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第5章 哈密顿力学,5-1 哈密顿原理5-2 哈密顿函数5-3 正则方程5-4 正则变换,拉格朗日表述,拉格朗日函数,完整,理想,保守系,系统特性函数,广义坐标(s个),独立变量(运动学),广义坐标广义速度,独立变量(动力学),运动方程是广义坐标的二阶微分方程组,拉格朗日变量,哈密顿表述,哈密顿函数,完整,理想,保守系,系统特性函数,独立变量,广义坐标广义动量(共 2s 个),推广至统计力学和量子力学,运动方程是广义坐标和广义动量的一阶微分方程组(共 2s 个),哈密顿正则变量,哈密顿力学,可进行更广泛的“坐标”变换,从哈密顿原理出发, 也完全可以导出拉格朗日方程和正则方程, 并建立整个分析力学的体系.,自然界的许多物理现象服从某些极值原理，这些取极值的运算方法属于数学中的变分方法，因此首先了解数学上的泛函和变分问题.,从动力学普遍方程出发得到拉格朗日方程, 实际上还是以牛顿定理为基础的, 是一种与牛顿力学完全等价的表达方式.,哈密顿原理是更普遍的原理 ，这种方法具有公理性的特点，这也说明科学的统一和和谐.,5-1 哈密顿原理,一. 变分问题的欧勒方程,二. “最小”作用原理,三. 哈密顿原理,下面应用哈密顿原理导出拉格朗日方程，假设系统为完整保守力系，拉格朗日函数可以形式地假设为,哈密顿原理在理论上具有特别重要的意义, 它是建立在描述体系运动总体效果-积分形式的基础之上，与采用什么样的广义坐标（坐标系）无关，因此只要适当引进拉格朗日函数（对相互作用需要建立模型得到势函数或力函数，进而得到拉格朗日函数）,就容易推广应用拉格朗日方程和正则方程,并建立整个分析力学的体系.,三. 哈密顿原理的意义,哈密顿原理在解决实际问题时并没有什么优势.,哈密顿原理是作为公理提出的, 是基于这样一种信念：大自然总是使某些重要的物理量取极值，当然它的正确性最终由原理演绎出的推论在实践中检验而得到证实。,1. 背景,通过拉格朗日方程很容易得到体系的运动方程，但求解难度各不相同，即使对同一问题由于广义坐标的不同选择，将导致求解难度大不相同。,5-2 广义动量和相空间,如果方程出现循环坐标，求解容易得多。循环坐标的本质是系统的一种对称性，而对称性一般要通过变换来发现，因为它就是一种变换不变性。如果能够找到尽量多的变换不变性就能发现更多的对称性，这不仅有利于求解，也是对系统的本质特征进行把握的理论上的要求所在。,另外，不论拉氏方程还是牛顿方程，都有一个共同的不足之处，就是没有充分表达出 在因果关系上的独立性。作为初始条件， 总是可以独立给定的，可是在方程中 是作为q的衍生变数出现的，然而由于运动中的每个时刻都可以取代“初始时刻”，这种方程中的主从关系显然是对现实的一种扭曲表达。,如何进一步发展拉氏方程，使之更容易呈现其内在的对称性，自然成为人们的焦点。,因果关系和二阶方程的不协调还导致位形空间缺乏几何物理内涵：位形空间中两个相距很近的点，甚至同一点，可以在物理上极不相同（因为广义速度不同，动量和能量等就可以有任意大的差别）。,这样，所有的分析都指向一点：将方程降阶，这看起来简单，但是难点在于保持新方程组的对称性。哈密顿方程组（正则方程）不仅使理论结构更加严谨，而且在进行实际计算上办法更多(当然不是针对几个简单的便于积分的演示例子)。,定义广义动量,由q 和 p 组成的空间称作相空间, 因而相空间是2s维空间, q 和 p称作共轭变量,利用广义动量来代替广义速度描述物体运动状态更具有普遍物理意义。,2. 广义动量,3. 哈密顿函数,在拉格朗日力学中曾定义:,但那里 H 是作为 L 在不显含 t 时的能量积分（守恒量）引进的。现在进一步地把 H 定义为(选择广义坐标和广义动量作为独立变量)系统的特性函数-哈密顿函数,注意只有在把广义速度换成广义动量后, H 才能被称为哈密顿函数，就物理意义来讲它是能量的含义，特别是作为系统力学信息的集中载体而称之为哈密顿量。,*4. 勒让德变换,旧系统,新系统,勒让德变换,假定由 F 对 ui 的二阶偏微商组成的行列式不等于零, 这时才可以解出 ui 作为 vi 的函数,拉格朗日函数,哈密顿函数,可以看出从拉格朗日函数到哈密顿函数,也可以通过一个勒让德变换实现,勒让德变换,5-3 正则方程,统计物理、电动力学和量子力学等理论物理学科中对力学的描述更多的是采用哈密顿正则方程的形式。,根据哈密顿函数的定义,1.从拉格朗日方程到正则方程,比较上述二式, 由于都是 dq 和 dp 独立的, 于是有:,另外根据哈密顿函数是 q , p ,t 的函数:,哈密顿正则方程,这是2s个一阶常微分方程的方程组, 结合初始条件求解, 从而完全确定力学系的运动状态。,形式优美、简洁对称！,同时由上面的推导还可得到：,*2. 由哈密顿原理导出正则方程,4. 能量积分,与拉氏方法一样，哈密顿方法同样存在一些守恒量，如能量,若H不中不显含t ：,H中不显含t，表明体系具有时间上的均匀性, 能量守恒. 根据约束稳定与否分别讨论。,(a) 稳定约束,(b) 不稳定约束,5. 