计算机算法的动态规划课件.ppt

1,第3章 动态规划,2,学习要点:理解动态规划算法的概念。掌握动态规划算法的基本要素（1）最优子结构性质（2）重叠子问题性质掌握设计动态规划算法的步骤。(1)找出最优解的性质，并刻划其结构特征。(2)递归地定义最优值。(3)以自底向上的方式计算出最优值。(4)根据计算最优值时得到的信息，构造最优解。,第三章.动态规划(Dynamic Programming),适用问题: 具备最优子结构性质和子问题重叠性的最优化问题.,将问题的求解过程化为多步选择或决策的结果,在每一步决策上,列出各种可能的选择(各子问题的可行解),舍去那些肯定不能成为最优解的局部解.最后一步得到的解必是最优解.,问题的整体的最优解中包含着它的子问题的最优解,3.1 基本思想,用以求解最优化问题,算法设计与分析 动态规划,与贪心算法比较:都是将问题的求解过程化为多步决策.区别是:贪心法每采用一次贪心策略便做出唯一决策,求解过程只产生一个决策序列;求解过程为自顶向下,不一定得到最优解.动态规划的求解过程产生多个决策序列, 下一步的选择总是依赖上一步的结果.求解过程多为自底向上.总能得到最优解.,第i+1步问题的求解中包含第i步子问题的最优解,形成递归求解.,串形与树形优化系列,算法设计与分析 动态规划,1).分析最优解的结构.2).给出计算局部最优解值的递归关系.3).自底向上计算局部最优解的值.4).根据最优解的值构造最优解.,常见应用:,0-1背包问题,图像压缩,最短路径,矩阵连乘,作业调度等等.,算法的步骤,注意0-1背包问题不能用贪心算法求解.,优化子问题,最终不取作用的优化子问题,贪心算法,动态规划算法,5,动态规划算法与分治法类似，其基本思想也是将待求解问题分解成若干个子问题,算法总体思想,6,但是经分解得到的子问题往往不是互相独立的。不同子问题的数目常常只有多项式量级。在用分治法求解时，有些子问题被重复计算了许多次。,算法总体思想,7,如果能够保存已解决的子问题的答案，而在需要时再找出已求得的答案，就可以避免大量重复计算，从而得到多项式时间算法。,算法总体思想,T(n),8,（1）单个矩阵是完全加括号的；（2）矩阵连乘积 是完全加括号的，则 可 表示为2个完全加括号的矩阵连乘积 和 的乘积并加括号，即,16000, 10500, 36000, 87500, 34500,完全加括号的矩阵连乘积可递归地定义为：设有四个矩阵 ，它们的维数分别是：总共有五中完全加括号的方式,完全加括号的矩阵连乘积,9,矩阵连乘问题,给定n个矩阵A1,A2,An，其中Ai与Ai+1是可乘的，i=1，2，n-1。如何确定计算矩阵连乘积的计算次序，使得依此次序计算矩阵连乘积需要的数乘次数最少。,穷举法：列举出所有可能的计算次序，并计算出每一种计算次序相应需要的数乘次数，从中找出一种数乘次数最少的计算次序。,算法复杂度分析：对于n个矩阵的连乘积，设其不同的计算次序为P(n)。由于每种加括号方式都可以分解为两个子矩阵的加括号问题：(A1.Ak)(Ak+1An)可以得到关于P(n)的递推式如下：,10,矩阵连乘问题,穷举法动态规划,将矩阵连乘积 简记为Ai:j ，这里ij,考察计算Ai:j的最优计算次序。设这个计算次序在矩阵Ak和Ak+1之间将矩阵链断开，ikj，则其相应完全加括号方式为,计算量：Ai:k的计算量加上Ak+1:j的计算量，再加上Ai:k和Ak+1:j相乘的计算量,11,特征：计算Ai:j的最优次序所包含的计算矩阵子链 Ai:k和Ak+1:j的次序也是最优的。矩阵连乘计算次序问题的最优解包含着其子问题的最优解。这种性质称为最优子结构性质。问题的最优子结构性质是该问题可用动态规划算法求解的显著特征。,分析最优解的结构,12,建立递归关系,设计算Ai:j，1ijn，所需要的最少数乘次数mi,j，则原问题的最优值为m1,n 当i=j时，Ai:j=Ai，因此，mi,i=0，i=1,2,n当ij时，可以递归地定义mi,j为：,这里 的维数为,的位置只有 种可能,13,计算最优值,对于1ijn不同的有序对(i,j)对应于不同的子问题。