09年苏北数模_企业事故管理能力形成机制问题.docx

2009年“百年矿大杯”第六届苏北数学建模联赛承 诺 书我们仔细阅读了第六届苏北数学建模联赛的竞赛规则。我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与本队以外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们愿意承担由此引起的一切后果。我们的参赛报名号为： 1452参赛组别（本科或专科）： 本科参赛队员 (签名) ：队员1：队员2：队员3：获奖证书邮寄地址：武汉大学工学部2舍602# 曾正（收） 430072132009年“百年矿大杯”第六届苏北数学建模联赛编 号 专 用 页参赛队伍的参赛号码：（请各个参赛队提前填写好）：1452竞赛统一编号（由竞赛组委会送至评委团前编号）：竞赛评阅编号（由竞赛评委团评阅前进行编号）：2009年“百年矿大杯”第六届苏北数学建模联赛 题 目 企业事故管理能力形成机制问题摘要 针对企业事故管理能力的形成机制问题进行了研究。企业事故管理机制的形成受到外部机制、企业内部转换机制和时间机制的影响。分析了所给数据的两个异常值产生的原因。为了方便建模，利用极大极小值法对数据进行了归一化。首先，建立了动力转换机制与外部机制之间响应的常微分方程数学模型，通过非线性最小二乘辨识得到了模型的参数。模型的数值检验表明所建立的模型是有效的。其次，建立了外部机制、时间与事故管理能力之间的常微分方程数学模型。利用非线性最小二乘得到了模型参数。对模型做灵敏度分析后，发现对事故管理能力形成起主要作用的是外部机制。然后，综合考虑企业外部机制、转换机制、时间等因素建立了事关管理能力形成的常微分方程组模型。针对该模型给出了详细的阐释，讨论了模型平衡点的稳定性，参数摄动和在脉冲调节或阶跃调节下系统的动态响应情况。对灵敏度分析发现，影响事故管理能力形成最重要的因素是外部机制。最后，结合模型和求解结果针对如何持续增强事故管理能力、减少事故发生和死亡率，提出了一些政策建议。结合本文提出的模型，若再建立一个风险预警机制即可形成一套完善的提升事故管理能力的预案。为了适应仿真可持续性和可重复性的需要，建立了GUI界面。在该界面内，可以考虑模型参数的各种交互摄动情况。同时，还可以考虑调节的形式和强弱。此外，还给出模型的客观评价和进一步工作的展望。关键字：事故管理能力；常微分方程模型；非线性最小二乘；灵敏度分析；参数摄动；稳定性分析；调控分析；GUI企业事故管理能力形成机制问题1 问题重述企业事故管理能力是指企业预防事故发生和事故发生后如何处理的能力。这种能力的形成需要企业外部的压力、激励机制和企业内部的动力转换机制来加以保证，同时还受时间因素的约束。企业事故管理能力的形成表现就是在一定时期中单位生产量的事故数及伤亡人数的变动。判别转换机制是否启动并发挥作用的主要指标是企业事故管理的经费投入数量，以及是否采用了公认、规范的事故管理体系。能力形成机制的启动与管理能力的形成与提高在时间上具有连续性与滞后性。现研究以下问题：1.请建立一个描述动力转换机制对外部压力与激励机制响应的数学模型，并通过数值试验检验模型的有效性。2.请在外部机制、时间与事故管理能力之间建立适当的数学模型，考察外部机制、时间对事故管理能力的影响，找出影响事故管理能力形成的主要因素。3.请综合考虑企业外部机制、转换机制、时间等影响企业事故管理能力的因素，建立适当的数学模型，找出影响事故管理能力形成的主要因素。4.要使企业事故管理能力持续增强、减少事故发生的数量、避免人员伤亡，你有何政策建议？2 符号说明：死亡人数；：千万单位产量死亡率；：单位产量事故管理费提取额；：产量（千万单位）；：事故管理经费投入额（千万单位元）；注：还有一些局部变量，使用时加以说明。3 基本假设1、所给数据真实有效；2、外部机制大小与事故死亡率成正比；3、企业事故管理能力可以用死亡率高低来衡量；4、内部转换机制用投入管理经费量作为量化指标。