群论群论基础课件.pptx

物理学中的群论,主讲 翦知渐, 群论基础,教材： 自编参考书：群论及其在固体物理中的应用 （徐婉棠） 物理学中的群论（马中骐） 物理学中的群论基础（约什）,教材与参考书,物理学中的群论,第五章 群论在量子力学中的应用,第一章 群论基础,第二章 晶体对称群,第三章 群表示理论,第四章 三维转动群,1.5 正规子群和商群,1.6 直积和半直积,1.7 对称群,群的基本概念和基本性质,1.8 置换群,1.1 集合与运算,1.2 群的定义和基本性质,1.3 子群及其陪集,1.4 群的共轭元素类,第一章 群论基础,0 绪论,群论的发展历史群论在数学中的作用我们为什么要学习群论,1.1 集合与运算,抽象代数的基本概念,集合的乘积：直积内积,集合：抽象代数研究的对象集合的势,1 集合,返回,定义：设 A 与 B 是两个集合，若有一种规则 f ，使得A的每一个元素在 B 上都有唯一的元素与之对应，这种对应规则f 就称为 A 到 B 的一个映射，记为 f ：A B 或写为 f ：x y = f ( x ) , 式中 y 称为 x 在B 上的象，而 x 称为 y 在 A 上的原象。,对应规则：与函数的比较,2 映射,变换：体系A 的一个自身映射f 称为A 的一个变换若f 是一一映射，则称为对称变换一一变换有性质： f f -1 = f -1f = e,满射 单射 一一映射逆映射： f -1恒等映射：e,定义：若对 A 上的每一对有序元(a, b ) ，在 A 上有唯一确定的 c 与之对应，即有一规则 R 使得 AA A，则 R 称为 A上的一个二元运算，记为R：AA A， 或 R：(a, b ) c = R(a, b ) 一般记为c = ab，或c = ab 。,二元运算一般也称为“乘法”数值加法 数值乘法 对称操作,3 二元运算,集合的所有代数性质都由其乘法结果决定,D3,乘法表：有限集,设 A 和 B 是两个不同集合，其中分别定义了乘法 和 ； 若有满射 f ，使得对于 yi = f ( xi ), yj = f ( xj )来说有 f ( xi xj ) = f ( xi ) f ( xj ) 即像的乘积=乘积的像则称 f 为 A到 B的同态，记为 A B,4 同态与同构,物理上，同构的集合有分别： G = e, c2 和 G = e, ci ,1:1,同构：乘法表完全一样的结构，只是换了记录的符号数学上，同构即是同一,例如：G = e= a4, a, a2, a3 G = 1, i, -1, -i ,同态映射若是一一映射 同构：A=B,例如：G = e, a, a2, a3 G = 1, -1 二对一的同态, 4:1,同态：A 到B的等比例缩小保持乘法结构：f ( xi xj ) = f ( xi ) f ( xj ),设 f ( xi) = y（i=1,2,l），则对于所有的i，有f ( xi x) = f ( xi ) f(x) = y f(x) 所有的xi x对应于同一个元,1.2 群的定义和基本性质,什么是群？,G = e, g2, , gi , 是一个集合，其中定义了乘法。如果对于所定义的乘法，以下四个条件成立，则集合G 称为群：闭合律：gi gj G, gi , gj G 结合律：gi ( gj gk ) = (gi gj ) gk , gi , gj , gk G存在单位元：gi e = e gi = gi , gi G存在逆元素： gi G ，gi -1 G ，使得gi gi -1 = gi -1 gi = e,广群，半群，幺半群,1 定义, 1 ： 只含一个元素的群, 1 即是单位元 e 。1，-1 ： 这个集合对普通乘法构成一个群。 e，I ： e 为恒等操作，I 为反演操作；乘法：变换合成。1，i，-1，-i ： 四个元素的集合对普通数值乘法构成群。