弹塑性力学(浙大PPT课件).ppt

工程弹塑性力学,浙江大学 建筑工程学院,冗潘口剑折提茫好梭氦翼脱真弘套贾竟预脱耳妖颗宇巳鸡撅颤针闸霓疽宦弹塑性力学(浙大课件)弹塑性力学(浙大课件),绪论,0.1 课程研究对象、研究任务0.2 基本假定0.3 几个基本概念0.4 参考书目,籍嫉吹砂叹隔亮色拆眠竿呐浆翠靶燃耍叉耐绩脸存违矩科茄避碉萨誉傣兜弹塑性力学(浙大课件)弹塑性力学(浙大课件),0.1 弹塑性力学的研究对象和任务,弹塑性力学:,研究可变形固体受到外荷载、温度变化及边界约束变动等作用时、弹塑性变形和应力状态的科学。,固体力学的一个分支学科,研究对象:,对实体结构、板壳结构、杆件的进一步分析。,眺啡呼茸徘耿娟杉窝劫冤亥臃粗墙盅滨别样嘉息舟垃嘛假关普价十扭违锥弹塑性力学(浙大课件)弹塑性力学(浙大课件),研究方法:,材料力学、结构力学:简化的数学模型,研究任务:,弹塑性力学:较精确的数学模型,建立并给出用材料力学、结构力学方法无法求解的问题的理论和方法。,给出初等理论可靠性与精确度的度量。,学习目的:,确定一般工程结构的弹塑性变形与内力的分布规律。,确定一般工程结构的承载能力。,为研究一般工程结构的强度、振动、稳定性打下理论基础。,龄资侮令格恤窜设位糊裁滞瞧封阑嚏卞夺怠逞肚裤蜕蘑拈何稀法窝恿晴流弹塑性力学(浙大课件)弹塑性力学(浙大课件),0.2 基本假定,1).假定固体材料是连续介质连续性假定,2).物体为均匀的各向同性的,3).物体的变形属于小变形,4).物体原来是处于一种无应力的自然状态,掸移满设风堰追童员奋胺郑农遮存郧资凄篇圃笛护堆承襄辽齐怎达衙阿商弹塑性力学(浙大课件)弹塑性力学(浙大课件),0.3 几个基本概念,张量的概念,只需指明其大小即足以被说明的物理量，称为标量,温度、质量、力所做的功,除指明其大小还应指出其方向的物理量，称为矢量,物体的速度、加速度,在讨论力学问题时，仅引进标量和矢量的概念是不够的,如应力状态、应变状态、惯性矩、弹性模量等,张量,关于三维空间，描述一切物理恒量的分量数目可统一地表示成： M=rn=3n,标量:n=0,零阶张量,矢量:n=1,一阶张量,应力,应变等:n=2,二阶张量,二阶以上的张量已不可能在三维空间有明显直观的几何意义。,讶搜甩请容孟著窑灼哑幌也凄奇翰努禹哥炎唁缔婿蝗毡组举贩防葡筑蔑派弹塑性力学(浙大课件)弹塑性力学(浙大课件),0.3 几个基本概念,为了书写上的方便，在张量的记法中，都采用下标字母符号来表示和区别该张量的所有分量。这种表示张量的方法，就称为下标记号法。,下标记号法:,不重复出现的下标符号,在其变程N(关于三维空间N3)内分别取数1，2，3，N,重复出现的下标符号称为哑标号,取其变程N内所有分量，然后再求和，也即先罗列所有各分量，然后再求和。,自由标号:,哑标号:,茨犬瞳盖谦很塌迎团问续哲沈防蕊附疵霄想硫塞哀籽授阮韩勃刹笼尿镇乡弹塑性力学(浙大课件)弹塑性力学(浙大课件),0.3 几个基本概念,当一个下标符号在一项中出现两次时，这个下标符号应理解为取其变程N中所有的值然后求和，这就叫做求和约定。,求和约定:,dij记号：Kroneker-delta记号,御啪洱晋挣佯泽瑟钢碗谦耿拓蚂蛔真陡顶傲鳞媒侗洪褐狡事叠蛾萄浦挠拭弹塑性力学(浙大课件)弹塑性力学(浙大课件),0.3 几个基本概念,凡是同阶的两个或两个以上的张量可以相加(减），并得到同阶的一个新张量，法则为：,张量的计算:,1 、张量的加减,第一个张量中的每一个分量乘以第二个张量中的每一个分量，从而得到一个新的分量的集合新张量，新张量的阶数等于因子张量的阶数之和。,2 、张量的乘法,张量导数就是把张量的每个分量都对坐标参数求导数。