因此，不同子问题的个数最多只有由此可见，在递归计算时，许多子问题被重复计算多次。这也是该问题可用动态规划算法求解的又一显著特征。用动态规划算法解此问题，可依据其递归式以自底向上的方式进行计算。在计算过程中，保存已解决的子问题答案。每个子问题只计算一次，而在后面需要时只要简单查一下，从而避免大量的重复计算，最终得到多项式时间的算法,void MatrixChain(int p, int n, int * m, int * s) for (int i= 1; i = n; i +) mii =0; for (int r= 2; r = n; r+) /r子链长度 for (int i= 1; i= n-r+l; i+) /i子链开始位置 int j= i+r-1; /j子链结束位置 mij = mi+1j + pi-1 * pi* pj; /初始化 sij = i; /初始化 for(int k = i+1; k j;k+) /循环搜索 int t = mik + mk+1j + pi- 1 * pk * pj; if ( t mij ) mij = t; sij = k; ,算法分析:,T(n)=O(n3),算法设计与分析 动态规划 矩阵乘法链,矩阵乘法链动态规划算法,算法设计与分析 动态规划 矩阵乘法链,s25=3,16,动态规划算法的基本要素,一、最优子结构,矩阵连乘计算次序问题的最优解包含着其子问题的最优解。这种性质称为最优子结构性质。在分析问题的最优子结构性质时，所用的方法具有普遍性：首先假设由问题的最优解导出的子问题的解不是最优的，然后再设法说明在这个假设下可构造出比原问题最优解更好的解，从而导致矛盾。 利用问题的最优子结构性质，以自底向上的方式递归地从子问题的最优解逐步构造出整个问题的最优解。最优子结构是问题能用动态规划算法求解的前提。,同一个问题可以有多种方式刻划它的最优子结构，有些表示方法的求解速度更快（空间占用小，问题的维度低）,17,动态规划算法的基本要素,二、重叠子问题,递归算法求解问题时，每次产生的子问题并不总是新问题，有些子问题被反复计算多次。这种性质称为子问题的重叠性质。动态规划算法，对每一个子问题只解一次，而后将其解保存在一个表格中，当再次需要解此子问题时，只是简单地用常数时间查看一下结果。 通常不同的子问题个数随问题的大小呈多项式增长。因此用动态规划算法只需要多项式时间，从而获得较高的解题效率。,18,动态规划算法的基本要素,三、备忘录方法,备忘录方法的控制结构与直接递归方法的控制结构相同，区别在于备忘录方法为每个解过的子问题建立了备忘录以备需要时查看，避免了相同子问题的重复求解。,int LookupChain(int i，int j) if (mij 0) return mij; if (i = j) return 0; int u = LookupChain(i，i) + LookupChain(i+1，j) + pi-1*pi*pj; sij = i; for (int k = i+1; k j; k+) int t = LookupChain(i，k) + LookupChain(k+1，j) + pi-1*pk*pj; if (t u) u = t; sij = k; mij = u; return u;,19,最长公共子序列,若给定序列X=x1,x2,xm，则另一序列Z=z1,z2,zk，是X的子序列是指存在一个严格递增下标序列i1,i2,ik使得对于所有j=1,2,k有：zj=xij。例如，序列Z=B，C，D，B是序列X=A，B，C，B，D，A，B的子序列，相应的递增下标序列为2，3，5，7。给定2个序列X和Y，当另一序列Z既是X的子序列又是Y的子序列时，称Z是序列X和Y的公共子序列。