e, a, b, c ： 乘法定义为：a2 = b2 = c2 = e, ab = c, bc = a, ca = b ，其中乘法可交换次序。全体实数对普通加法构成群。 除 0 之外的所有实数对普通乘法构成群。全体 n 阶非奇异方矩阵的集合对矩阵的乘法构成群。 D3 群。,2 群的例子,阿贝尔群：交换群有限群：可给出群表无限群：离散群，连续群群元素的阶： gn = e 群阶：|G|生成元：通过乘法产生群G的最小子集循环群：一个生成元,3 一些基本概念,设G = gi 是一个群 gi , gj G, 方程 gi x = gj ， x gi = gj 有唯一解 ( gi -1 ) -1 = gi ( gi gj ) -1 = gj -1 gi -1单位元唯一；逆元素唯一若 群 G = e, g2 , , gi , 与 群G = e, g2 , , gj , 同态或同构，则： G 的单位元 e 的象是 G 的单位元 eg G，设g 的象是 g，则 g 的逆元 g-1 的象是 g-1,4 一些基本性质,设 G 是一个 N 阶群，则 G 的每一个元素在群表的每一行以及每一列中出现且只出现一次。,若 f 是群元的任意函数，则有,推论,定理1.1 有限群重排定理,设 H 为 G的一个子集，若它对G的乘法构成群，则称 H 为 G 的子群,1.3 子群及其陪集,平凡子群，真子群 判别方法： 符合以下两个条件的 G 的子集 H 是 G 的子群：若 gi , gj H ，有 g i g j H若 gi H，则gi -1 H,对于有限群，只要满足第一个条件 ，即乘法的封闭性，就可证明 H 是 G 的子群。,1 子群,群论-群论基础-子群及其陪集,设 H = e, h2, , hm 是 G 的一个子群，对于某个元素g G，集合 gH = g, gh2, , ghm 称为 H 的一个左陪集。,陪集的代表元 若某个 qgH，则有 qH = gH（因 q= ghi）陪集中任意元形成的陪集相同，或者说陪集中任意元可作为此陪集的“代表元”,右陪集：H 的右陪集和左陪集有同样的性质。 左陪集 qH 和右陪集 Hq不一定相等。,2 陪集,群论-群论基础-子群及其陪集,根据陪集的性质，可以得到结论：任意两个左陪集 xH 和 yH，要么完全相同，要么完全不同,母群的每个元素都一定在子群的某个陪集中；每个陪集的元素个数相同；所有陪集要么没有公共元，要么全同所以母群一定可以划分为子群的不同陪集的集合,3 拉格朗日定理,H 的所有左陪集都包含有相同数目的元素 若g H，则 gH = H ；若 g H，则 gH H = ,群论-群论基础-子群及其陪集,定理1.2 拉格朗日定理：设 H 是 G 的一个子群，则 G 的阶 |G| 一定是 H 的阶 |H| 的整数倍，即|G| = k |H| 。其中 k 是正整数，称为 H 在 G 中的指数，实际上也就是 G中含 H的陪集数。,推论（定理1.2 的推论）：若群 G 的阶为素数时，G 没有真子群，而且 G 必为循环群。,群论-群论基础-子群及其陪集,H1 = e, a, b ,例：D3只有三阶子群和二阶子群，即H1和H2,H2 = e, k,群论-群论基础-子群及其陪集,群论-群论基础-共轭元素类,设 g 是 G的一个元素， x G ，元素g = xgx-1 称为 g 的共轭元素，而 g 和 g 具有共轭关系。,1.4 共轭元素类,如果 G 是矩阵群，则共轭关系就是相似变换，共轭元素就是相似矩阵。,自反性：即 G 的任一元素与自身共轭 对称性：即 gi 是gj 的共轭元素，则gj 也是gi 的共轭元素 传递性：若gi 与gj 共轭，而gj 与gk 共轭，则gi 也是gk 的共轭元素共轭关系是一种等价关系,等价关系联系起来的内部结构,1 共轭关系,群论-群论基础-共轭元素类,G 中所有相互共轭的元素构成的集合，称为共轭类设 g是gi 的共轭元素，即存在xG，使得g = xgi x-1。