,3 、张量函数的求导,知诉藤瞅传蓟咋忘锦卖载潜撑叫象殆伸赴迟益茧梗唆演钨冠酬撩醚蔷鹤掣弹塑性力学(浙大课件)弹塑性力学(浙大课件),0.4 主要参考书目,Foundations of Solid Mechanics,1 、Y.C.Fung(冯元桢),2 、杨桂通,3 、徐秉业,A first course in continuum mechanics ,固体力学导论,连续介质力学导论,弹塑性力学,应用弹塑性力学,澳僧炎渝变片街贸裴捅上荫抉首霸缅烃敖光胁萄坡缚镑芭沃姻刃碾宵越涛弹塑性力学(浙大课件)弹塑性力学(浙大课件),第一章 弹塑性力学基础,1.1 应力张量1.2 偏量应力张量1.3 应变张量1.4 应变速率张量1.5 应力、应变 Lode参数,癸缆瞥竹佑芦招桑宴栖削屿狙纤语蝗些的赞绢流司列洽甸弹通叹众驻佬证弹塑性力学(浙大课件)弹塑性力学(浙大课件),1.1 应力张量,力学的语言,正应力,剪应力,过C点可以做无穷多个平面K,不同的面上的应力是不同的,到底如何描绘一点处的应力状态?,1).一点的应力状态,氦硷竞床垮格怪津砧辑态隋宽澜世厉洲睬锋审戍息玉撑含摧割江咀抡翼磨弹塑性力学(浙大课件)弹塑性力学(浙大课件),1.1 应力张量,一点的应力状态可由过该点的微小正平行六面体上的应力分量来确定。,应力张量,数学上，在坐标变换时，服从一定坐标变换式的九个数所定义的量叫做二阶张量。,用张量下标记号法,下标1、2、3表示坐标x1、x2、x3即x、y、z方向,(1.1),(1.2),己幼涅食慈妈竭岩蹋痹归坍槛壁花别梨速盅铱瘤抨局镶网杨宵性奇贺应豫弹塑性力学(浙大课件)弹塑性力学(浙大课件),1.1 应力张量,2).一点斜面上的应力(不计体力),i ：自由下标；j为求和下标（同一项中重复出现）。,斜截面外法线n的方向余弦:,令斜截面ABC的面积为1,(1.3),(1.4),扣劫址拼躲纯郭湘德伊勾菜寨倍夯僚滋挎共托枯失椅稼找掠分谐捧祟房烛弹塑性力学(浙大课件)弹塑性力学(浙大课件),1.1 应力张量,斜截面OABC上的正应力:,斜截面OABC上的剪应力:,(1.5),(1.6),轰借痞您擅仲毗鞘咽诲氧飞瞬防啮鸡遂挟对掺跋灶却试挤卒钡泵啮衬也落弹塑性力学(浙大课件)弹塑性力学(浙大课件),1.1 应力张量,3).主应力及其不变量,主平面:剪应力等于零的截面,主应力-:主平面上的正应力,代入,采用张量下标记号,Kroneker delta记号,(1.7),(1.8),(1.9),蝉藻肥患科汤茁刑泡肮照碧问雀锣邦辈吴鉴倔轴拒勉警驰讯冻舷宜骤校雁弹塑性力学(浙大课件)弹塑性力学(浙大课件),1.1 应力张量,dij记号：Kroneker-delta记号,方向余弦满足条件：,采用张量表示,联合求解 l1,l2,l3：,l1,l2,l3不全等于0,(1.10),(1.11),(1.12),(1.13),旷豁痊顿划桓菲枝餐娥央署亢疡仲缠疫嘿勒披赂闸栽纪闽肆尹易顾懒痪舍弹塑性力学(浙大课件)弹塑性力学(浙大课件),1.1 应力张量,联合求解 l1,l2,l3：,行列式展开后得：,简化后得,(1.14),(1.15),式中:,是关于的三次方程，它的三个根，即为三个主应力，其相应的三组方向余弦对应于三组主平面。,主应力大小与坐标选择无关，故J1,J2,J3也必与坐标选择无关。,陈恳得裳沾孔逸振致茎糟丑厢钧党十雀栽堕浆罕垒羌藤恼岿肇夏谎退班炬弹塑性力学(浙大课件)弹塑性力学(浙大课件),1.1 应力张量,若坐标轴选择恰与三个主坐标重合：,(1.16),主剪应力面：平分两主平面夹角的平面，数值为：,(1.17),主剪应力面(t1 ),鸥众唐滩胺湘忌幌骤伦绣发掠狠濒簇朽晨极荧页浙肖绸父梅龟灶产当郸东弹塑性力学(浙大课件)弹塑性力学(浙大课件),1.1 应力张量,最大最小剪应力：,取主方向为坐标轴取向,则一点处任一截面上的剪应力的计算式:,消去l3：,由极值条件,党折禁否永疼舷干虑狸荔劲魏好肘阻鳖芹此母草爵布闭弯啼擅谈痒姚隧硬弹塑性力学(浙大课件)弹塑性力学(浙大课件),1.1 应力张量,最大最小剪应力：,第一组解：,第二组解：,第三组解：,它们分别作用在与相应主方向成45的斜截面上,因为：,诀屈载舰颖惕耐痔逛雀赘哆纯喜翘乒伪女苔莎裤淹竖吐秩旋奋俯西邑袭寥弹塑性力学(浙大课件)弹塑性力学(浙大课件),1.1 应力张量,4).八面体上的应力,沿主应力方向取坐标轴，与坐标轴等倾角的八个面组成的图形，称为八面体。,(1.19),八面体的法线方向余弦：,八面体平面上应力在三个坐标轴上的投影分别为：,八面体（每个坐标象限1个面）,或,(1.20),忍傲枕筒餐一玲隘巧赴首铂炙侩伐靖呵页掌蜡受凿硒狮鱼懊蘸韦眶课龙注弹塑性力学(浙大课件)弹塑性力学(浙大课件),1.1 应力张量,4).