九年级数学上册第21章 一元二次方程PPT课件.ppt

21.2解一元二次方程（第1课时）,九年级上册,学习目标：1会用直接开平方法解一元二次方程，理解配方的 基本过程，会用配方法解一元二次方程；2在探究如何对比完全平方公式进行配方的过程中， 进一步加深对化归的数学思想的理解学习重点：理解配方法及用配方法解一元二次方程,课件说明,问题1在设计人体雕像时，使雕像的上部（腰以上）与下部（腰以下）的高度比，等于下部与全部（全身）的高度比，可以增加视觉美感按此比例，如果雕像的高为 2 m，那么它的下部应设计为多高？,解：设雕像的下部高为 x m，据题意，列方程得整理得x 2 + 2x - 4 = 0,1创设情境，导入新知,你会解哪些方程，如何解的？,二元、三元一次方程组,一元一次方程,一元二次方程,消元,降次,思考：如何解一元二次方程,1创设情境，导入新知,问题2解方程 x 2 = 25，依据是什么？,解得x 1 = 5，x 2 = - 5,平方根的意义,请解下列方程： x 2 = 3，2x 2 - 8=0，x 2 = 0，x 2 = - 2这些方程有什么共同的特征？,结构特征：方程可化成x 2 = p的形式，,平方根的意义,降次,（当 p0 时）,2推导求根公式,问题4怎样解方程 x 2 + 6x + 4 = 0？,x 2 + 6x + 9 = 5,2推导求根公式,试一试：与方程 x2 + 6x + 9 = 5 比较，怎样解方程x2 + 6x + 4 = 0 ？,怎样把方程化成方程的形式呢？,怎样保证变形的正确性呢？,即,由此可得,解：,左边写成平方形式,移项x2 + 6x = -4 ,两边加 9 = -4 + 9,x2 + 6x + 9,2推导求根公式,回顾解方程过程：,两边加 9，左边配成完全平方式,移项,左边写成完全平方形式,降次,解一次方程,x2 + 6x + 4 = 0,x2 + 6x = -4,x2 + 6x + 9 = -4 + 9,，或,，,2推导求根公式,想一想：以上解法中，为什么在方程两边加 9？加其他数可以吗？如果不可以，说明理由,两边加 9,一般地，当二次项系数为 1 时，二次式加上一次项系数一半的平方，二次式就可以写成完全平方的形式,x2 + 6x = -4 ,x2 + 6x + 9 = -4 + 9,2推导求根公式,议一议：结合方程的解答过程，说出解一般二次项系数为 1 的一元二次方程的基本思路是什么？具体步骤是什么？,配成完全平方形式,通过 来解一元二次方程的方法，叫做配方法,配方,具体步骤：（1）移项；（2）在方程两边都加上一次项系数一半的平方,2推导求根公式,平方根的意义,降次,（当 p0 时）,问题5通过解方程 x 2 + 6x + 4=0 ，请归纳这类方程是怎样解的？,3归纳配方法解方程的步骤,（2）配方法解一元二次方程的一般步骤有哪些?,3归纳配方法解方程的步骤,解一元二次方程的一般步骤：,两边加 9，左边配成完全平方式,移项,左边写成完全平方形式,降次,x2 + 6x + 4 = 0,x2 + 6x = -4,x2 + 6x + 9 = -4 + 9,，或,3归纳配方法解方程的步骤,解一次方程,，,4归纳小结,1教科书第 6 页练习；第 9 页练习2思考：利用本节课的知识，试解关于 x 的方程 x 2 + px + q = 0,5布置作业,九年级上册,21.2解一元二次方程（第2课时）,通过配方法推导一元二次方程求根公式，公式法解一元二次方程，一元二次方程根的判别式,课件说明,学习目标：1会用公式法解一元二次方程，理解用根的判别式 判别根的情况；2经历探究一元二次方程求根公式的过程，初步了 解从具体到抽象、从特殊到一般的认识规律学习难点：推导求根公式的过程，理解根的判别式的作用,课件说明,1复习配方法，引入公式法,问题1什么叫配方法？配方法的基本步骤是什么？,问题2能否用公式法解决一元二次方程的求根问题呢？,1复习配方法，引入公式法,问题3我们知道，任意一个一元二次方程都可以转化为一般形式ax 2 + bx + c = 0 （a0）你能用配方法得出它的解吗？,2推导求根公式,此时可以用开平方法求解吗？