当x 走遍G 的所有元素时，所有不同的g 构成的G 的子集，称为G 中含gi 的共轭类，记为 Ci = g1, g2, , gm ,同类元素有相同的阶。 直接验证即可。 两个类不能有公共元素，否则它们是同一个类。 根据共轭关系的传递性可知，若两个类有公共元素，则这两个类的所有元素都是相互共轭的，自然组成一个类。,2 共轭类,群论-群论基础-共轭元素类,单位元自成一类 单位元可与任何元素交换乘积次序 阿贝尔群的所有元素各成一类；循环群等，群元乘积可交换次序 矩阵群：共轭关系对于矩阵是相似变换，而矩阵的相似变换不改变矩阵的迹，相似矩阵有相同的迹，所以同一个类的矩阵有相同的迹,群论-群论基础-共轭元素类,群G 中任何一个类Ci 满足： x G，xCi x-1 = Ci 。 因为所有形如xgix-1 的元素都是共轭的，而且每个都互不相同，个数与Ci 中一样，所以xCi x-1 = Ci 。 逆类：若 Ci = g1, g2, , gm 是群 G 的一个共轭类， 集合 Ci = g1-1, g2-1, , gm-1 也是G 的一个共轭类，称为Ci 的逆类。,设gi , gj Ci ，有xgix-1 = gj ，所以可以得到(xgi x-1) -1 = ( gj ) -1也就是说 xgi-1x-1 = gj-1，可见gi-1 和gj-1 也属于一个类。 又因为xCi x-1 = Ci ，所以有xCi x-1 = (xCi x-1 )-1 = Ci -1 = Ci ， xG成立，所以Ci 是G 的一个类，称为Ci 的逆类。,可以把群分解为不相交的共轭类的并集：G = C1C2 Cl式中Ci 为第i 个共轭类，G 按共轭关系分成 l 个不同的类。,群论-群论基础-共轭元素类,D3 群的共轭类 D3 群有三个共轭类：C1 = e ，C2 = a, b ，C3 = k, l, m 。因为a, b 代表旋转120（即360/ 3），称之为绕 3次轴的旋转，记为c3 ； k, l, m 代表旋转180（即360/ 2），称之为绕 2 次轴的旋转，记为c2 ；故可以写为：C1 = e ，C2 = 2c3 ，C3 = 3c2 ,一般对于群元，可以按共轭类记之，如：D3 = e, 2c3 , 3c2 ,群论-群论基础-共轭元素类,定理1.3 若 是群中若干个完整的类构成的集合： = C1 + C2 + = kCk， x是群中任意元，则有xx-1 = 成立。只需要注意到，对每一个 Ci 都有xCi x-1 = Ci ，则命题得证。 逆定理：任何一个满足关系xx-1 = ， xG 成立的集合，必然由若干个完整的类构成。证明：首先将中完整的类抽出。设余下的元的集合是 ，于是有x x-1 = ， xG 成立考虑中的某个元g，我们发现等式左边将包含g 的所有共轭元，因此等式右边的 一定是一个完整的类。,3 几个定理,设Ci = a1, a2, , am 和Cj = b1, b2, , bn 为群G 的两个类，对于共轭类的直乘来说CiCj = a1b1 , a2 b1 , , am b1 , a1 b2 , a2b2 , , am b2 , , am bn 有： 其中求和是对群中所有的共轭类求和，而系数 为非负整数，表示类Ck 在CiCj 中出现的次数。证明：根据上一个定理，我们有xCi x-1 = Ci ，xCj x-1 = Cj 故 CiCj = xCi x-1xCj x-1 = xCiCj x-1它对所有xG 成立，根据上一个定理的逆定理：集合CiCj 必然由一些完整的类构成。