4 问题分析对题目所给数据进行分析，可以得到一些新的有用的数据。然后，对题目和问题给出了一些详细的阐释，为模型的建立和求解提供必要的基础。最后，为了便于模型的求解，给出了本文所用的数据归一化方法。4.1 数据分析题目给出了1949-2008年每年的死亡人数、千万单位产量死亡率和单位产量事故管理费提取额。那么，根据已知数据可以得到每年的产量（千万单位）和管理经费投入额（千万单位元） (1) (2)图1给出了该行业1948-2008这60年来死亡人数、死亡率产量和事故管理经费投入情况。1958-1962年间死亡人数出现了一个奇异峰值，主要原因是大跃进期间冒进行为导致的。随着生产技术的提升和管理机制的不断完善，加之有力的行政和法律督导机制，2000年后死亡人数持续下降。死亡率除在开国初期和大跃进时期比较高外，基本上是持续下降的。(a) (b) (c) (d) 图1 某行业1948-2008年几项典型指标(a)死亡人数变化情况 (b)千万单位产量死亡率情况 (c)产量变化情况 (d)事故管理经费投入情况 从图1(c)可以看出：由于冒进思想的指导，生产产量在大跃进期间出现了一个峰值；由于亚洲经融危机的影响，在97年附近出现了一个低谷。总体来看生产产量基本上是层指数增长的，这与中国经济持续增长是相一致的。管理经费投入与生产产量成正比。4.2 对待求目标的分析内部转换机制是否启动并发挥作用的主要指标是企业事故管理的经费投入数量，所以企业内部转换机制的指标可以用管理经费投入量来量化。企业外部的压力机制和激励机制，来自社会舆论、法制法规和经济利益方面。然而，来自这些方面的外部诱导，直接和事故死亡率有关，为方便建模，认为外部机制正比与事故死亡率。企业的事故管理能力反映了企业预防事故发生和事故发生后处理的能力，可以直观地用死亡率来衡量。因为，死亡率的高低直接反映了企业在预防事故上的投入和事故后紧急处理能力。事故管理能力越强，表明企业在事故预防采取的投入越大、事故后处理措施越得力，直接的结果是死亡率低。4.3 对于连续性和滞后性时间的理解在本问题中，时间机制可以看成是一个惯性环节。即使是时滞环节当时滞不大时，也可以通过0/1阶Pade逼近，在频率响应一致的条件下，近似地看成一阶惯性环节1-2。即 (3)所以，在下面的讨论中，对时间机制的理解都是通过一个惯性环节来理解的。最简单的惯性环节是通过微分方程 (4)两边取拉氏变换得到的 (5)其中，为惯性时间常数，当为常数时，的响应为 (6)当时，所以惯性时间常数的物理意义是，响应信号上升到指令信号63.2%时对应的时间，如图2所示斜率=图2 惯性环节阶跃响应与惯性时间常数的确定4.4 数据预处理由4.1我们可以看到事故管理经费和死亡率之间的数量级相差悬殊。为了便于后面的建模计算，首先需要对数据预处理，将原始数据归一化，利用归一化后的数据建模计算，得到模型后反变换即可还原计算数据。采用极大极小法归一化数据，原理如(7)式所示 (7)同理，对死亡率有 (8)为了描述的方便，以下仍记归一化后的数据为和。5 建模与求解首先建立了动力转换机制和外部机制之间的常微分方程数学模型3-4，模型参数的辨识问题可以通过非线性最小二乘法解决。然后，建立了外部机制、时间和事故管理能力之间的常微分方程模型，用类似的方法得到了问题的解，求解发现，外部机制是影响事故管理能力形成的主要因素。最后，建立了外部机制、转换机制和时间等影响企业事故管理能力因素之间的数学模型，并进行了求解。对模型的物理机理给出了详细的阐释，讨论了平衡点的稳定性、参数摄动和脉冲或阶跃调节下系统的动态响应。5.1 问题1模型的建立与求解5.1.1 动力转换机制与外部机制之间数学模型的建立问题1要建立动力转换机制与外部机制之间的数学模型，并通过数值试验验证模型的有效性。从本质上说是要找到转换机制的量化指标（管理经费投入）与外部机制的量化指标（生产死亡率）之间的关系。由于我们在前面已假设外部机制是与事故死亡率成正比的。