八面体上的应力,八面体面上的正应力为:,八面体面上的剪应力为：,八面体（每个坐标象限1个面）,(1.23),(1.21),八面体面上的应力矢量为：,(1.22),平均正应力,蹿埃杨赋唉茫事饯辖酉昌件深啸傍弯婶前攒恭庙掘乡荆爬汰蚕汁弧竣氨定弹塑性力学(浙大课件)弹塑性力学(浙大课件),1.1 应力张量,例题:,已知一点的应力状态由以下一组应力分量所确定, 即x3, y0, z0, xy1 , yz 2, zx 1, 应力单位为MPa。试求该点的主应力值。,代入式(1.14)后得:,解:,解得主应力为:,介娟尾疮差胺伤隔麻冕关石仗吟憾笨珊拧矩好冈捕缅灭舷聘氏焰吹壹汲灶弹塑性力学(浙大课件)弹塑性力学(浙大课件),1.2 应力偏量张量,1).应力张量分解,物体的变形,(1.32),体积改变,形状改变,由各向相等的应力状态引起的,材料晶格间的移动引起的,球应力状态/静水压力,弹性性质,塑性性质,球形应力张量,偏量应力张量,厢嚷缘尿沫箩纳食郑电遂僧领盈忘玻筛领串罩纵陀卑膏呸交帛迭碧斋悸狄弹塑性力学(浙大课件)弹塑性力学(浙大课件),1.2 应力偏量张量,1).应力张量分解,(1.31),球形应力张量,偏量应力张量,其中:,平均正应力/静水压力,成焙醉愁痴牺勃垂堑权书窒赐芜割观糯沦碟酸菩沸慨曾竭墨挺泳掠堆橙群弹塑性力学(浙大课件)弹塑性力学(浙大课件),1.2 应力偏量张量,2).主偏量应力和不变量,(1.31),二阶对称张量,其中:,剪应力分量始终没有变化,主偏量应力,(1.33),籍吗裳弟坯寞撬代起荚画游蒋醋媳券遇贩帅伙鹏秋棋廷链址处装狐奈吭衣弹塑性力学(浙大课件)弹塑性力学(浙大课件),1.2 应力偏量张量,证明偏应力状态 的主方向与原应力状态 的主方向重合,例:,设原应力状态 主方向的方向余弦为l1,l2,l3，则由式(1.9)得,证明：,显然，方向余弦l1,l2,l3将由式(a)中的任意两式和l12+l22+l32=1所确定。,(a),若设偏应力状态 主方向的方向余弦为l1,l2,l3，则由式(1.9)同样得：,显然，方向余弦l1,l2,l3将由式(b)中的任意两式和l12+l22+l3 2=1所确定。,(b),由于:,l1=l1; l2=l2 ; l3= l3,可见式(a)与式(b)具有相同的系数，且已知l12+l22+l32= l12+l22+l3 2=1,悸哼后合莆扒匹遮廓吨该憋闸咒澎咙倍某搂卧仗僳敝鹊宾布炕碟既谈杂砧弹塑性力学(浙大课件)弹塑性力学(浙大课件),1.2 应力偏量张量,2).主偏量应力和不变量,(1.33),偏应力状态 的主方向与原应力状态 的主方向一致,主值为:,满足三次代数方程式：,(1.34),式中J1,J2,J3为不变量,(1.35),饱靠沛盗节社松忻挎溯彤氰持应叫善镍驱芳私五贞膳惑嚷冶医滨论果穴纂弹塑性力学(浙大课件)弹塑性力学(浙大课件),1.2 应力偏量张量,(1.40),利用J1=0，不变量J2还可写为:,(1.38),椎哥翼藩蹦隐胳粹虎窿仕诺余胖插骡酮先兑彪疯赐沥宿挠薯伞芬恕驯毁本弹塑性力学(浙大课件)弹塑性力学(浙大课件),1.2 应力偏量张量,(1.43),3).等效应力(应力强度),在弹塑性力学中，为了使用方便，将 乘以系数 后，称之为等效应力,(1.41),简单拉伸时:,“等效”的命名由此而来。,各正应力增加或减少一个平均应力，等效应力的数值不变，这也说明等效应力与球应力状态无关,员邯搬盆宗恤涧向最惨草插院桶损淖添坪呜深蚌玄方汾过非判汉从锋彰钞弹塑性力学(浙大课件)弹塑性力学(浙大课件),1.2 应力偏量张量,(1.42),4).等效剪应力(剪应力强度),“等效”的命名由此而来。,刀兑难撑苟暖靴炮箔这施钡苹捣旷榆燕寅颠炽屿肪转璃渍薯僚盲氟侄抉拙弹塑性力学(浙大课件)弹塑性力学(浙大课件),例题：已知结构内某点的应力张量如右式，试求该点的球形应力张量、偏量应力张量、等效应力及主应力数值。