,例： D3群有三个类，D3 = e, 2c3 , 3c2 = C1, C2, C3 ，则可得C1C2 = C2 ；C1C3 = C3 ；C2C3 = 2C3 ； C2C2 = 2C1 + C3 ；C3C3 = 3C1 + 3C2,群论-群论基础-共轭元素类,定理1.4 类元素数目定理：对于有限群G，每一个共轭类Ci的元素的个数 |Ci| 是 |G| 的一个因子。,证明：设 g G，构造集合 Hg = h G | hgh-1 = g 易证它是 G的一个子群。共轭于g 的元素组成共轭类Cg，其中元素的个数为：当 q 取遍G 中所有元素时，从 qgq-1 中能得到的不同元素的个数可证这是Hg 的左陪集的个数,群论-群论基础-共轭元素类,对 Hg的一个陪集 qHg来说，其中任何一个元素 qh 得到的共轭元为 (qh)g(qh)-1 = qhgh-1q-1 = qgq-1是相同的 对两个不同的陪集 q1Hg 和 q2Hg来说，它们得到的共轭元是不同的，如果相同，则 q1 和 q2 必然在同一个左陪集中： q1gq1-1 = q2 g q2 -1 g = q1-1 q2 g q2 -1q1 = q1-1 q2 g (q1-1 q2) -1 q1-1y Hg y q1Hg,即：Hg 的左陪集 与 Cg 中的元素 一一对应Hg的左陪集的个数是 |G| 的一个因子（ Hg的指数）,群论-群论基础-正规子群与商群,共轭子群：群G 有某个子群H，与H共轭的子集 x H x -1 ( x G )也是一个子群。一般称之为H的共轭子群。 正规子群：若群 G 的子群N 满足 x N x -1 = N ( x G )则称子群N为正规子群。由于正规子群的所有共轭子群就是它本身不变所以一般也称之为不变子群。 xG，正规子群关于x的左陪集和右陪集相同：xN = Nx,1.5 正规子群与商群,共轭的子群：独立的小单元,D3 群：正规子群有 C3 = e, a, b ，而其他的子群则不是正规子群。,1 正规子群,群论-群论基础-正规子群与商群,群 G 的正规子群N 由群G的一个或几个完整的类构成；反之，若一个子群包含母群的一个或几个完整的类，则它必是正规子群。,正规子群的性质,证明：令 h 是正规子群N的一个元对gG，ghg-1 必然也是N 的一个元所以N 包含了h 的整个类；反之，若子群包含了群G 的一个或几个完整类，即：N = iaiCi，其中ai 等于0 或1，则因为 gG，有gCi g-1 = Ci ，所以有gN g-1 = N (定理1.3的逆定理)即N 是正规子群。,群论-群论基础-正规子群与商群,正规子群的一个陪集与另一个陪集（包括其自身）相乘内积结果必为某一个陪集或子群本身。证明：首先，对于这样定义的集合乘法而言，对于任一个群G 有 GG = G，而对于子群H同样有HH = H；其次，设正规子群N 的两个陪集是 gN 和 qN ，则gN qN = gqq-1 N qN = gq (q-1 N q)N = gqN N = gqN即结果仍旧是一个陪集（或子群本身）。,群论-群论基础-正规子群与商群,证明：闭合律：由正规子群的性质可证S 的单位元为Ngi N 的逆元素为gi -1N （gi -1N也是一个陪集）,群G 的阶是 |G| ，其正规子群N的阶是 |N| ，于是存在k = |G| / |N| 个陪集（包括N本身）：g1 N(=N )，g2 N，gk N ；把这k 个集合作为一个新的集合S 的元，定义S 中的元素的乘法为“集合乘法”，则S是一个群，称之为商群记为G / N：S = G / N = N，g2 N，gk N ,2 商群,群论-群论基础-正规子群与商群,D3群它有一个正规子群C3 = e, a, b ，子群C3有两个陪集 C3，kC3 ，所以商群 D3 / C3 由两个群元组成。 G = 1, i, -1, -i 它有一个正规子群 N = 1, -1 ，这个子群有两个陪集，所以商群 G / N 有两个群元：G / N = N，iN 。 