同时，考虑到管理经费的投入与先前投入管理经费之间有关，这样可以近似地认为：管理经费与事故死亡率之间满足(9)式 (9)取微分形式为 (10)对于(10)式，我们做如下分析。首先，解释一下各参数的物理意义。参数代表了管理经费的自然增长率，代表了与管理经费投入量成比例的追加投入量，代表了由于外部机制的影响而产生的投入量。可见，在这个模型中，每个参数都有其实际的物理背景。其次，我们分析一下时间机制是怎么在模型中得到体现的。对于(10)式，当只考虑状态变量时，可以简化为如(11)式所示形式 (11)其中，。两边取拉氏变换得 (12)其中，注意，该式要求。时，对惯性的理解将在后面部分讨论。此时，(12)式是一个比例惯性环节。也就是说的变化是一个惯性量，调节时间为。根据以上的建模过程和分析，本文建立的常微分方程模型恰当地描述了转换机制和外部机制之间的关系，模型中每个参数都有其明确的意义，同时时间机制是通过一个惯性环节的惯性时间常数来体现的。值得指出的是，在模型中我们没有涉及的讨论，它可以是时变量或状态变量，更加复杂的讨论将在下面讨论。5.1.2 问题1模型的求解对于5.1.1建立的模型，从理论的角度描述了动力转换机制与外界机制之间的关系。但是，模型中的参数未得到辨识，这是本部分的重点工作。题目给出了每年的死亡人数和死亡率，这样可以得到年产量，再由单位产量事故管理经费投入可以得到每年的经费投入。这也就是说，模型中状态变量都给出了样本值，那么对于我们的模型参数是可以辨识的。如果把和看成时变量的话，可以通过非线性最小二乘法得到待辨识参数、和。当得到此参数后，可以给出数值拟合值，图3给出了拟合效果和误差值。 (a) (b) 图3 问题1模型参数辨识不拟合效果(a)数据拟合效果 (b)建模误差 通过以上方法辨识得到模型参数为、，数据拟合的方差为0.182。图3给出了模型辨识效果，不难看出模型能够反映转换机制与外界机制之间的关系。但是，对于两个异常区域（大跃进时期和亚洲经融风暴时期）没能准确辨识，而是被认为是一种干扰被最小二乘算法给剔除掉了，其他部分拟合情况良好。虽然局部细节出现了漏辨识，但总的来说模型还是反映了这两种机制之间的总体趋势。对异常区域的补偿修正将在5.3中进一步讨论。所以，转换机制和外界机制之间的数学模型为 (13)从该模型中，可以得到以下结论，首先，在没有经费投入和没有死亡率（）的情况下，经费投入的自然增长率为0.72%，这表明即使没有事故发生，每年也会以一定的比例增加管理经费的投入。所以只要初始管理经费投入非零，那么管理经费的投入是永远也不会终止的。这充分反映了60年来，国家法制法规和各种规章制度的督导作用，和企业已经开始认识到“安全生产、防患于未然”的道理。然后，反映的是管理经费在原始值上的增长比例，在该模型中即为2.33%。正是由于该值的存在使得管理经费的投入是近似指数增长的。最后，我们看到，也就是说管理经费的投入变换量是随着事故死亡率的高低呈反相关变化的，似乎不符合实际情况。但是，我们仔细分析一下就会发现，其实管理经费的投入是有个惯性时间的，对于本模型。由于惯性时间的存在，管理经费的投入量总是超前于死亡率。为负数正是由于这个原因产生的，至于为什么是这样，直观地说是由于该行业常年发展形成的，是不受个人主观因素改变的。以下，我们给出惯性时间的物理含义。设是的初值，假设不变, 忽略。方程变为，解析解为以代入得，是在为零时，管理经费减少到原来1/e所需的时间。该时间反映了c跟踪r的惯性大小。5.2 问题2模型的建立与求解5.2.1 问题2模型的建立由前面的分析可知，外部机制是可以用死亡率的高低来替代的，事故管理能力也可以用死亡率来衡量，而时间机制可以转化为一个惯性环节。那么“在外部机制、时间与事故管理能力之间建立适当的数学模型”，也就是要找到事故管理能力与外部机制在存在惯性时间环节情况下的关系。更一般地说就是要找到之间的关系。