给定2个序列X=x1,x2,xm和Y=y1,y2,yn，找出X和Y的最长公共子序列。,20,最长公共子序列的结构,设序列X=x1,x2,xm和Y=y1,y2,yn的最长公共子序列为Z=z1,z2,zk ，则(1)若xm=yn，则zk=xm=yn，且zk-1是xm-1和yn-1的最长公共子序列。(2)若xmyn且zkxm，则Z是xm-1和Y的最长公共子序列。(3)若xmyn且zkyn，则Z是X和yn-1的最长公共子序列。,由此可见，2个序列的最长公共子序列包含了这2个序列的前缀的最长公共子序列。因此，最长公共子序列问题具有最优子结构性质。,21,子问题的递归结构,由最长公共子序列问题的最优子结构性质建立子问题最优值的递归关系。用cij记录序列和的最长公共子序列的长度。其中， Xi=x1,x2,xi；Yj=y1,y2,yj。当i=0或j=0时，空序列是Xi和Yj的最长公共子序列。故此时Cij=0。其它情况下，由最优子结构性质可建立递归关系如下：,22,计算最优值,由于在所考虑的子问题空间中，总共有(mn)个不同的子问题，因此，用动态规划算法自底向上地计算最优值能提高算法的效率。,void LCSLength(int m，int n，char *x，char *y，int *c，int *b) int i，j; for (i = 1; i =cij-1) cij=ci-1j; bij=2; else cij=cij-1; bij=3; ,构造最长公共子序列void LCS(int i，int j，char *x，int *b) if (i =0 | j=0) return; if (bij= 1) LCS(i-1，j-1，x，b); coutxi; else if (bij= 2) LCS(i-1，j，x，b); else LCS(i，j-1，x，b);,23,算法的改进,在算法lcsLength和lcs中，可进一步将数组b省去。事实上，数组元素cij的值仅由ci-1j-1，ci-1j和cij-1这3个数组元素的值所确定。对于给定的数组元素cij，可以不借助于数组b而仅借助于c本身在时间内确定cij的值是由ci-1j-1，ci-1j和cij-1中哪一个值所确定的。如果只需要计算最长公共子序列的长度，则算法的空间需求可大大减少。事实上，在计算cij时，只用到数组c的第i行和第i-1行。因此，用2行的数组空间就可以计算出最长公共子序列的长度。进一步的分析还可将空间需求减至O(min(m,n)。,24,凸多边形最优三角剖分,用多边形顶点的逆时针序列表示凸多边形，即P=v0,v1,vn-1表示具有n条边的凸多边形。若vi与vj是多边形上不相邻的2个顶点，则线段vivj称为多边形的一条弦。弦将多边形分割成2个多边形vi,vi+1,vj和vj,vj+1,vi。多边形的三角剖分是将多边形分割成互不相交的三角形的弦的集合T。给定凸多边形P，以及定义在由多边形的边和弦组成的三角形上的权函数w。要求确定该凸多边形的三角剖分，使得即该三角剖分中诸三角形上权之和为最小。,25,三角剖分的结构及其相关问题,一个表达式的完全加括号方式相应于一棵完全二叉树，称为表达式的语法树。例如，完全加括号的矩阵连乘积(A1(A2A3)(A4(A5A6)所相应的语法树如图 (a)所示。凸多边形v0,v1,vn-1的三角剖分也可以用语法树表示。例如，图 (b)中凸多边形的三角剖分可用图 (a)所示的语法树表示。 矩阵连乘积中的每个矩阵Ai对应于凸(n+1)边形中的一条边vi-1vi。三角剖分中的一条弦vivj，ij，对应于矩阵连乘积Ai+1:j。,26,最优子结构性质,凸多边形的最优三角剖分问题有最优子结构性质。事实上，若凸(n+1)边形P=v0,v1,vn的最优三角剖分T包含三角形v0vkvn，1kn-1，则T的权为3个部分权的和：三角形v0vkvn的权，子多边形v0,v1,vk和vk,vk+1,vn的权之和。可以断言，由T所确定的这2个子多边形的三角剖分也是最优的。