O(3) 群SO(3) 群是 O(3) 群的不变子群，而商群 O(3) / SO(3) = SO(3), I SO(3) ，其中I = -E，E 是单位矩阵。任何指数为2的子群都是正规子群,商群的例子,群论-群论基础-正规子群与商群,整数群所有整数在数字加法下构成的群Z = n | n = 0，1，2，。所有6的倍数构成的子集Z6 = 6n | n = 0，1，2，是Z的一个子群，而且是正规子群（因为Z是加法群）。Z6有6个陪集，分别是Z6，Z6+1，Z6+2，Z6+3，Z6+4和Z6+5，其中Z6+i = 6n+i | n = 0，1，2，。可以看到，S = Z / Z6 = Z6，Z6+1，Z6+2，Z6+3，Z6+4，Z6+5构成一个群，即Z 与 Z6的商群。,若群 G G ，则群G 中与G的单位元e 对应的所有元构成的集合N 称为同态的核。,若群 G 与G 同态，则单位元映射到单位元：e = f (e) ； 若群 G 与G 同态，则逆元素映射到逆元素： 若 x = f ( x ) ，则( x)-1 = f ( x-1 ) 。,群同态的性质,同态核,3 商群与同态,群论-群论基础-正规子群与商群,群论-群论基础-正规子群与商群,设G 是一个群，则G 与它的每一个商群G / N 同态证明：建立一个映射为f ：x xN ，x G则有xy ( xy) N = ( x N ) ( yN )（因为N 是正规子群）所以G 与商群G / N 同态。,定理：若群 G 与G同态，则同态核N 是群G 的正规子群N 是一个子群只需要证明N 的封闭性易证又因， xG，若g N，设x x( x G) ，则xg x-1 x e x -1 = e ，即xN x-1 = N 对于所有x成立，故 N 是一个正规子群。,同态核的性质,商群与同态核,群论-群论基础-正规子群与商群,设群 G 与G同态，而同态的核为N，则商群G / N 与G 同构证明：设同态映射 f 使得G 的元素x x G则陪集xN 中的所有元素都映射到 xe = x （同态） 即在此映射下商群G / N 的元素 xN 对应于G 中的元素x ；反之，若某个y也对应于x ，即x = f ( x ) = f ( y ) ，则根据同态的性质( x)-1 = f ( x-1 ) ，有f ( x-1 y) = f ( x-1 ) f ( y ) = ( x)-1 x = e所以有x-1 yN，即yxN，y 一定在陪集xN 中。结合以上两点，可知xN 与 x 之间是一一对应的，而且映射满足同态关系，故它们同构：G / N G 。,群论-群论基础-直积和半直积,定义：设群H 和K的阶分别为m = |H|，n = |K|，其群元为H = e, h2, , hm ，K = e, k2, , kn ，如果满足如下两个条件：H和K 只有单位元e 是共同的；H的所有元与K 的所有元可以对易，则 HK = e, h2, , hm, k2, h2k2, , hmk2, , hmkn 形成一个mn 阶的群，其群元形式为hikj ，这个群就称为H和K 的直积群。,1.6 直积和半直积,扩大群的方法,只需证明封闭性，它的单位元和逆元是很显然的。设hi ，hj H；kl ，km K，则HK中的两个元hikl 和hjkm的乘积为：(hikl )(hjkm ) = (hihj )( klkm ) = hk HK，所以HK构成群。,1 直积群,群论-群论基础-直积和半直积,O(3) = SO(3) E,I I 可以和任何矩阵对易,直积群的例子,六阶循环群G = e, a, a2, , a5 它有两个子群H = e, a2, a4 和K = e, a3 这两个子群都是正规子群循环群它们除了单位元之外没有公共元它们的元的乘积可以对易所以 G = e, a, a2, , a5 = HK,群论-群论基础-直积和半直积,直积群的性质,如果G = HK，则H和K 必为G 的正规子群证明：首先，H和K 都是G 的子集，而且本身都是群，故它们是G 的子群。