结合5.1.1我们可以认为，事故管理能力是和死亡率和管理经费投入有关的一个状态变量，可以建立如下常微分方程模型 (14)其中，是固有事故管理能力指数，也是死亡率的固有增长率；是与死亡率成正比的外界机制；反映了管理经费投入与事故管理能力之间的关系。5.2.2 问题2模型的求解由于本问题的模型与5.1相似，求解方法也与5.1相似。图4给出了模型的辨识结果和拟合误差。不难看出，除大跃进时期出现的异常数据外，模型能够很好拟合原始数据，数据拟合的方差为0.87767。 (a) (b) 图4 问题2模型参数辨识与拟合效果(a)拟合效果 (b)建模误差 辨识得到的参数分别为：、和，所以得到外界机制、时间和事故管理能力之间的数学模型为 (15)分析该模型可以发现以下结论。首先，在先前没有事故和事故管理经费投入的情况下，事故的自然增长率为，这是个不小的数值，也就是说，没有治理的事故是不会沉寂的，它会自动地死灰复燃。其次，反映的是事故死亡率随着死亡率增加而降低的，这是正是由于外部机制的引导作用，导致事故管理能力提升的表现，而这种调节作用是有时间惯性的，惯性时间常数为年。最后，可以发现这个与转换机制有关的量化指标，也就说事故管理经费投入越大，那么事故死亡率是越低的，也即是事故管理能力越强。为了得到影响事故管理能力形成的主要因素，我们可以对各个变量做灵敏度分析。由于惯性时间常数定义的是状态变量从0跃变到0.632时的响应时间，所以时间的灵敏度定义为0.632/T=0.632/1.3393=0.4719，而事故管理能力对外部机制的灵敏度为 (16)同理，事故能力对转换机制之间灵敏度为 (17)对比灵敏度即可发现，对事故管理能力影响最大的因素是外部机制。也就是说，该行业是一个高利益行业，只依靠企业内部的转换机制对提高事故管理能力是不够的。即如果没有外界机制的压力和激励，企业可能出于经济利益的诱惑铤而走险，不进行转化机制或转化机制能力不够，使得事故死亡率进一步提高。所以，在该行业施行持续不断的、强有力的外部机制对于提高事故管理能力是不可或缺的，且是重中之重的。5.3 问题3模型的建立与求解5.3.1 问题3模型的建立在5.1和5.2中的常微分方程模型中，我们总是固定其中一个变量为时变量，而另一个量为状态变量。其实，死亡率和管理经费投入量之间的变化是相辅相成的。也就是说整个事故管理能力形成是由外部机制、转换机制和时间机制构成的动力系统。在这里，为简单起见我们用一组线性常微分方程组来描述整个动力系统。综上5.1、5.2我们可以得到企业外部机制、转换机制时间和时间与事故管理能力之间的数学模型。 (18)值得注意的是，此时的模型参数、与前面5.1和5.2的结果是不一样的。同理，可以得到系统模型的解析解，然后利用非线性最小二乘法可以辨识得到系统参数。辨识得到的模型为 (19)对于归一化后的数据，问题的初始状态为，采用四五阶龙格库塔数值积分方法进行数值仿真。问题的仿真结果及与归一化后真实数据的对比如图5所示。图(c)、(d)给出了数据还原后与原始数据的对比的结果。利用5.2中的灵敏度比较方法，有 (20) (21) (22)所以，对于事故管理能力形成起主要作用的还是外部机制的诱导。 (a) (b) (c) (d) 图5 问题3模型参数辨识与拟合效果(a)归一化后的建模数据和拟合数据 (b)模型数据和拟合数据的相轨图 (c)死亡率数据还原后与拟合数据对比 (d)事故管理经费投入量数据还原后与拟合数据对比 从图5可以看出我们的模型能够反映死亡率和事故经费投入这两个状态变量之间的演化，5.3.2 模型的一些基本阐释1、令(19)式右端等于零，容易算出平衡点为 (23)根据文献5的理论 (24) (25)平衡点是稳定的，这就是说，在(25)式的条件下，时间足够长以后，、分别趋向于有限值。2、条件(25)表明，只有当外部机制和内部转换机制的交互影响因子大于一定的阈值时，整个系统才会稳定。否则，管理经费的投入是无止境的。增强内部转换机制、完善外部机制对于有效利用管理经费提高事故管理能力有重要的作用。而，显然外部机制对管理能力的形成起主导作用。