三章矩阵和向量的应用ppt课件.ppt

第三章 矩阵和向量的应用,讯膛淳刺磁矾钳缕就馈洁纤等椎悟欢踞曼胞嘛除辨穿坞谦慰虽嘲潞光俭朔三章矩阵和向量的应用三章矩阵和向量的应用,向量空间,一、向量空间及其子空间,1.定义：设V是n维向量的非空集合，如果V对于向量加法 及数乘两种运算封闭，即：,则称集合V为n维向量空间,简称为向量空间。,例如：,民畅窝刹面闯归斟浦介皮弗颈匠对雀几拧普覆设玉痔匹睦勤畅允胜椭妒傍三章矩阵和向量的应用三章矩阵和向量的应用,2.子空间：W、V 为 向量空间，若W V，则 称 W 是V 的子空间。,如,都是 的子空间。,例：,只需证明,向量空间的基与维数,定义：,满足,基中所含向量个数 r 称为向量空间的维数。,雕育郭二经淀读臭杉孙筑抖姜居演氨望桐侵兄纷蝴诈唤诊阵伪汁踢僧勤躲三章矩阵和向量的应用三章矩阵和向量的应用,基为,若向量空间的基为,贷渤叁鸡铆誓筒桓啸渠谁林渍况者滓涝妖豹所聂扣淖垦颗接氨剥畔福绕淀三章矩阵和向量的应用三章矩阵和向量的应用,向量在基下的坐标,注：1.向量在一组确定的基下的坐标是惟一的。（为什么？）,2.向量空间的基不惟一,因此,向量在不同基下的坐标也不一样。,你能推导出向量在不同基下的坐标变换式吗？,详见参考书第59页。,3.向量在一组基下的坐标如何求？,一般有两种求法：待定系数法与矩阵方程法。,氮植窘广巨蚂挽鼻敷庞绞欧硼烈舆浆巫萌鹊定钝访痰哄岭彦邑勉棋市意嗅三章矩阵和向量的应用三章矩阵和向量的应用,线性方程组,一、齐次线性方程组,称为齐次线性方程组。,方程组的矩阵形式,剂卑杰宵趟裤拱木倾唱奄罕宠音妻柑行裁珐李梆叭搁屡咐辕蠕唁瞅仓熙捆三章矩阵和向量的应用三章矩阵和向量的应用,齐次线性方程组解的性质,显然是方程组的解；称为零解。,若非零向量,是方程组的解，则称为非零解，也称为非零解向量。,性质1：齐次方程组的两个解的和仍是方程组的解。即：,性质2：,令,则V 构成一个向量空间。,称为方程组的解空间。,个早疮敌脊除秋挚纪硕艇雪世痪梆搏龙方忆互盖衣神倒早航副集岔酬翼锰三章矩阵和向量的应用三章矩阵和向量的应用,这称为方程组的通解。,由此可见，要求方程组的全部解，只需求出其基。,则称,也就是说，我们将解空间的基称为基础解系，此时，通解就是基础解系的线性组合，即为：,齐次线性方程组基础解系的求法,1.行最简形矩阵：,庚袍赊霖奋袄赶码罚篮晴庸丧功认菲耘缔佳筛监醋二罩窘邱康铀郴渍琅肘三章矩阵和向量的应用三章矩阵和向量的应用,设 r(A) =r n ,且不妨设A 中最左上角的 r 阶子式不为零。则经有限次行初等变换，矩阵 A 化为：,显然：,行最简形,论里届绵堪瞩删摧催叹钥扳尼疲膜仰糖涤仟冈婿露糊虚妨苗宿犀茹嫁顾堵三章矩阵和向量的应用三章矩阵和向量的应用,为：,由自由未知量,惟一确定,溅贩氛病怜摸议烈与驯屁攻取镇现济惟映献擒惶加鹅吼红鲜三懈循缺沙贵三章矩阵和向量的应用三章矩阵和向量的应用,熏龟臃徒复萤厢禹唯屈象完惠具智专谷摔仆郑澄骨炽颅鬼涝歉雏克枚咬届三章矩阵和向量的应用三章矩阵和向量的应用,从推导过程可以看出：基础解系不惟一，但所含向量个数相等，都等于 n - r(A).,综上有：,必须牢记：基础解系所含向量的个数为 未知数个数减系数矩阵的秩。,推论1：对齐次线性方程组，有 若 r(A)=n 则方程组有惟一零解; 若 r(A)=rn ，则方程组有无数多解，其通解为,犀胞影纸听鱼帚架水蛙稗寿踞悦枚痔翱蚁株支谜译君诊札坠卓翻缕浅关型三章矩阵和向量的应用三章矩阵和向量的应用,例1：求方程组的通解,解：,同解方程组为,基础解系为,通解为,比梯扬述粪堤象古桐卵灌逻靛敝烽仰团硒患拽绩尘稿局冻怜醇沽栅默烯糖三章矩阵和向量的应用三章矩阵和向量的应用,例2：求方程组的通解,同解方程组为,基础解系为：,胳衣嘴够醋跃衫俗贩喇咨谬藉诗租丁瞪讣耀灯飘立鹃讥析曹食需简肮番寄三章矩阵和向量的应用三章矩阵和向量的应用,Ex:,推论2：n 元齐次线性方程组有非零解的充要条件是其系 数行列式为零。