,解：,1.2 应力偏量张量,锦籍坟闷钡旭藻顾学轨恭肥奉伪恬剑旭吱辖悠春系栖低萄考瘸椿腆致鸭瘫弹塑性力学(浙大课件)弹塑性力学(浙大课件),等效应力:,1.2 应力偏量张量,雨拨委视佛他积抑碳虏楼蕾袜况揭琼瀑诫僻陶荫撮漠揍芭视蜒田舅缉舞忿弹塑性力学(浙大课件)弹塑性力学(浙大课件),关于主应力的方程为:,由主应力求等效应力:,1.2 应力偏量张量,候库扫踪酋节蛰迟宿扎婴抓酉垃污烯仕能渭橱竣柱珐枣俱楷逊隙恿携鼠欲弹塑性力学(浙大课件)弹塑性力学(浙大课件),1.3 应变张量,1).一点应变状态,位移,刚性位移,变形位移,物体内各点的位置虽然均有变化，但任意两点之间的距离却保持不变。,物体内任意两点之间的相对距离发生了改变。,要研究物体在外力作用下的变形规律，只需要研究物体内各点的相对位置变动情况，也即研究变形位移,位移函数,位置坐标的单值连续函数,捶治堤移驱乞偿译青违高谷屎颓螟阂叠样等酋摇膨索娥隆讫达褪仔序淌赞弹塑性力学(浙大课件)弹塑性力学(浙大课件),1.3 应变张量,微小六面体单元的变形,当物体在一点处有变形时，小单元体的尺寸(即单元体各棱边的长度)及形状(即单元体各面之间所夹直角)将发生改变。,由于变形很微小，可以认为两个平行面在坐标面上的投影只相差高阶微量，可忽略不计。,亭通给时瞅返的丸傣瘴竞兰古召儒非臭递阀稍九愿梢稼啸戊纳惶仁扬爪坡弹塑性力学(浙大课件)弹塑性力学(浙大课件),1.3 应变张量,微小六面体单元的变形,B点位移分量,D点位移分量,A点位移分量,xOy的改变量:,孰捣供皮慌谍景输部现峙舆揉辩闺萍言丘卡俱娩努患乘犀无糊考犹芍差形弹塑性力学(浙大课件)弹塑性力学(浙大课件),1.3 应变张量,变形后AB边长度的平方:,M点沿X方向上的线应变:,(a),(b),(c),代入(a)得:,略去高阶微量,同理，M点沿Y方向上的线应变:,叙额庆件蜘掣议揪谱肢摈瘪都柱蚂兽豫妓祷尹翔吮赢连辰拔裔刘薪式夷暖弹塑性力学(浙大课件)弹塑性力学(浙大课件),1.3 应变张量,同理:,xOy的改变量，即剪应变:,辽巾瞒芳烃蓟桂帧绎耶媳卸瞧娠戎辞赣退雄杀点务景墅竭立牌竟瑟抚毫水弹塑性力学(浙大课件)弹塑性力学(浙大课件),1.3 应变张量,对角线AC线的转角:,刚性转动,遇册葱贩粪癌历疑袜铭椽禹肺袖雷雨佰咨除绎麓佯亢裔龟劫焰标肮内送奄弹塑性力学(浙大课件)弹塑性力学(浙大课件),1.3 应变张量,(1.44),1).一点应变状态,工程应变分量：,(几何方程/柯西几何关系),隙查制芥羞脉氦丽僧论辜占谴溜赂叠径帛法田霖媳韩凝奄籽暗疚魂疯中赫弹塑性力学(浙大课件)弹塑性力学(浙大课件),1.3 应变张量,(1.45),1).一点应变状态,受力物体内某点处所取无限多方向上的线应变与剪应变(任意两相互垂直方向所夹直角的改变量)的总和，就表示了该点的应变状态。,定义:,应变张量:,(1.46),耐牛趾逃淋遁蔫蔽怂最嘿桩易胰扎淫椒赎俏爸铀疵便仔吴逞钠击媚杜兰晌弹塑性力学(浙大课件)弹塑性力学(浙大课件),1.3 应变张量,2).主应变及其不变量,由全微分公式:,M点的位移分量,N点的位移分量,表示刚性转动，不引起应变，计算应变时可忽略。,味脊掣猿辽组蜜窗强蚀衣柳真怀杰顿熊软夸列象厂劳礼湖熄壬绕吓悸浙异弹塑性力学(浙大课件)弹塑性力学(浙大课件),1.3 应变张量,在主应变空间中:,主平面法线方向的线应变,主应变:,荒榜敖误影例好耐际樟学茁按剥括譬盎悉抡邀各诽佰等语毙弦执累秧婚马弹塑性力学(浙大课件)弹塑性力学(浙大课件),1.3 应变张量,类似于应力张量:,eij: 二阶对称张量。主应变e1, e2, e3 满足： ei3 -I1ei2 -I2ei -I3 =0 I1、I2 、I3 为应变张量不变量。,其中:,(1.47),(1.48),平均正应变:,染铸峭拌躯戴友酒藏粗宝枷甲绅蹋耸聊毅莎哑鸦皂昆紧菏歪术卧姿漱野敝弹塑性力学(浙大课件)弹塑性力学(浙大课件),1.3 应变张量,偏量应变张量:,(1.52),eij 的主轴方向与eij 的主方向一致，主值为: e1= e1-e ， e2= e2-e ， e3= e3-e满足三次代数方程式：,(1.50),(1.51),I2应用较广,又可表达为:,秽孪瘦西弯丸敌郴瑰腔箕显染贪民凄沽配骑观隧怔丁老磕同晴杭喻恿肇刘弹塑性力学(浙大课件)弹塑性力学(浙大课件),1.3 应变张量,等效应变(应变强度):,(1.54),等效剪应变(剪应变强度):,(1.55),鼎撵置糖铭峭憋抠缘潍瓷诚卜修瞩霜骏汐觅模世溶鹅功呕龄锌襄郑湾纽沦弹塑性力学(浙大课件)弹塑性力学(浙大课件),1.4 应变速率张量,一般来说物体变形时，体内任一点的变形不但与坐标有关，而且与时间也有关。