循环坐标,如果 H =H（q1，qs；p1，ps；t）中不显含某个qi 或某个pi ，则该广义坐标或广义动量称为循环坐标，因为根据哈密顿正则方程，与循环坐标对应的共轭变量为守恒量：,qi=const ，pi为循环坐标,i =const，qi为循环坐标,实际上，拉格朗日函数的守恒量和哈密顿函数的守恒量具有密切关系:如果拉格朗日函数不显含t或有循环坐标qi,哈密顿函数也同样有.,但二者也有区别: 拉格朗日函数的的循环坐标对应一个广义动量守恒,体系自由度 s 不变; 而哈密顿函数的的循环坐标导致其共轭广义动量为常数,因而减少一对独立变量,自由度减少 s s-1，即真正的可遗坐标。,对于简单问题, 应用正则方程可能没有优势; 但正则方程具有理论的普适性，并且适合数值计算。,进一步思考,正则方程似乎表明: 只要写出系统哈密顿函数H, 就可以通过简单的积分方法就能完全确定力学系统的运动状态(所谓经典力学确定论);,但我们也应该看到, 对一些系统写出H有困难, 即使给出也不一定可以积分, 对那些不可积系统, 可能出现随机混沌现象;,*6. 泊松括号,前面讲过运用正则方程可由循环坐标很容易求出初积分，下面介绍的泊松定理可以借助两个运动积分求出新的运动积分,设体系的某一力学量 是广义坐标和广义动量的函数,上式说明: 力学量 F 对时间的导数与哈密顿函数H有密切的关系,如果力学量 F 守恒的充要条件是:,更进一步, 如果力学量 F 不显含时间,并且与哈密顿函数的泊松括号为零,则该力学量就是一个运动的守恒量,注意在上式中广义坐标和广义动量是体系的独立(正则)变量,与时间 t 也是相互独立的.,哈密顿正则方程也可以写成泊松括号表示的形式:,此方程具有更明显的对称性, 而且和量子力学的运动方程形式一致.,定义任意两个力学量F和G的泊松括号:,正则变量满足:,泊松定理: 若F和G分别是正则方程的初积分(守恒量),则F,G 也是正则方程的初积分(可能是新的).,解: 体系为自由质点，无约束, 自由度数s3, 选择球坐标系(即为本题的广义坐标),7. 应用举例,例1 在球坐标系写出一个自由质点在势场 中的哈密顿函数H,根据哈密顿函数的定义：,对自由质点, 无约束(稳定), H即可通过机械能表达：,例2 见教材例题6.10 （pp211-213）,方法一（拉格朗日方法）:,如图所示，小球和小环构成的体系，只要两个独立参量即可确定体系的位置，所以自由度数s2, 建立固定坐标系，选择（x, ）为广义坐标。体系满足保守，完整和理想约束条件。,坐标变换方程：,运动微分方程,最后得到关于的运动微分方程,方法二（哈密顿方法）:,体系的拉氏函数为：,广义动量为：,反解出：,根据正则方程：,对于完整保守，理想，稳定约束体系，哈密顿函数为,这说明广义坐标 x 是循环坐标，x 方向动量守恒（初始静止）。,与拉氏方法得到的方程相同，显然对于简单力学系统，采用正则方程，如果不能直接求解，而是把它转化为广义坐标的二阶微分方程求解的话，远不如直接根据牛顿方法或拉氏方法得到该方程来得简单。,*例3 应用哈密顿正则方程求核外电子的运动规律。设电子的电量为e，原子核带电为Ze，Z为原子序数,采用球坐标为广义坐标, 电子受到核的库仑力作用, 是保守力, 可以用势函数表示:,同前题, 无约束(稳定), H可以表示为:,根据哈密顿正则方程可以得到运动方程:,以上就是根据哈密顿正则方程得到的电子在核力场中的(共六个)运动方程, 对此问题其求解并不简单, 但在更复杂的问题中可显示其优势.,可见电子的运动与 无关，故可知电子在一平面内运动, 正如所料, 因电子受有心力, 可令此平面为 的平面，则 。,由上述方程变换可得:,最终得到电子在平面内的运动方程(同以前的二维结果)为:,在上面的例子中(包括行星的开普勒运动, 带电粒子在静电库仑场中的运动等), 都可看作是自由粒子在有心力场中的运动, 容易根据角动量定理证明是平面运动, 自由度最多为 2 , 因此可以直接选择二维极坐标系就可完全描述:,势场：,*5-4 正则变换,1.正则变换,若 H =H（q1，qs；p1，ps；t）中不显含某个qi 或pi，即qi ，pi为循环坐标，对应的共轭变量pi ，qi是守恒量,循环坐标的有无与广义坐标的选取有关,正则变换的目的就是通过坐标变换发现更多的循环坐标,正则变换说明作为独立变量的“坐标”和“动量” 有着同等的地位,并且其选择具有更大的自由,因而力学表述更抽象。,正则方程还提供另外一种解决问题的方式: 通过正则变换寻找更多的哈密顿函数的循环坐标,这完全是可能的, 因为我们使用了更多的变量。,2.正则变换的条件,能够保持正则方程形式不变的相空间的坐标变换,即要求变换后的新变量仍是力学系的正则变量,这样的坐标变换方法称为正则变换,F是变换的生成函数,它一般是t以及q,p,Q,P中2s个独立变量的任意函数,因此我们有一定的自由度选择生成函数。,3.哈密顿雅可比方程,假如能够找到使新的哈密顿函数 H=0 的正则变换,从而简化正则方程的求解,这里cj,dj是由初始条件决定的2s个常数,这样的正则变换是存在的,它的生成(母)函数满足哈密顿雅可比方程,4.刘维定理,定义代表 保守力学体系在 2s 维相宇中代表点的密度, 则有,即保守力学体系在相宇中代表点的密度在运动过程中保持不变,