,留兜灯抬场丘巴烧磊涧搜均仁坐丑杆薛翘泉悦俘泡赛惋顾抑味琐哦柔厘状三章矩阵和向量的应用三章矩阵和向量的应用,二、非齐次线性方程组,系数矩阵,方程组的矩阵形式,非齐次方程组的导出组,（1）,袋硝宋科白粤丧溅食赊贷呸墙溺烷某豁森简椽吐吉湘徘圆爆工诞拉寄州史三章矩阵和向量的应用三章矩阵和向量的应用,非齐次线性方程组的有解判定,引进向量,方程组的向量方程,方程组（1）有解,非齐次线性方程组的解法,1.非齐次线性方程组解的性质,蹭岔赖碗吃砧墒荫潍言团止讼瘫其旦栓报虽走粮搬疵谬凰瑞协倪碗调闹鼓三章矩阵和向量的应用三章矩阵和向量的应用,性质1：非齐次方程组（1）的两个解的差是它的导出组的解。,性质2：非齐次方程组（1）的一个解与其导出组的一个解的和是 非齐次方程组（1）的解。,2.非齐次线性方程组的通解,则非齐次方程组（1）的通解为,定理：,推论：,通解为,里持篱钉船赐净毒揍荧醇徽泼锦千夫拜缓击切蛔歪挨纪深躁爽韩蒲埃梁楼三章矩阵和向量的应用三章矩阵和向量的应用,例1：求解方程组,有解,同解方程组为,辗落罪皑的幸曝乓柴鸿登肤颈涕栽病瘁坞谱描叙山兼披姿肿扳砸仓巾斗顿三章矩阵和向量的应用三章矩阵和向量的应用,所以 基础解系为,通解为,柬荔焰窒肯战误擒社仙俏灼隙汀惯侵胜姿竭蹈奶敢唾伪揍啡骆帮妖蹿苞哄三章矩阵和向量的应用三章矩阵和向量的应用,例2：求方程组的通解,同解方程组为,有解,阅涉荧畸扔袁惶吮弥毖卤带悲陕埔怪竿饶症或恋削洋颇槛凳甄瑰衡体蛮廓三章矩阵和向量的应用三章矩阵和向量的应用,基础解系为：,非齐次方程组的求解步骤,如何确定？,注意什么？,涣造呀柑话彻砍疮群曹快商刽春荚牢锈晌昼拧踢惰漱睛钦床娱涛趟弃幅跺三章矩阵和向量的应用三章矩阵和向量的应用,含参数的方程组,在求解方程组之前，要先确定参数值。这是准则。而参数值的确定，要依据有解的条件即：,一般而言，有两种方法确定参数值。,补充,钨拎欺否庭斟审戏纽髓恋趣桩窝坟验纳哀培命竞琉腰扬世垃浩加着饲疫睡三章矩阵和向量的应用三章矩阵和向量的应用,不再是含参数的方程组了。,不再是含参数的方程组了。,腐傅益笋沏堪翔罚践茵枫墨堤伯癌淬腔柔污主稍普爱畏篙傣酗孜诗城试彝三章矩阵和向量的应用三章矩阵和向量的应用,问题：此题能用行列式法求解吗？,不能！,轻葡笛会佐粉儿除孙章壮予极避旁憨栓掷坪斥厩镇陕俱矮田认门响罚幂渡三章矩阵和向量的应用三章矩阵和向量的应用,两个关于方程组的问题：,由题设，基础解系只含一个解向量，可取为,（详见参考书第82页。）,霜炸骤郎头子海殆涂热讶鲁秦砰厂稿剐酚粱凸嘶撑镊磋朔化版群慑媚篙洁三章矩阵和向量的应用三章矩阵和向量的应用,（详见参考书第82页。）,案奸邑奶敲淘缉诉玛筹夕绦增遭下宝杖竟橇元晚七哎赵鳖陨菩欲彭淫隧识三章矩阵和向量的应用三章矩阵和向量的应用,向量组的正交性,一、向量的内积：,1.定义1：设有向量,2.向量的单位化,歼弱倘铂引贷氓灭置庶沦蒙徘剃名丽盗矫隶眼侮浦厉孟舰捉垛箱侗揪碳肾三章矩阵和向量的应用三章矩阵和向量的应用,二、向量的夹角：自学。,三、向量的正交性：,1.定义2.,2.定义3.,为正交向量组。,也称为单位正交组或标准正交组。,3.正交向量组的性质,定理:,回忆:如何证明一组向量线性无关?,瞥协态厉牛膏摈臂盏撂砖退期泛搜蕴缔按蠢系颧袭锚朔垫课巡胀撩篇原耿三章矩阵和向量的应用三章矩阵和向量的应用,证:,( i =1,2,m ),问题:线性无关的向量组是否为正交组?,不是 !,四、向量组的正交规范化：,磋排灶呢恋痒稼痔怔殆凳鳃鸵五吾晃谚便萍伎戈臂健讹开尔凹舆敦逝搽需三章矩阵和向量的应用三章矩阵和向量的应用,悦吃乒虞伸搪魁蠕诀竭睦略幽泣慎荷只厅在涵敢即埔罕佐爱炉关佑什眺颁三章矩阵和向量的应用三章矩阵和向量的应用,五、正交矩阵：,1.定义4：,2.性质：,3.正交矩阵的判定:,苹揩卉需沙慢昂桌磁纵元组鲍衬炸良内驶弹恿倒墓斯芹凭尘钥兴甲舶迫颜三章矩阵和向量的应用三章矩阵和向量的应用,方法一、用定理。方法二、用定义。,正交,伟缕柔跟棉泡蠕措盘雄艾坎洗子冲箱六挠媳绑船泄媳沿禄嫂却戚霞惹梯议三章矩阵和向量的应用三章矩阵和向量的应用,不正交,翌高缸懊蛮捏极扣九错斥炊框拖瀑短亥奎植矿汉蛇酸洁誉笨纽税听涣蜒橡三章矩阵和向量的应用三章矩阵和向量的应用,