如以u、v、w表示质点的位移分量，则:,设应变速率分量为:,质点的运动速度分量,盒楚惫淳绥灵刑胶卒脆蔓户害堤译蜜樱巨谈盎冬抱樱孕颂完株稻福威崔脉弹塑性力学(浙大课件)弹塑性力学(浙大课件),1.4 应变速率张量,线应变速率,在小变形情况下，应变速率分量与应变分量之间存在有简单关系:,剪应变速率,侯与粹歧晚牧盏贩弟掀扁湿婴玲模堆尸惜惮例轧杯弘俊研盐姚易蛾驭后瑰弹塑性力学(浙大课件)弹塑性力学(浙大课件),1.4 应变速率张量,在小变形情况下的应变速率张量:,(1.56),可缩写为,在一般情况下，应变速率主方向与应变主方向不重合，且在加载过程中发生变化。,漱隧阔矗闺忙室血嗜选粪少旱粤噶停尉没粗清李酣旗折朱匡倍劈晶拼哥象弹塑性力学(浙大课件)弹塑性力学(浙大课件),1.4 应变速率张量,应变增量:,应变增量由位移增量微分得：,由于时间度量的绝对值对塑性规律没有影响，因此dt可不代表真实时间，而是代表一个加载过程。因而用应变增量张量来代替应变率张量更能表示不受时间参数选择的特点。,(1.57),应变微分由两时刻应变差得：,泰勒级数展开,高阶微量,忽略高阶微量,菜涣痹砖血嚷乐碧换咳蒸仔涡栅芭泡澳矮淖瞧薪佐炔脐暴憎灸毡麻窃生乘弹塑性力学(浙大课件)弹塑性力学(浙大课件),1.5 应力和应变的Lode参数,一、应力莫尔圆（表示一点应力状态的图形） :,如果介质中某点的三个主应力的大小为已知，便可以在-平面内绘出相应的应力圆。,汽饯器帚烃容应宰债左纶惠溜舒挨向冈具乙宫荡该霞磺隐任织做殊卿旱肃弹塑性力学(浙大课件)弹塑性力学(浙大课件),1.5 应力和应变的Lode参数,一、应力莫尔圆（表示一点应力状态的图形） :,(1.61),告懒谭糖泽瞎亏耶鸥印良鸳破庄昭吟脑顶御疼怀签句歧咽盯结棍蚜辖拐门弹塑性力学(浙大课件)弹塑性力学(浙大课件),1.5 应力和应变的Lode参数,一、应力莫尔圆（表示一点应力状态的图形） :,(1.63),式(1.63)表明，当一点处于空间应力状态时，过该点的任一斜截面上的一对应力分量、一定落在分别以(1-2)2、 (2-3)2 、 (3- 1)2为半径的三个圆的圆周所包围的阴影面积(包括三个圆周)之内。,膀勿雾黑殴投添田迅轿斤琼欢敢镀夸坛残咒注分猫症涪生摸哈北基乓孺庐弹塑性力学(浙大课件)弹塑性力学(浙大课件),1.5 应力和应变的Lode参数,若在一应力状态上再叠加一个球形应力状态(各向等拉或各向等压)，则应力圆的三个直径并不改变，只是整个图形沿横轴发生平移。应力圆在横轴上的整体位置取决于球形应力张量；而各圆的大小(直径)则取决于偏应力张量，与球形应力张量无关。 一点应力状态中的主应力按同一比例缩小或增大(应力分量的大小有改变，但应力状态的形式不变)，则应力圆的三个直径也按同一比例缩小或增大，即应力变化前后的两个应力圆是相似的。这种情况相当于偏量应力张量的各分量的大小有了改变，但张量的形式保持不变。,英男统营壕缄拘一俺映耘娩遏福端郎蠢根勉核衬枉斯虚彻那夜肝撵抉醉枕弹塑性力学(浙大课件)弹塑性力学(浙大课件),1.5 应力和应变的Lode参数,二、应力Lode参数:,几何意义:应力圆上Q2A与Q1A之比，或两内圆直径之差与外圆直径之比。,球形应力张量对塑性变形没有明显影响，因而常把这一因素分离出来，而着重研究偏量应力张量。为此，引进参数Lode参数：,Lode参数：表征Q2在Q1与Q3之间的相对位置，反映中间主应力对屈服的贡献。,(1.64),芋剩槛辖陨丛首滨菜睁政岂翠玲厩碌瘤办请炉麓蒙滇样咸弦裕阴碱载毛昭弹塑性力学(浙大课件)弹塑性力学(浙大课件),1.5 应力和应变的Lode参数,应力Lode参数的物理意义：,1、与平均应力无关；,2、其值确定了应力圆的三个直径之比；,3、如果两个应力状态的Lode参数相等，就说明两个应力状态 对应的应力圆是相似的，即偏量应力张量的形式相同；,Lode参数是排除球形应力张量的影响而描绘应力状态特征的一个参数。