,2推导求根公式,一般地，一元二次方程 ax 2 + bx + c = 0（a0）的根由方程的系数 a，b，c 确定将 a，b，c 代入式子就得到方程的根：利用它解一元二次方程的方法叫做公式法,2推导求根公式,你能总结一下推导求根公式的基本步骤吗？推导过程中要注意那些问题？当 时，方程有两个不相等的实根；当 时，方程有两个相等的实根；当 时，方程没有实根.,2推导求根公式,b 2 - 4ac0,b 2 - 4ac = 0,b 2 - 4ac0,例1用公式法解下列方程：（1） x 2 - 4x - 7 = 0；（2） ；（3）5x 2 - 3x = x + 1；（4）x 2 + 17 = 8x,3归纳公式法解方程的步骤,问题4：你能总结用公式法解一元二次方程的步骤吗？应用公式时要注意什么问题？,3归纳公式法解方程的步骤,回到本章引言中的问题，雕像下部高度 x（m）满足方程 x 2 + 2x - 4 = 0 用公式法解这个方程：,4练习巩固公式法,（1）如果雕像的高度设计为 3 m，那雕像的下部应是多少？4 m 呢？（2）进而把问题一般化，这个高度比是多少？,问题5：请大家思考并回答以下问题：（1）本节课学了哪些内容？（2）我们是用什么方法推导求根公式的？（3）你认为判别式有哪些作用？（4）应用公式法解一元二次方程的步骤是什么？,5归纳小结,教科书习题 21.2第 4，5 题,6布置作业,九年级上册,21.2解一元二次方程（第3课时）,本课是在学习配方法、公式法的基础上，进一步学习解一类特殊的一元二次方程的方法因式分解法,课件说明,学习目标：1会选择合适的方法进行因式分解，并解一元二次 方程；2在探究因式分解法解方程的过程中体会转化、降 次的数学思想学习重点：因式分解法解一元二次方程,课件说明,1探究因式分解法,问题1解一元二次方程的基本思路是什么？我们已经学过哪些解一元二次方程的方法？,配方法，求根公式法,问题2根据物理学规律，如果把一个物体从地面以 10 m/s 的速度竖直上抛，那么经过 x s 物体离地面的高度（单位：m）为10 x - 4.9x 2 你能根据上述规律求出物体经过多少秒落回地面吗（精确到 0.01 s）？,1探究因式分解法,你认为该如何解决这个问题？你想用哪种方法解这个方程？,配方法,公式法,降次,？,1探究因式分解法,10 x - 4.9x 2 = 0,x 1 = 0，x 2 =,问题3观察方程 10 x - 4.9x 2 = 0，它有什么特点？你能根据它的特点找到更简便的方法吗？,两个因式的积等于零,至少有一个因式为零,1探究因式分解法,10 x - 4.9x 2 = 0,x 1 = 0，x 2 =,x = 0,或10 - 4.9x = 0,例解下列方程：（1） （2）,2应用举例,归纳因式分解法解一元二次方程的步骤：（1）化方程为一般形式；（2）将方程左边因式分解；（3）至少有一个因式为零，得到两个一元一次方程；（4）两个一元一次方程的解就是原方程的解,3练习巩固,教科书第 14 页练习第 1 题,问题4请回答以下问题：（1）因式分解法的依据是什么？解题步骤是什么？（2）回顾配方法、公式法和因式分解法，你能说出它们各自的特点吗？,4归纳小结,教科书习题 21.2第 6，10 题,5布置作业,九年级上册,21.2解一元二次方程（第4课时）,本课是在学生已经学习了一元二次方程求根公式的基础上，对一元二次方程的根与系数之间的关系进行再探究，通过本课的学习，使学生进一步了解一元二次方程两根之和、两根之积与一元二次方程中系数之间的关系,课件说明,学习目标：1了解一元二次方程的根与系数关系，能进行简单 应用2在一元二次方程根与系数关系的探究过程中，感 受由特殊到一般的认识方法学习重点：一元二次方程根与系数的关系的探究及简单应用,课件说明,问题1一元二次方程的根与方程中的系数之间有怎样的关系？,1复习知识，回顾方法,2小组合作，类比探究,归纳：,2小组合作，类比探究,x1+x2 = -px1 x2 = q,问题3一元二次方程 ax 2 + bx + c = 0 中，二次项系数 a 未必是 1，它的两个根的和、积与系数又有怎样的关系呢？,2小组合作，类比探究,问题3 如何探究这两者之间的关系呢？