进一步， hikj G 和 kl K，我们有：(hikj ) kl (hikj )-1 = hi (kj kl kj-1) hi-1 = hi k hi-1 = hi hi-1 k = k即： g G，有 gKg -1 = K所以K 是G 的正规子群。,群论-群论基础-直积和半直积,如果H 和K 分别有c1 和c2 个类，则G = HK 有c1c2 个类证明：G 的类由下列形式的元构成(hikj ) hmkl (hikj )-1 = h k即(hihmhi -1) (kj kl kj -1) = h k但是，hihmhi -1 = h ， kj kl kj -1 = k可见直积群的类由H的类和K 的类相乘得到因此，G 中类的个数是H和K 的类的个数的乘积；而直积群G 的每一类中元素的个数，也是H和K 的相应类中元素的个数的乘积。,群论-群论基础-直积和半直积,定义：如果有两个群H和K，它们只有一个公共元即单位元，且H 在K“作用下”不变，则集合G = e, h2, , hn, k2, h2k2, , hnk2, , hnkp 构成一个群，称为H和K 的半直积群，记为G = HSK，而G 的阶等于|H| |K|注意此处H和K 的次序不可颠倒“作用”：如共轭作用 k K有 kHk -1 = H证明：只需证明G 是封闭的它就是一个群易证如果K 在H 作用下不变，则半直积群记为G = KSH 。当H 在K作用下不变，而且K 在H 作用下不变，则半直积群就是直积群：HK = KH,2 半直积群,群论-群论基础-直积和半直积,如果G = HSK，则H 是G 的正规子群，但 K只是G的子群而不是正规子群。 直积群的群元 (hikl ) 不是有序对，群元的乘积 (hikl )(hjkm) = (hihj )( klkm ) 可交换 半直积群的群元(hi, kl ) 是有序对，群元的乘积为：(h1, k1)(h2, k2) = (h1h , k1k2) (h1h2 , k1k2) 其中h 是h2 在k1作用下的结果。直积群与半直积群的群元乘积，集合上是相同的但是直积中两个分量的群运算各自独立而半直积群的运算是纠缠的,性质,群论-群论基础-直积和半直积,D3 群有两个子群 e, a, b 和 e, k前者是正规子群，后者不是我们可以得到D3 = e, a, b Se, k,例子,空间群即是平移群与点群的半直积：S = TSRT是平移群R是点群,群论-群论基础-对称群,1.7 对称群,对称群也称为变换群对称变换构成的群对称性与守恒律；对称性与物质特性,几何对称性：经典物理：Noether定理守恒律量子力学：旋转对称，波函数交换反对称， CPT 变换固体物理：晶体结构，能带分析,应用于物理体系的基础,1 对称性,群论-群论基础-对称群,一个物理体系的全体对称变换构成该体系的的一个对称群，或称之为全对称群。群的乘法为“变换的合成”。两个变换相乘的定义是：先做后面的变换，再接着做前面的变换。,闭合律；单位元；逆元素；结合律：设 x 为体系的任一个“坐标”，, , 为体系的任意三个对称变换，则有： ( ) ( x ) = ( ) ( x ) = ( x ) = ( ) ( x ) = ( ) ( x )所以有：( ) = ( ),2 对称性定理,群论-群论基础-对称群,二维转动群,一个轴对称物体或体系绕其对称轴的全体转动构成的群称为二维转动群，记为 R2或SO(2)。