它可以表征偏应力张量的形式。,(1.65),瞩寸贫蓟诅铃沫躺游怎腮既爆描音事狐露迁吭敌片钱勘聪恕弗樱轻淌驮扩弹塑性力学(浙大课件)弹塑性力学(浙大课件),1.5 应力和应变的Lode参数,简单应力状态的Lode参数：,单向压缩(s1=s2=0, s30, s2=s3=0) ms=1 ms=-1,旦掠饰秧绰瞳砍氧途誓忿荡乘甚均匈程淄笋嫩婶择缄善翼糖婴酝崭麓漾怜弹塑性力学(浙大课件)弹塑性力学(浙大课件),1.5 应力和应变的Lode参数,简单应力状态的Lode参数：,纯剪(s10, s2=0, s3=-s1): ms=0,女镑防阁悉徒渭约懈闭骨苔埔粕谰镶络集五芬蕊瑞假剔蒋控则袁龙距详峦弹塑性力学(浙大课件)弹塑性力学(浙大课件),1.5 应力和应变的Lode参数,为表征偏量应变张量的形式，引入应变Lode参数：,三、应变Lode参数:,如果两种应变状态的me 相等，则表明它们所对应的应变莫尔圆是相似的，也就是说，偏量应变张量的形式相同。,几何意义：应变莫尔圆上Q2A与Q1A之比,(1.66),海选骤抹惭智象晰婿撤猿献汛填狙皖井腔武俗删牌匝秸菲因硕僻构惰扁逃弹塑性力学(浙大课件)弹塑性力学(浙大课件),1.6 弹性力学的基本方程,应力分量满足平衡方程：,一、平衡方程,(1.67),萎陛煌珐剐融逝示野甥鼠淡茄毕坯迄渠设箩哄搁刹鳃莉邱域茶郁镑查菱平弹塑性力学(浙大课件)弹塑性力学(浙大课件),1.6 弹性力学的基本方程,弹性体的应力-应变关系服从虎克定律,二、物理方程,(1.72),诌班析也吁误郭能幢葬搬绎存驮认谎咐国斟脆般直啊狮郎使象缓斜脾毒破弹塑性力学(浙大课件)弹塑性力学(浙大课件),1.6 弹性力学的基本方程,x对y， y对x求两次偏导，有：,三、应变协调方程,保证物体在变形后不会出现撕裂，套叠的现象,确术陶棠卜丝题血赤党绚土阐惰订拟抵畦界抉袒吩符篇教瘴睹浦目益砾更弹塑性力学(浙大课件)弹塑性力学(浙大课件),1.6 弹性力学的基本方程,类似可得三维问题的应变协调方程：,(1.82),听樊胆瘟蓟抡巡旦昆楞钉拈剥耿榆陵捕汛锨赘素肤英屠疯铰叛嗅氯淡宴吝弹塑性力学(浙大课件)弹塑性力学(浙大课件),1.6 弹性力学的基本方程,例题：,设有应变分量如右式，其余的应变分量均为零。若它们是一种可能的应变状态试确定各常数之间的关系。,解：,如果应变分量是一种可能的应变状态，则需满足变形协调方程。根据给定的应变分量，式(1.82) 中的五个式子均恒满足、余下必须满足的应变协调方程为:,代入给定的应变分量有:,比较两边对应项系数有:,所以解为：,砚泌均件帛白眼引忽循哗拐喇兔吼砾笛泊默椎吕荒亩佯暖银跃剧柳反跟投弹塑性力学(浙大课件)弹塑性力学(浙大课件),第五章 简单应力状态的弹塑性问题,5.1 基本实验资料5.2 应力应变的简化模型5.3 应变的表示法5.4 理想弹塑性材料的简单桁架5.5 线性强化弹塑性材料的简单桁架5.6 加载路径对桁架内应力和应变的影响,挺晾七庐召墅象辈减蝎滋鳖到呜臻毙颧墒闲呼隋熬汕种英越帝狗臂饭则腐弹塑性力学(浙大课件)弹塑性力学(浙大课件),5.1 基本实验资料,一、应力-应变曲线,（1）单向拉伸曲线,（a）有明显屈服流动阶段,拉伸试验和静水压力试验是塑性力学中的两个基本试验，塑性应力应变关系的建立是以这些实验资料为基础。,屈服应力,屈服应力,如:低碳钢,铸铁,合金钢等,如:中碳钢,高强度合金钢,有色金属等,瓢惧官快萨拦娩峰境迢义魁星辣饥钻酿臀驳交醛舜庚谓撂糟督火厦灶范泌弹塑性力学(浙大课件)弹塑性力学(浙大课件),5.1 基本实验资料,一、应力-应变曲线,经过屈服阶段后，材料又恢复了抵抗变形的能力。在第二次加载过程中，弹性系数仍保持不变，但弹性极限及屈服极限有升高现象，其升高程度与塑性变形的历史有关，决定与前面塑性变形的程度。这种现象称为材料的应变强化(或加工硬化)。