,利用一元二次方程的一般形式和求根公式,2小组合作，类比探究,归纳：一元二次方程的两个根 x1，x2 和系数 a，b，c 有如下关系：,2小组合作，类比探究,例根据一元二次方程的根与系数的关系，求下列方程两个根 x1，x2 的和与积：（1） x 2 - 6x - 15 = 0（2）3x 2 + 7x - 9 = 0（3）5x - 1 = 4x 2,3运用性质，巩固练习,x1 + x2 = 6,x1 x2 = -15,x1 + x2 =,x1 x2 = -3,x1 + x2 =,x1 x2 =,练习不解方程，求下列方程两个根的和与积：（1） x 2 - 3x = 15（2） 3x 2 + 2 = 1- 4x （3） 5x 2 - 1 = 4x 2 + x （4） 2x 2 - x + 2 = 3x + 1,x1 + x2 = 3,x1 x2 = -15,x1 + x2 =,x1 x2 =,x1 +x2 = 1,x1 x2 = -1,x1 + x2 = 2,x1 x2 =,3运用性质，巩固练习,（1）一元二次方程根与系数的关系是什么？（2）我们是如何得到一元二次方程根与系数关系的？,4小结知识，梳理方法,教科书习题 21.2第 7 题,5课后反思，布置作业,21.3实际问题与一元二次方程（第1课时）,九年级上册,本节课以流感为问题背景，学习用一元二次方程解决实际问题,课件说明,学习目标：1能根据实际问题中的数量关系，正确列出一元二 次方程；2通过列方程解应用题体会一元二次方程在实际生 活中的应用，经历将实际问题转化为数学问题的 过程，提高数学应用意识学习重点：正确列出一元二次方程，解决有关的实际问题,课件说明,1分析“传播问题”的特征,列方程解应用题的一般步骤是什么？,第一步：审题，明确已知和未知；,第二步：找相等关系；,第三步：设元，列方程，并解方程；,第五步：作答,第四步：检验根的合理性；,2解决“传播问题”,探究有一个人患了流感，经过两轮传染后共有 121个人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？,（2）每一轮的传染源和传染之后的患流感人数是多少？,（1）本题中的数量关系是什么？,分析：,被传染人,被传染人,被传染人,被传染人,x,x,x,设每轮传染中平均一个人传染了 x 个人，,被传染人,被传染人,x,第二轮的传染源有 人，有 人被传染,1,x,x+1,2解决“传播问题”,传染源数、第一轮被传染数和第二轮被传染数的总和是 121 个人,2解决“传播问题”,探究有一个人患了流感，经过两轮传染后共有 121个人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？,（3）如何理解经过两轮传染后共有 121 个人患了流感？,分析：,解：设每轮传染中平均一个人传染了 x 个人,x1 =_，x2 =_,答：平均一个人传染了 10 个人,10,（不合题意，舍去） ,-12,2解决“传播问题”,探究有一个人患了流感，经过两轮传染后共有 121个人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？,（4）如何利用已知数量关系列出方程，并解方程得出结论？,分析：,（5）如果按照这样的传染速度，三轮传染后有多少个人患流感？,121+12110 = 1 331（人）,（6）通过对这个问题的探究，你对类似的传播问题中的数量关系有新的认识吗？,2解决“传播问题”,3巩固训练,某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干，支干和小分支的总数是 91，每个支干长出多少个小分支？,主干,支干,支干,小分支,小分支,小分支,小分支,x,x,解：设每个支干长出 x 个小分支，则,1 + x + xx = 91,x1 = 9， x2 = -10（不合题意，舍去） ,答：每个支干长出 9 个小分支,x,你能说说本节课所研究的“传播问题”的基本特征吗？解决此类问题的关键步骤是什么？