它的任一元素可记为Rz ()，0 2 （设转轴为z）单参数连续群：它的任意两个元素Rz (1 ) 和Rz (2 ) 的积为Rz (1 ) Rz (2 ) = Rz (1 +2 )令Rz ( ) 对 X-Y 平面上的矢量 r 作用，则可以写r = Rz ( ) rRz ( ) = 因为SO(2)是阿贝尔群，所以它的共轭类是每个元素自成一类。,群论-群论基础-对称群,三维转动群,一个球对称的物体或体系的全体转动构成的群称为三维转动群R3或SO(3)。三维转动群元素的表示：先确定转轴的方向，再给出绕该轴的转角，表示为 Rn(, )( )。欧拉角表示： R(, , ),可以用三阶矩阵表示任意的转动，这个矩阵为正交矩阵，而且行列式为 +1,群论-群论基础-对称群,SO(3) 群的共轭类 据定义，设Rn() 为SO(3) 群中绕某个n 轴旋转角的元素，与它共轭的元素是xRn()x-1，当x走遍SO(3) 时，所得到的不同元素构成一个类，那么：假如x的旋转轴就是n，则因同轴旋转可以交换次序，所以有：xRn()x-1 = Rn() ；假如x与Rn() 不同轴， 设旋转操作x使得n 轴转到m 轴，则 xRn()x-1 中三个变换起如下作用：,群论-群论基础-对称群,x-1 操作： 使得m 轴转到n 轴；2) Rn() 操作：绕n 轴旋转角；3) x操作： 使得n轴转到m 轴所以 xRn()x -1 的效果实际上就是绕m 轴旋转角：xRn ()x-1 = Rm ()即：绕m轴转角与绕n轴转角属于同一个类。当x取遍SO(3) 的所有群元时，可以得到：SO(3) 群中所有转相同角度的元素构成一个共轭类。,群论-群论基础-对称群,球对称体系的全体转动加上空间反演：三维正交群，记为O(3)。三维正交群的元素可用三阶正交矩阵来表示：行列式为1和-1O(3)群：转动操作，空间反演操作，相对任意平面的反射操作欧几里得空间中保持原点不变的全体等距变换的对称群。对于O(3)群的子群来说，元素共轭类的划分可以这样来进行：有转动变换的群，若两个转轴n和m可以由群中其他元素的操作互相变换，即存在一个对称操作x，使得xnm，则绕n和m旋转相同角度的变换属于一个类。含有镜面反射的群，若群中含有一个镜面到另一个镜面的变换，则这两个镜面的反射属于一个类。,三维正交群,群论-群论基础-对称群,设 G 是体系 A 的一个对称群，对某个 x A ，集合 gx | g G 称为含 x 的群轨道。群轨道也称G 轨道。对于有限群来说，群轨道上点的数目不能超过群的阶,对于 SO(2) 群，垂直于对称轴的平面上的某点 P，含 P 的群轨道即为平面上的一个圆。连续群对于 D3 群来说，正三角形的某个顶点为 P，则含 P 的群轨道是正三角形的三个顶点。,SO(2) 群的群轨道,D3 群的群轨道,4 对称群的群轨道,群论-群论基础-对称群,证明：1) 设对某一个 g G 有 g x = y，y x，则 h Gx，有gh x = gx = y，即：同一个陪集 gGx = g, gh2, ，ghm 中的所有元素均将 x 变换为同一点 y,G 是某体系 A 的一个对称群，某点 x A，而保持 x 不变的所有对称变换构成 G 的一个子集：Gx = g | g G，g x = x 这个子集Gx 是 G 的一个子群（也称迷向子群）。如果 G 是一个有限群，则含 x 的群轨道上的点的数目 k 等于Gx 的所有不相同的左陪集的数目，或者说 k 是Gx 在 G 中的指数：k = |G|/|Gx|,群轨道定理,群论-群论基础-对称群,不同的陪集则变换为不同的点：因若 gx = g x, 则x = g-1g x，即g-1g Gx g gGx即：g和g属于同一个左陪集变换为同一点的群元均在同一个左陪集中所以：Gx 的一个左陪集对应含 x 的群轨道上的一个点Gx 有 k个左陪集，它们就对应于含 x 的群轨道上的 k个点点的数目 k = |G|/|Gx| ：左陪集数,群论-群论基础-置换群,置换群，是交换体系的某些部分而保持不变的对称群。