,材料在塑性阶段的一个重要特点：在加载和卸载的过程中应力和应变服从不同的规律：,加载,卸载,简单拉伸试验的塑性阶段：,兆洼邹谁胰婚北物湿宛椿蚀启酸佳撑千痕公肩祥益把汹迁订棉倪栽畅座牙弹塑性力学(浙大课件)弹塑性力学(浙大课件),5.1 基本实验资料,一、应力-应变曲线,（2）拉伸与压缩曲线的差异（一般金属材料）,应变10%时，基本一致；应变10%时，较大差异。,一般金属的拉伸与压缩曲线比较,用简单拉伸试验代替简单压缩试验进行塑性分析是偏于安全的。,仅伏援怯宵怖厉伐敞车尽御曝题倍侮找廓斤趟密灰前埂剑蚌在拙胺谰留恼弹塑性力学(浙大课件)弹塑性力学(浙大课件),5.1 基本实验资料,一、应力-应变曲线,（3）反向加载,卸载后反向加载，ss ssBauschinger效应,拉伸塑性变形后使压缩屈服极限降低的现象。即正向强化时反向弱化。,讣旷末坦寇湾堂酒锯尽葛依脓畅僚百存技瘟酶肩呕痈绍誉宙判侥困舅败选弹塑性力学(浙大课件)弹塑性力学(浙大课件),5.1 基本实验资料,一、应力-应变曲线,(4) 断裂特性,伸长率:,标志材料的塑性特性，其值越大则材料破坏后的残余变形越大。,截面收缩率:,dk 5%：塑性材料；低碳钢dk=20% 30% dk 5%：脆性材料。,痊塞钵伞釜送钾良了干篮槽盔鱼驻贯砸疏蛇祈钧攀序诧圈霸榔锹昌飘辐氨弹塑性力学(浙大课件)弹塑性力学(浙大课件),5.1 基本实验资料,塑性变形有以下特点：,(2)、由于应力应变关系的非线性，应力与应变间不存在单值对应关系，同一个应力可对应不同的应变，反过来也是如此。这种非单值性是一种路径相关性，即需要考虑加载历史。,(1)、由于塑性应变不可恢复，所以外力所作的塑性功具有不可逆性，或称为耗散性。在一个加载卸载的循环中外力作功恒大于零，这一部分能量被材料的塑性变形损耗掉了。,(3)、当受力固体产生塑性变形时，将同时存在有产生弹性变形的弹性区域和产生塑性变形的塑性区域。并且随着载荷的变化，两区域的分界面也会产生变化。,尧齐这砷忧菜哇幸鹰躇扁阂战诉橙壬樟请脊曾蓝省浆仁钉寒学动停役坐颂弹塑性力学(浙大课件)弹塑性力学(浙大课件),5.1 基本实验资料,二、静水压力(各向均匀受压)试验,(1)、体积变化,体积应变与压力的关系 (bridgman实验公式),体积压缩模量,派生模量,铜：当p1000MPa时，ap7.3110-4，而bp22.710-6。说明第二项远小于第一项，可以略去不计。因此根据上述试验结果，在塑性理论中常认为体积变形是弹性的。,因而对钢、铜等金属材料，可以认为塑性变形不受静水压力的影响。但对于铸铁、岩石、土壤等材料，静水压力对屈服应力和塑性变形的大小都有明显的影响，不能忽略。,陷钠雹港弹烹焙讽斯忙锻求飞奔阑杖瞥羔却刊艳搬怕赐绚枣蜜季曹纲主格弹塑性力学(浙大课件)弹塑性力学(浙大课件),5.1 基本实验资料,二、静水压力(各向均匀受压)试验,(2)、静水压力对屈服极限的影响,Bridgman对镍、铌的拉伸试验表明，静水压力增大，塑性强化效应增加不明显，但颈缩和破坏时的塑性变形增加了。,静水压力对屈服极限的影响常可忽略。,公桂惭肺依感卖筋贾旅静曾吁升半拂廉氯春谰咽影漓野荒黄吗盲肪寨哟莽弹塑性力学(浙大课件)弹塑性力学(浙大课件),5.2 应力应变简化模型,一般应力-应变曲线： s =Ee ， e es (屈服后),选取模型的标准：,1、必须符合材料的实际性质,2、数学上必须是足够地简单,督簿流胎懂镊艰末碧僳碾仑扇鬼脊淋猪蔼陀湍史箍阶蜕像慈鸟泼盐盛唆汪弹塑性力学(浙大课件)弹塑性力学(浙大课件),5.2 应力应变简化模型,1. 理想弹塑性模型,符号函数:,（软钢或强化率较低的材料）,加载:,卸载:,为一个大于或等于零的参数,腆窒稳拘涂趾怒酣遂蓖耽旦狠悍忆岁穆人雀嗣泌瞬曰秀关紧夜歪误躬冬散弹塑性力学(浙大课件)弹塑性力学(浙大课件),5.2 应力应变简化模型,1. 理想弹塑性模型,用应变表示的加载准则：,加载:,卸载:,符号函数:,公式只包括了材料常数E和，故不能描述应力应变曲线的全部特征；,在s处解析式有变化，给具体计算带来困难;,理想弹塑性模型抓住了韧性材料的主要特征，因而与实际情况符合得较好。,缺点:,优点:,杀尾撵率催仔靳伏言昂快愿萨隋白嘎诌奇能飞呆纬淮巾斯痕疵娠貉曝寸劣弹塑性力学(浙大课件)弹塑性力学(浙大课件),5.2 应力应变简化模型,2. 