3、如果，是方程的平衡点，且是不稳定鞍点。即使某个时刻，有，系统在微小的扰动下也会发散。也就是说，要达到零投入、零死亡率是不现实的，实际情况正是这样。4、当、时，即使或，死亡率和管理经费的投入也不会为零，在死亡率和经费投入自然增长率的作用下，系统演化出复杂的动态行为。这就是说，单方面的死亡率为零或管理经费投入为零，对于整个系统来说都是无效的，系统是不会沉寂不动的。5.3.3 模型进一步讨论5.3.3.1 参数摄动分析由于我们模型的参数是通过非线性最小二乘辨识得到的，不可避免地存在参数摄动问题。为了验证模型的稳健性，有必要对模型做摄动分析。图6给出了在、分别存在+5%摄动和同时存在5%摄动时，归一化的建模数据与数值仿真结果之间的对比效果。不难看出在一定的仿真时间范围内，参数的摄动对模型辨识结果的影响不大，是可以被工程领域所接受的，模型具有较好的稳健性。当然，这里只给出了某些变量单个地摄动和简单的组合摄动情况，更加复杂的情况也可以类似地得到，出于篇幅考虑不在此处列出。 (a) (b) 图6 参数5%摄动后系统的响应曲线和相轨曲线(a)系统参数5%摄动后的状态响应 (b)参数摄动后相轨对比 5.3.3.2 外界调控对企业事故管理能力形成的影响分析在我们的模型中，反映了管理经费在自然增长率；反映了死亡率的自然增长率，其实，这两个量可以看成是调控量。其他的量可以认为是整个行业多年来形成的一种结构变量。调控量的实质是受国家宏观调控或市场经济调节的，这样可以使我们的模型更加符合实际，因为以上建立的模型没能够反映出大跃进时期和亚洲经融危机两个对该行业起重要作用的脉冲干扰，反而使模型在后期的辨识中出现了偏差。如果我们能够在模型中设定脉冲或阶跃的扰动调控，就可以使得我们的模型更加符合实际情况。且能够得到一些先前模型所得不到的结论。1、脉冲调节下管理能力的形成我们假设脉冲调节的持续时间为3年，和脉冲调节的幅值和分别为0.1、0.01，在不同时间发生脉冲调节后，系统的动态响应如图7(a)所示。图中粗线代表原始数据经归一化的结果，其余线条灰度越大表示发生脉冲调节的时间越晚。从图中可以看出，脉冲调节出现时间越早，事故管理经费的后续投入越多，相应地事故死亡率越低。从图上还可以看出如果考虑了大跃进期间的脉冲过程，我们的模型就能够更好地逼近已知数据，这从另一个侧面反映了我们模型的稳健性和与物理系统的吻合情况。看来我们确实找到了描述企业事故管理能力形成机制的数学模型。2、阶跃调节下管理能力的形成我们假设阶跃调节从发生时起持续到仿真结束，和阶跃调节的幅值和分别为-0.1、0.001，在不同时间发生阶跃调节后，系统的动态响应如图7(b)所示。从图7(b)可以看出死亡率和管理经费投入的阶跃调节能够很好地降低死亡率，随之而来的是管理经费的增加。 (a) (b) 图7 外加调节下系统状态变量的响应(a)脉冲调节 (b)阶跃调节 对比以上两种调节方式，可以发现实际物理系统可能是在模型式的基础上增加了脉冲和阶跃调节方式才出现了死亡率和管理经费投入量的复杂动态演化过程。脉冲调节的产生可能是一个时期内的政治、经济导向引起的，而阶跃调节的产生可能是由于法律规章等持续性因素引起的。5.4 持续提升事故管理能力的建议结合我们模型的结果，要持续增强事故管理能力、减少死亡率，至少应该做到以下几点。首先，应该树立正确的政策方针路线，既不能冒进也不不能畏缩。给行业的发展提供一个良好的发展空间。当出现国内或国外经济动荡时，给予必要的扶持，帮助该行业躲过风险。这样该行业才能有足够的人力、物力和财力来加大内部的转换机制，提搞管理经费的投入，进而降低事故死亡率，提升企业的事故管理能力。其次，应该进一步加大外部机制的完善和强化。因为，针对该行业的特点，结合我们的模型发现外部机制对事故管理能力起到了决定性的作用。外部机制的完善包括相关法律法规的健全和执行，加大相关事故的追踪报道力度，形成具有威慑力的舆论氛围和法制氛围。同时，还要从经济层面加以引导，奖励先进、处罚落后。