它经常用于讨论全同粒子体系的对称性。先把 n 个全同粒子编号，对这n 个全同粒子的一一变换称为置换对称变换，可以用一个2n阶的矩阵表示,n 阶对称群（记为Sn ）共有n! 个元素，其子群称为置换群在 的写法中，各列的排列次序是无关紧要的,1.8 置换群,全同粒子的对称群,1 定义,群论-群论基础-置换群,元素的乘法,单位元,逆元素,两个置换的乘积12的定义是先进行2 操作，再进行1 操作。置换元的乘法并不是矩阵的乘法，只是借用矩阵形式描述,群论-群论基础-置换群,轮换中的粒子按顺序依次变换：,任何一个置换，总可以分解为没有公共数字的轮换的乘积，分解方法是唯一的轮换中的数字排序不能改变，但可以顺序移动：(1 2 3) = (2 3 1) = (3 1 2) (2 1 3)两个没有公共数字的轮换，乘积顺序可以对调轮换的逆元素：(1 2 3 4)-1= (4 3 2 1),2 轮换表示,群论-群论基础-置换群,单行矩阵的长度称为轮换的长度 l 。长度为1的轮换即是恒等变换，而长度为2的轮换称为对换。分解之后各轮换长度 li 的集合，称为该置换的轮换结构,对换,任意一个轮换总可写成对换的乘积：( ) = ( )( )( )此时各因子有公共粒子，乘积顺序不可交换。所有置换都可以写成一系列对换的乘积。,轮换结构,群论-群论基础-置换群,宇称,因( i, i+j ) = ( i+1, i+j )( i, i+1 )( i+1, i+j )，所以任何对换都可以写成相邻粒子的对换的乘积。故可以将( i, i+1 )，i = 1, 2, , n-1作为置换群的生成元。生成元的取法不是唯一的，也可以将生成元取为( 1, i ) ，i = 2, 3, , n 。,置换可以分解成N个对换的乘积，分解方法不是唯一的。虽然随着取法的不同，N会随着变化，但是N 的奇偶性不变。置换的宇称：N为偶数称为偶置换，N为奇数称为奇置换。,生成元,群论-群论基础-置换群,置换群的共轭类由置换的轮换结构决定，相同的轮换结构属于同一个类设把数字m1变为m2 ，写为m1 = m2 ；则其共轭元素 -1 则把 m1 变为 m2 ：-1(m1) = m2 对于某个轮换因子，若把其中的数字m1变为m2 (顺序轮换)则它的共轭元-1把同一个轮换中的m1变为m2 而且也是一个接一个地顺序轮换：若 = (m1 m2 mi )，则有-1 = (m1 m2 mi )故若用轮换符号表示一个置换元，可以看到-1与 有相同的轮换结构。,3 置换群的共轭类,群论-群论基础-置换群,如： = ( 1 2 4 )( 3 6 )， = ( 2 6 )( 3 4 1 5 )，则 -1 = ( 5 6 1 )( 4 2 )置换群的共轭类由置换的轮换结构决定，具有相同的轮换结构的置换属于同一个类。,轮换结构的确定用如下方式写出轮换形式：用 来表示置换的轮换结构，而且有1+22+mm+nn=n,群论-群论基础-置换群,1+22+mm+nn=n它的每个解确定一个轮换结构也就确定了Sn的一个类。一般采用另一种方式来得到Sn的轮换结构。若令：1 + 2+ n = 1 2 + n = 2n = n则：1+ 2+ n = n其中1 2 n 0上式称为n的一个分割，并用1, 2, n来表示。一个分割1, 2, n唯一地确定一个轮换结构，从而确定Sn的一个类,群论-群论基础-置换群,一个分割1, 2, n唯一地确定一个轮换结构：因：1 - 2 = 12 3 = 2 n = n如S4的共轭类：,群论-群论基础-置换群,Cayley定理：任何群同构于一个对称变换群；任何有限群G同构于一个置换群，即S|G|的一个子群。 设G =g1=e,g2,gn，对gG，可作映射： g 这样就建立了G到置换群之间的一个同构映射。因此对于有限群，我们只需研究Sn及其子群的性质,