因为若有v0,v1,vk或vk,vk+1,vn的更小权的三角剖分将导致T不是最优三角剖分的矛盾。,27,最优三角剖分的递归结构,定义tij，1ijn为凸子多边形vi-1,vi,vj的最优三角剖分所对应的权函数值，即其最优值。为方便起见，设退化的多边形vi-1,vi具有权值0。据此定义，要计算的凸(n+1)边形P的最优权值为t1n。tij的值可以利用最优子结构性质递归地计算。当j-i1时，凸子多边形至少有3个顶点。由最优子结构性质，tij的值应为tik的值加上tk+1j的值，再加上三角形vi-1vkvj的权值，其中ikj-1。由于在计算时还不知道k的确切位置，而k的所有可能位置只有j-i个，因此可以在这j-i个位置中选出使tij值达到最小的位置。由此，tij可递归地定义为：,28,多边形游戏,多边形游戏是一个单人玩的游戏，开始时有一个由n个顶点构成的多边形。每个顶点被赋予一个整数值，每条边被赋予一个运算符“+”或“*”。所有边依次用整数从1到n编号。游戏第1步，将一条边删除。随后n-1步按以下方式操作：(1)选择一条边E以及由E连接着的2个顶点V1和V2；(2)用一个新的顶点取代边E以及由E连接着的2个顶点V1和V2。将由顶点V1和V2的整数值通过边E上的运算得到的结果赋予新顶点。最后，所有边都被删除，游戏结束。游戏的得分就是所剩顶点上的整数值。问题:对于给定的多边形，计算最高得分。,29,最优子结构性质,在所给多边形中，从顶点i(1in)开始，长度为j(链中有j个顶点)的顺时针链p(i，j) 可表示为vi，opi+1，vi+j-1。如果这条链的最后一次合并运算在opi+s处发生(1sj-1)，则可在opi+s处将链分割为2个子链p(i，s)和p(i+s，j-s)。设m1是对子链p(i，s)的任意一种合并方式得到的值，而a和b分别是在所有可能的合并中得到的最小值和最大值。m2是p(i+s，j-s)的任意一种合并方式得到的值，而c和d分别是在所有可能的合并中得到的最小值和最大值。依此定义有am1b，cm2d(1)当opi+s=+时，显然有a+cmb+d(2)当opi+s=*时，有minac，ad，bc，bdmmaxac，ad，bc，bd 换句话说，主链的最大值和最小值可由子链的最大值和最小值得到。,例 题,算法设计与分析 动态规划,问题陈述:数字化图像是nn的像素阵列. 假定每个像素有一个0255的灰度值, 因此存储一个像素至多需8位. 为了减少存储空间, 采用变长模式, 即不同像素用不同位数来存储, 步骤如下.,1) 图像线性化:将n n维图像转换为1 n2向量 p1,p2,.pn2,3.7 图像压缩,2) 分段: 将像素分成连续的m段s1,s2,.sm,使每段中的像素存储位数 相同. 每个段是相邻像素的集合且每段最多含256个像素, 若相同 位数的像素超过 256个的话, 则用两个以上段表示。,3) 创建三个表 l: li存放第i段长度, 表中各项均为8位长 B: bi存放第i段中像素的存储位数,表中各项均为3位长. P: p1,.p n2以变长格式存储的像素的二进制串。 设产生了m个段,则存储第i段像素所需要的空间为:li*bi+11 总存储空间为 11m+ li*bi ；,问题要求找到一个最优分段。使存储空间最少,小灰度象素用短位数记录,算法设计与分析 动态规划,8位,3位,bi+1位,li+1个单元,4,3,1101,0101,0101,0100,0111,7,2,110,010,010,100,011,011,011,011,例 题,算法设计与分析 动态规划,分段: 10, 9, 12, 40, 50, 35, 15, 12, 8, 10, 9, 15, 11, 130, 160, 240 L=2，2， 6，2；B=3，5，3，7；/为了用3位能存8,少算一个.计算时加1 P包含16个灰度值，其中头三个各用4位存储，接下来三个各用6位再接下来的七个各用4位，最后三个各用8位存储。 