率密度 2.利用Bayes公式,则有状态的后验概率: (2.3-2),图2.1 类条件概率密度,图2.2 后验概率,0.2,0.4,0.6,0.8,1,3.最小错误率的 Bayes决策规则如果 ,则把 归类于 ;反亦反之。则决策规则可简写为: (2.3-3),4.最小错误率分析 (1)错误率 错误率是指平均错误率,以 表示,有定义: = (2.3-4) 其中, 表示在整个 d维空间上积分(2)条件错误概率 在 条件下的错误概率为 。根据Bayes决策规则: 则决策结果; 则决策结果 显然,在作出决策 时, 的条件错误概率为; 在作出决策 时, 的条件错误概率为 从而有条件错误概率: =,(3)Bayes决策的本质 实际上是对每个 都使取小者,从而积分: (2.3-6) 也必然达到最小。也即 达到最小 这说明最小错误率Bayes决策规则确实使错误率最小。 这种方法可以推广到多类的分类决策之中。,2.3.2 最小风险的Bayes决策 在决策中有时需要考虑一个比错误率更广泛的概念风险。 对事物的分类,第一考虑的是尽可能正确的分类。第二要考虑错误判断分类带来的后果。例如,把健康人归类为病人,或把病人归类为健康人。这会带来精神压力或延误病情,即会引起损失。 最小风险的Bayes决策是考虑各种错误造成损失不同而提出的决策。 在最小风险决策中,需要考虑损失函数。,1.基本概念(1)观察对象 是 维随机向量: (2.3-7)其中: 为一维随机变量(2)状态空间 状态空间由C个自然状态(C类)组成: = (2.3-8) ( 3)决策空间A 决策空间A由 个决策 组成 (2.3-9) 按一般理解,C个状态,有C个决策即够了,但实际上,对于C个类别有C种不同决策之外,还允许有其他决策,例如“拒绝”决策,则这时就有 =C+1。,(4)损失函数 损失函数 表示为: (2.3-10) 表示为状态为 ,而所采用的决策为 时所带来的损失。 根据状态,损失和决策则可得一般决策表 表2.3-1 一般决策表,2.最小风险Bayes决策(1)已知先验概率 以及类条件概率密度(2)求后验概率 从ayes公式有: 其中 (2.3-11),(3)条件期望损失(条件风险) 由于考虑错判造成的损失,故不能以后验概率大小作决策,而必须考虑决策是否使损失最小。 对于给定的观察对象 ,如果采用决策 ,从决策表可知,损失函数 可以在C个 中任取一个值,其相应概率为 ,从而有在决策 情况下的条件期望损失为: =E = (2.3-12) 条件期望损失 也称条件风险。 条件期望损失反映了对 的某一取值采用决策 所带来的风险。,(4) 期望风险 由于 是随机向量,对于 的不同观察值,采取决策 时,其条件风险的大小是不同的。所以,究竟采取哪种决策将随 的值而定。这样,决策 可以看成随机向量 的函数,并记为 ,它也是一个随机变量。 期望风险 可定义为: (2.3-13) 其中: 是 d维特征空间的体积元,积分在整个特征空间进行。 期望风险及反映对整个特征向量空间所有 的取值采取相应决策 所带来的平均风险。 在Bayes决策中,应要求采取一系列决策行动 使期望风险R最小。,(5)最小风险Bayes决策规则 如果,在采取每一个决策或行动时,都使其条件风险最小,则对所有的 作出决策时,其期望风险也必定最小最小风险Bayes决策。 最小风险Bayes决策规则表示为: 如果 则 (2.3-14) 在求实际问题决策时,最小风险Bayes决策步骤如下: )已知 在给出待识别的 的情况下,以Bayes公式求取后验概率 (2.3-15),)利用后验概率及决策表,按条件期望损失 的式子: = (2.3-16) 求取条件风险。)对求出的 个条件风险值 , 进行比较,找出使条件风险最小的决策 ,即 (2.3-17) 则 就是最小风险Bayes决策。,2.3.3最小风险Bayes决策的例子 例:假设在某个地区人们的健康状态 和患病状态 的先验概率分别为: 健康状态: =0.9 患病状态: =0.1 现有一个待识别的个体,其观察值为 ,从类条件概率密度分布曲线上查得: 试按最小风险Bayes决策进行分类。,解:(1)已知条件有 =0.9 , =0.1 决策表为: 有: =0; =6; =1; =0,(2)用Bayes公式,分别求 、 的后验概率,(3)根据 求出条件风险 = =60.182=1.092 = =10.818=0.818 (4)最小风险决策 由于 ,则说明决策 的风险小于决策 ,故取 为决策。 在决策表中可以看出,当取 为决策时,损失最小的是 =0 ,显然,对应的状态是 ,故而最后识别的结果为:个体属于患病状态 类。,2.3.4 最小错误率与最小风险Bayes决策的关系 1. 0-1 损失函数 定义:如果损失函数取下面形式 = i , j =1,,c (2.3-18) 则称其为0-1 损失函数。 在0-1 损失函数中,假定对C类只有C个决策,并且,对于正确决策(i=j时)没有损失,而对任何错误决策其损失为1。,2采用0-1 损失函数时的条件风险 条件风险这时为: = (2.3-19) 很明显,根据前面的条件错误概率的含义,则 是对x采用决策i的条件错误概率。,3用0-1 损失函数时的最小风险Bayes决策 = (2.3-20) 同理有: (2.3-21) 对于最小风险Bayes决策: (2.3-22),则可写成: = (2.3-23) 上式中右边给出的是最小错误率,则决策可根据上式确定。 从而可知:最小错误率的Bayes决策是在0-1 损失函数下的最小风险的Bayes决策。 最小风险Bayes决策要求: a.有符合实际情况的先验概率 b.有符合实际情况的类条件概率密度 c.有合适的损失函数,

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