,“传播问题”的基本特征是：以相同速度逐轮传播解决此类问题的关键步骤是：明确每轮传播中的传染源个数，以及这一轮被传染的总数,4归纳小结,教科书复习题 21第 7 题,5布置作业,21.3实际问题与一元二次方程（第2课时）,九年级上册,本课以成本下降为问题背景，讨论平均变化率的问题,课件说明,学习目标：1能正确列出关于增长率问题的一元二次方程；2体会一元二次方程在实际生活中的应用，经历将 实际问题转化为数学问题的过程，提高数学应用 意识,课件说明,1分析平均变化率问题的数量关系,问题1思考，并填空：,1某农户的粮食产量年平均增长率为 x，第一年的产量为 60 000 kg，第二年的产量为_ kg，第三年的产量为_ kg,2某糖厂 2012 年食糖产量为 a 吨，如果在以后两年平均减产的百分率为 x，那么预计 2013 年的产量将是_2014 年的产量将是_,1分析平均变化率问题的数量关系,问题2你能归纳上述两个问题中蕴含的共同等量关系吗？ 两年后：,变化后的量 =,变化前的量,1分析平均变化率问题的数量关系,问题3两年前生产 1 t 甲种药品的成本是 5 000元，生产 1 t 乙种药品的成本是 6 000 元，随着生产技术的进步，现在生产 1 t 甲种药品的成本是 3 000 元，生产 1 t 乙种药品的成本是 3 600 元，哪种药品成本的年平均下降率较大？,2解决实际问题,解：设甲种药品成本的年平均下降率为 x,解方程，得x10.225， x21.775,根据问题的实际意义，成本的年平均下降率应是小于 1 的正数，应选 0.225所以，甲种药品成本的年平均下降率约为 22.5%,2解决实际问题,解：类似于甲种药品成本年平均下降率的计算，由方程,得乙种药品成本年平均下降率为 0.225.,两种药品成本的年平均下降率相等，成本下降额较大的产品，其成本下降率不一定较大成本下降额表示绝对变化量，成本下降率表示相对变化量，两者兼顾才能全面比较对象的变化状况,2解决实际问题,解方程，得x10.225， x21.775,3练习巩固,教科书习题 21.3第 7 题,问题4你能概括一下“变化率问题”的基本特征吗？解决“变化率问题”的关键步骤是什么？,4归纳小结,“变化率问题”的基本特征：平均变化率保持不变；解决“变化率问题”的关键步骤：找出变化前的数量、变化后的数量，找出相应的等量关系,教科书复习题 21第 9 题,5布置作业,21.3实际问题与一元二次方程（第3课时）,九年级上册,列一元二次方程解决有关“面积问题”的实际问题,课件说明,学习目标：1能正确利用面积关系列出关于几何图形的一元二 次方程；2进一步深入体会一元二次方程在实际生活中的应 用，经历将实际问题转化为数学问题的过程，提 高数学应用意识学习重点：利用面积之间的关系建立一元二次方程模型，解决实际问题,课件说明,1创设情境，导入新知,问题1要设计一本书的封面，封面长 27 cm，宽 21 cm，正中央是一个矩形，如果要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一，上、下、左、右边衬等宽，应如何设计四周边衬的宽度？,还有其他方法列出方程吗？,方法一,1创设情境，导入新知,方法二,1创设情境，导入新知,利用未知数表示边长，通过面积之间的等量关系建立方程解决问题,2动脑思考，解决问题,问题2 要设计一本书的封面，封面长 27 cm，宽 21 cm，正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形，如果要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一，上、下边衬等宽，左、右边衬等宽，应如何设计四周边衬的宽度（结果保留小数点后一位） ？,分析：封面的长宽之比是97，中央的矩形的长宽之比也应是 97,9a,7a,设中央的矩形的长和宽分别是 9a cm和 7a cm，由此得上、下边衬与左、右边衬的宽度之比是,整理得：16y 2 - 48y + 9 = 0,解法一：设上、下边衬的宽均为 9y cm，左、右边衬宽均为 7y cm，依题意得,方程的哪个根合乎实际意义？为什么？,2动脑思考，解决问题,解方程得,解法二：设正中央的矩形两边分别为 9x cm，7x cm，依题意得,故上、下边衬的宽度为：,2动脑思考，解决问题,解得：，（不合题意，舍去）,左、右边衬的宽度为：,3动脑思考，巩固训练,教科书习题 21.3第 9 题,问题3回顾前面几节课的学习内容，你能总结一下建立一元二次方程模型解决实际问题的基本步骤吗？需要注意哪些问题？,4归纳小结,教科书复习题 21 第 8 题,5布置作业,