1010 1001 1100 111000 110010 100011 .三个表需要存储空间分别为: L:32位 B:12位 P:82位,例: 考察44图像,灰 度 值 10 9 12 40 50 35 15 12 8 10 9 15 11 130 160 240像素位数 4 4 4 6 6 6 4 4 4 4 4 4 4 8 8 8,10,9,12,40,12,15,35,50,8,10,9,15,240,160,130,11,共需126位。,将段1,2合并，则l=5, 6, 2 ; b=5, 3, 7 ; 合并后P的第一段为001010 001001 001100 111000 110010 100011其余不变.三个表需要存储空间分别为: L:24位 B:9位 P:88位 (共121位。),12+18+28+24,例 题,算法设计与分析 动态规划,si= si-k+ k*bmax(i-k+1,i) +11,1)最优解结构 :设n个像素的最优分段是C, 若在C中,第n像素与 n-1,n-2,.n-k+1像素为一段, 则像素1, 2,.n-k的分段也必是最优的. 最优分段C所需要的空间消耗为: =像素1, 2,.n-k的最优分段空间+k*bmax(n-k+1,n)+11 其中 bmax(a, b)=max ba,., bb ,算法思路: 化为多步决策, 先求有一个像素时的最优分段,再求有2个像素时的最优分段,有3个像素时的最优分段.,3)构造最优解:记ki为si取得最小值时k的值, 可由k的值构造相应 的最优解.,2) 递推关系:令si为前i个像素最优分段的存储位数,则,算法设计与分析 动态规划,#define HEADER=11void Compress(int p, int s, int l, int b) int n=p.length-1; s0=0; for(int i=1; isi-j+j*bmax) si=si-j+j*bmax; li=j; si+=HEADER; ,最后一段:ln,bn倒数第二段:ln-ln,bn-ln,计算复杂性 O(n),/固定循环长度,算法设计与分析 动态规划,38 电路布线 问题陈述:在一块电路板的上、下两端分别有n个接线柱, 要求用导线(i, (i)将上端接线柱i与下端接线柱(i)相连. 对于任何1i(j),在制作电路板时，要求将这n条连线分布到若干个绝缘层上。在同一层上的连线不相交.,电路布线问题就是要确定将哪些连线安排在第一层(优先层)上, 使得该层上有尽可能多的连线。即确定导线集Nets=(i, (i), 1in 的最大不相交子集MNS.,上图中 MNS=(3, 4), (5, 5), (7, 9), (9, 10) ,算法设计与分析 动态规划,1)最优解结构: 设nets(i, j) =(t, (t) | t i; (t) j nets, MNS(i, j)为nets(i, j)的最大不相交子集, 则所求即为MNS(n,n), 且 MNS(i, j) MNS(n,n).,算法思路: 化为多步决策,自底向上,先求出只有一条连线的最大不相交子集,再求有2条连线的最大不相交子集.,例如,MNS(7, 6) = (3, 4) ,(5, 5) , Size (7, 6) =2,MNS(10, 10)=MNS= (3, 4), (5, 5), (7, 9), (9, 10) ,nets(7, 6)= (3, 4), (4, 2), (5, 5), (6, 1) ,算法设计与分析 动态规划,当i=1时, nets(1, j)=(1, (1),MNS(1, j) =,(1,(1) j (1), j (1),(1),j,Size(1,j)=0,Size(1,j)=1,当il时, 若j(i), 则有(i, (i) MNS(i, j),此时MNS(i, j)=MNS(i-1, j), Size(i, j)=Size(i-1, j);,若j(i),则(i,(i)可在也可不在MNS(i, j)中: 若(i, (i) MNS(i, j), 则对任意(t, (t)MNS(i, j), 有ti. 