再次，应该采取合理的宏观调控措施。适时调节整个事故管理能力形成的微分动力系统，使该系统朝着良性道路发展。调节的方式可以是脉冲式的经济资金注入或短时政策导向，或阶跃式的法制法规的出台等。最后，在考虑利用以上各种策略来持续提升企业事故管理能力的同时，不应该忘记系统存在一个时间调节机制。因为系统存在惯性，所以采取措施后，不能立竿见影。一个好的调控策略的出台应该考虑到这个问题，而提前施行，这样才能到预期的时间里收到预期的效益。当然，还可以建立和完善一套风险预警机制，当死亡率达到某个阈值时，启动该机制，采取以上相应的策略。这样，就建立了一套完整的持续提升事故管理能力的预案。6 GUI界面的建立在第5部分，我们建立了相关的数学模型，详细讨论了模型的平衡点稳定性、参数摄动、脉冲或阶跃扰动调节等。出于篇幅考虑，没有给出所有可能的组合情况。为了适应建模仿真可重复性和交互性的需要，本部分利用MATLAB建立了友好的可视化GUI界面。在该界面内可以设定扰动调节参与与否，脉冲或阶跃调节幅值的大小，发生和持续时间等，对于所有参数可以设置摄动量大小。可以将所有情况都考虑进去，得到更加复杂的系统响应。图8给出了初始化的仿真界面。图9给出了一组典型参数下的仿真结果，参数设置：考虑死亡率的脉冲调节幅值为0.3，从第1948年后的第9年持续到第13年；考虑管理经费投入阶跃式的调节幅值为0.001，从第1年到第60年。同时，还考虑了、和分别有0.6%、-0.9%、0.01%摄动。图8 初始化的仿真界面图9 一组典型参数下的仿真结果7 模型评价与推广本文针对企业事故管理能力形成机制进行了研究。利用管理经费投入量作为量化动力转换机制量化指标，死亡率作为事故管理能力的量化指标，外部机制等效地认为是与死亡率成正比的量，将时间机制中的滞后性和连续性看成一个惯性环节。建立了动力转换机制我们建立了的常微分方程模型，外部机制、时间与是个管理能力之间的数学模型，外部机制、转换机制、时间等因素与管理能力之间的数学模型。提出利用灵敏度来分析各影响因素对事故管理能力的重要程度，发现外部机制对管理能力的形成起决定性作用。针对建立的模型详细阐述了模型的物理意义，对模型进行了深入分析。分析了系统平衡点的稳定性情况；讨论了模型对参数摄动的响应；如果将模型的自然增长率看成可调节量，讨论了脉冲调节和阶跃调节下，系统的响应，发现如果记及先前模型参数辨识丢弃掉的扰动调节项，那么我们的模型能够很好地描述事故管理能力的形成机制。此外，还分析了脉冲调节和阶跃调节的实际物理含义。最后，针对我们的模型和求解结果，针对如何使企业的事故管理能力持续增强、减少事故发生的数量和人员死亡，给出了一些政策建议。至此，完美地解决了所有问题。仔细分析后可以发现，我们的模型实际是军备竞赛中双边理查森模型的推广5-6。当然，该模型也可以推广到其他类似的问题中。虽然我们的模型是一个线性常微分方程组的数学模型，但是根据模型的求解结果可以看出该模型已经能够很好地解决所提出的问题且在考虑了脉冲调节和阶跃调节后和实际数据吻合得很好。在没有更深入、可靠的知识去建立更满意的模型情况下，我们认为本文所建立的这个机理模型已经足够简单、足够精确了。当然，可以考虑死亡率和管理经费投入量之间的交互效应，建立含有这些交互项的非线性模型。此时，模型参数的辨识问题可以通过Kalman辨识等方法得到，这可以作为进一步的工作。参考文献1 刘开培，基于Pade逼近的纯滞后系统增益自适应内模PID控制，武汉大学学报(工学版)，2001.34(4)：93-95.2 现代应用数学手册编委会编，现代应用数学手册.计算与数值分析卷，北京：清华大学出版社，2005.13 Khalil,H.K.著，朱义胜，董辉，李作洲译，非线性系统（第三版）Nonlinear Ssytems, Third Edition，北京：电子工业出版社，2005.74 Willianm 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