此时MNS(i, j)=MNS(i-1, j), Size(i, j)=Size(i-1, j)。,若j(i),则(i,(i)可在也可不在MNS(i, j)中: 若(i,(i) MNS(i, j), 对(t, (t)MNS(i, j) 有t i; (t) (i) 此时MNS(i, j)=MNS(i-1, ,(i)-1)(i,(i), Size(i, j)= Size(i-1,(i)-1)+1;,算法设计与分析 动态规划,Size(i, j)=,0,1,j (1),j (1),Size(i, j)=,Size(i-1, j),max Size(i-1, j), Size(i-1, (i)-1)+1,j (i),j (i),(2)当il时,(1)当i=1时,当i=1时, nets(1, j)=(1, (1),MNS(1, j) =,(1,(1) j (1), j (1),当il时 1)若j(i), 则有(i, (i) MNS(i, j), 此时MNS(i, j)=MNS(i-1, j), Size(i, j)=Size(i-1, j); 2)若j(i),则(i,(i)可在也可不在MNS(i, j)中: 若(i,(i) MNS(i, j), 对(t, (t)MNS(i, j) 有t i; (t) (i) 此时MNS(i, j)=MNS(i-1, j-1)(i,(i), Size(i, j)= Size(i-1,(i)-1)+1; 若(i, (i) MNS(i, j), 则对任意(t, (t)MNS(i, j), 有ti. 此时MNS(i, j)=MNS(i-1, j), Size(i, j)=Size(i-1, j)。,2. 递归计算,MNS(i, j) MNS(n,n).,算法设计与分析 动态规划,void MNS(int C，int n，int *size)/初始化size1*for(int j=0；jCl；j+) sizel j=0；for(j=C1；j=n ; j+) size1j=1；/计算sizei*，1infor(int i=2；in；i+) for(int j=0；jCi；j+) sizeij=sizei-1j； for(j=Ci；i=n：j+) sizeij=max(sizei-1j，sizei-1Ci-1+1)； sizenn=max(sizen-1n，sizen-1Cn-1)+1)； ,voidTraceback(int C, int*size, int n, int Net, int &m) /在Net0:m-1)中返回MNS int j=n；/所允许的底部最大编号 m=0； /连线的游标 for(int i=n；i1；i-) /i号net在MNS中? if (sizeij!=sizei-1j /在MNS中 Netm+=i； j=Ci-1；/Ci已使用 /1号网组在MNS中? if (j=C1) Netm+=1；/在MNS中,算法复杂性:,(n2),求最大无交叉子集算法,算法设计与分析 动态规划,9-10,7-9,5-5,3-4,MNS包含4条边,按i, j 的倒序搜索,在数字增加处即是边号.,43,流水作业调度,n个作业1，2，n要在由2台机器M1和M2组成的流水线上完成加工。每个作业加工的顺序都是先在M1上加工，然后在M2上加工。M1和M2加工作业i所需的时间分别为ai和bi。流水作业调度问题要求确定这n个作业的最优加工顺序，使得从第一个作业在机器M1上开始加工，到最后一个作业在机器M2上加工完成所需的时间最少。,分析：直观上，一个最优调度应使机器M1没有空闲时间，且机器M2的空闲时间最少。在一般情况下，机器M2上会有机器空闲和作业积压2种情况。设全部作业的集合为N=1，2，n。SN是N的作业子集。在一般情况下，机器M1开始加工S中作业时，机器M2还在加工其它作业，要等时间t后才可利用。将这种情况下完成S中作业所需的最短时间记为T(S,t)。流水作业调度问题的最优值为T(N,0)。,44,流水作业调度,设是所给n个流水作业的一个最优调度，它所需的加工时间为 a(1)+T。其中T是在机器M2的等待时间为b(1)时，安排作业(2)，(n)所需的时间。记S=N-(1)，则有T=T(S,b(1)。,证明：事实上，由T的定义知TT(S,b(1)。若TT(S,b(1)，设是作业集S在机器M2的等待时间为b(1)情况下的一个最优调度。则(1)， (2)， (n)是N的一个调度，且该调度所需的时间为a(1)+T(S,b(1)a(1)+T。这与是N的最优调度矛盾。故TT(S,b(1)。从而T=T(S,b(1)。这就证明了流水作业调度问题具有最优子结构的性质。,由流水作业调度问题的最优子结构性质可知，,45,Johnson不等式,对递归式的深入分析表明，算法可进一步得到简化。设是作业集S在机器M2的等待时间为t时的任一最优调度。若(1)=i, (2)=j。则由动态规划递归式可得:T(S,t)=ai+T(S-i,bi+maxt-ai,0)=ai+aj+T(S-i,j,tij)其中，,如果作业i和j满足minbi,ajminbj,ai，则称作业i和j满足Johnson不等式。,46,流水作业调度的Johnson法则,交换作业i和作业j的加工顺序，得到作业集S的另一调度，它所需的加工时间为T(S,t)=ai+aj+T(S-i,j,tji)其中，当作业i和j满足Johnson不等式时，有由此可见当作业i和作业j不满足Johnson不等式时，交换它们的加工顺序后，不增加加工时间。对于流水作业调度问题，必存在最优调度 ，使得作业(i)和(i+1)满足Johnson不等式。进一步还可以证明，调度满足Johnson法则当且仅当对任意ij有由此可知，所有满足Johnson法则的调度均为最优调度。,47,算法描述,流水作业调度问题的Johnson算法(1)令(2)将N1中作业依ai的非减序排序；将N2中作业依bi的非增序排序；(3)N1中作业接N2中作业构成满足Johnson法则的最优调度。,算法复杂度分析：算法的主要计算时间花在对作业集的排序。因此，在最坏情况下算法所需的计算时间为O(nlogn)。所需的空间为O(n)。,48,0-1背包问题,给定n种物品和一背包。物品i的重量是wi，其价值为vi，背包的容量为C。问应如何选择装入背包的物品，使得装入背包中物品的总价值最大?0-1背包问题是一个特殊的整数规划问题。,49,0-1背包问题,设所给0-1背包问题的子问题,的最优值为m(i，j)，即m(i，j)是背包容量为j，可选择物品为i，i+1，n时0-1背包问题的最优值。由0-1背包问题的最优子结构性质，可以建立计算m(i，j)的递归式如下。,算法复杂度分析：从m(i，j)的递归式容易看出，算法需要O(nc)计算时间。当背包容量c很大时，算法需要的计算时间较多。例如，当c2n时，算法需要(n2n)计算时间。,50,算法改进,由m(i,j)的递归式容易证明，在一般情况下，对每一个确定的i(1in)，函数m(i,j)是关于变量j的阶梯状单调不减函数。跳跃点是这一类函数的描述特征。在一般情况下，函数m(i,j)由其全部跳跃点唯一确定。如图所示。,对每一个确定的i(1in)，用一个表pi存储函数m(i，j)的全部跳跃点。表pi可依计算m(i，j)的递归式递归地由表pi+1计算，初始时pn+1=(0，0)。,51,一个例子,n=3，c=6，w=4，3，2，v=5，2，1。,52,函数m(i,j)是由函数m(i+1,j)与函数m(i+1,j-wi)+vi作max运算得到的。因此，函数m(i,j)的全部跳跃点包含于函数m(i+1，j)的跳跃点集pi+1与函数m(i+1，j-wi)+vi的跳跃点集qi+1的并集中。易知，(s,t)qi+1当且仅当wisc且(s-wi,t-vi)pi+1。因此，容易由pi+1确定跳跃点集qi+1如下qi+1=pi+1(wi,vi)=(j+wi,m(i,j)+vi)|(j,m(i,j)pi+1 另一方面，设(a，b)和(c，d)是pi+1qi+1中的2个跳跃点，则当ca且db时，(c，d)受控于(a，b)，从而(c，d)不是pi中的跳跃点。除受控跳跃点外，pi+1qi+1中的其它跳跃点均为pi中的跳跃点。由此可见，在递归地由表pi+1计算表pi时，可先由pi+1计算出qi+1，然后合并表pi+1和表qi+1，并清除其中的受控跳跃点得到表pi。,算法改进,53,一个例子,n=5，c=10，w=2，2，6，5，4，v=6，3，5，4，6。,初始时p6=(0,0)，(w5,v5)=(4,6)。因此，q6=p6(w5,v5)=(4,6)。p5=(0,0),(4,6)。q5=p5(w4,v4)=(5,4),(9,10)。从跳跃点集p5与q5的并集p5q5=(0,0),(4,6),(5,4),(9,10)中看到跳跃点(5,4)受控于跳跃点(4,6)。将受控跳跃点(5,4)清除后，得到p4=(0,0),(4,6),(9,10)q4=p4(6，5)=(6，5)，(10，11)p3=(0，0)，(4，6)，(9，10)，(10，11)q3=p3(2，3)=(2，3)，(6，9)p2=(0，0)，(2，3)，(4，6)，(6，9)，(9，10)，(10，11)q2=p2(2，6)=(2，6)，(4，9)，(6，12)，(8，15)p1=(0，0)，(2，6)，(4，9)，(6，12)，(8，15)p1的最后的那个跳跃点(8,15)给出所求的最优值为m(1,c)=15。,54,上述算法的主要计算量在于计算跳跃点集pi(1in)。由于qi+1=pi+1(wi，vi)，故计算qi+1需要O(|pi+1|)计算时间。合并pi+1和qi+1并清除受控跳跃点也需要O(|pi+1|)计算时间。从跳跃点集pi的定义可以看出，pi中的跳跃点相应于xi,xn的0/1赋值。因此，pi中跳跃点个数不超过2n-i+1。由此可见，算法计算跳跃点集pi所花费的计算时间为从而，改进后算法的计算时间复杂性为O(2n)。当所给物品的重量wi(1in)是整数时，|pi|c+1，(1in)。在这种情况下，改进后算法的计算时间复杂性为O(minnc,2n)。,算法复杂度分析,55,最优二叉搜索树,二叉搜索树,（1）若它的左子树不空，则左子树上所有节点的值均小于它的根节点的值；（2）若它的右子树不空，则右子树上所有节点的值均大于它的根节点的值；（3 它的左、右子树也分别为二叉排序树,在随机的情况下，二叉查找树的平均查找长度和 是等数量级的,56,搜索成功与不成功的概率二搜索树的期望耗费有 个节点的二叉树的个数为：穷举搜索法的时间复杂度为指数级,二叉搜索树的期望耗费,57,二叉搜索树的期望耗费示例,58,最优二叉搜索树,最优二叉搜索树Tij的平均路长为pij，则所求的最优值为p1,n。由最优二叉搜索树问题的最优子结构性质可建立计算pij的递归式如下记wi,jpi,j为m(i,j)，则m(1,n)=w1,np1,n=p1,n为所求的最优值。计算m(i,j)的递归式为注意到，可以得到O(n2)的算法,动态规划总结,适用问题: 具备最优子结构性质和子问题重叠性的最优化问题.,将问题的求解过程化为多步选择或决策的结果,在每一步决策上,列出各种可能的选择(各子问题的可行解),舍去那些肯定不能成为最优解的局部解.最后一步得到的解必是最优解.,问题的整体的最优解中包含着它的子问题的最优解,用以求解最优化问题,算法设计与分析 动态规划,动态规划的求解过程产生多个决策序列, 下一步的选择总是依赖上一步的结果.求解过程多为自底向上.总能得到最优解.,第i+1步问题的求解中包含第i步子问题的最优解,形成递归求解.,一般不采用递归调用编程方法实现,而采用自底向上的循环实现方法,这样前面求出的子问题的解可以反复(重复)使用,节省计算.,