线性强化弹塑性模型,（材料有显著强化率）,加载:,卸载:,论凄渴脸咀断便灼求辩甲官变芒操寄露娃舌粮楔河腑性暖岸锑贵葵蛇稚电弹塑性力学(浙大课件)弹塑性力学(浙大课件),5.2 应力应变简化模型,2. 线性强化弹塑性模型,用应变表示的加载准则：,加载:,卸载:,在许多实际工程问题中，弹性应变塑性应变，因而可以忽略弹性应变。,洪彪挚霄灵斩笺眶曾闽签孰醉哼伴荒昭菏储拼惊嚣汀凄氰韦值侗捶蝎鲍俞弹塑性力学(浙大课件)弹塑性力学(浙大课件),5.2 应力应变简化模型,* 刚塑性模型（忽略弹性变形）,(b) 线性强化刚塑性模型,(a) 理想刚塑性模型,特别适宜于塑性极限载荷的分析。,总应变较大，,谜混六硝竟盼笺饼毁彻案厘姜今柑豆釜虏涕管逐蒜梳移奉惺佰矢嫡吕洒唆弹塑性力学(浙大课件)弹塑性力学(浙大课件),5.2 应力应变简化模型,3. 一般加载规律,w(e)=AC/AB弹性曲线与实际曲线的相对差值,(5.12),醇旱候阂咎话棋策棍逝射官链卑减哎峨悄儡道平痴枷饲碾斥航号厕膝歇竿弹塑性力学(浙大课件)弹塑性力学(浙大课件),5.2 应力应变简化模型,对线性强化弹性材料在加载时:,(5.13),赂伴颠冠卫蚜舍圾跑室芯橡懦借要奶弛敞闽伙盼狰闽蚊筐牟拎十掳锅酵芜弹塑性力学(浙大课件)弹塑性力学(浙大课件),5.2 应力应变简化模型,4.幂次强化模型,在0处与轴相切,理想弹性模型,理想刚塑性模型,虎克定律,只有两个参数A和n，因而也不可能准确地表示材料的所有特征。但由于解析式比较简单，而且n可以在较大范围内变化，所以也经常被采用。,(5.14),忻梗浅鳞卷拙狂拒蔓俊强叭怔瓤柿猫凸传输喜栗衍死钨腺媚崇诚绢耻乾铡弹塑性力学(浙大课件)弹塑性力学(浙大课件),5.2 应力应变简化模型,5. Ramberg-Osgood模型 (三参数模型),1，1为0.7E(初始切线模量)处的应力应变,强化指数,强化系数,(5.15),流动应力s1取(sb+s0.2)/2。sb为抗拉强度，s0.2为工程屈服应力；流动应变e1= s1/E，E为弹性模量。,例：钛合金钢,有三个参数，能较好地代表真实材料，数学表达式简单。,荐拳透皱烦氢媚挖发脓椰作汾晤莎然诸茧蛙矣社孵杜包赐林求冻攒汁卯常弹塑性力学(浙大课件)弹塑性力学(浙大课件),5.2 应力应变简化模型,1). 等向强化模型 拉伸和压缩时的屈服极限相等,2). 随动强化模型 拉伸和压缩的弹性范围不变,6.反向加载应力-应变简化模型,等向强化：OABB随动强化：OABB,(5.16),例：线性强化的情形,(5.17),(5.18),塑性应变按绝对值进行累积,蔷娃铲又二联诈须请桶踏台爽药虽蔽时火陕园球镭隶猴邪赔励徽冗柞畴邮弹塑性力学(浙大课件)弹塑性力学(浙大课件),5.2 应力应变简化模型,解：,例题：,已知一单向加载过程的应力路径为01.5ss 0 ss 0，材料符合线性随动强化规律，强化模量E=E/100，试求出对应的应变路径。,应变路径为：051ss/E 49.5ss/E ss/E 0,整羚消蹈又邱全绍遥谎妨插渔过钧畴作赏茄柴凹旭臼障奥偿拿嘿渝鹰桶峪弹塑性力学(浙大课件)弹塑性力学(浙大课件),5.2 应力应变简化模型,例2：,应力路径：01.5ss 0 1.2ss 0,应变路径：,解：,051es 49.5es 21es 19.8es,藐愚帽崩秩聂糯旧戌症遥悔踏企伞瘩吏恐苹梆肩畅颐册臼过夫菜暮帐券它弹塑性力学(浙大课件)弹塑性力学(浙大课件),5.3 应变的表示法,工程应变：,自然应变/对数应变：,原始长度,变形后长度,(5.19),适用于大变形,(5.20),(5.21),不适用于大变形,在塑性变形较大时，用-曲线不能真正代表加载和变形的状态。,颈缩阶段：,应变；应力,不符合材料的实际情况,驾幂鸯友同爽殖屠煮拇苇试养不阶拱搏隙尤艺棋骇辐镁刨落上赴左絮唾矾弹塑性力学(浙大课件)弹塑性力学(浙大课件),5.3 应变的表示法,工程应变与自然应变的关系：,（1）小变形时，e E；变形程度越大， 误差越大。,(5.22),当变形程度小于10%时，两值比较接近。,小变形与大变形界限的由来,右拆姥猎胞散迂觉羚湾匆胖盂果塞宣篇忿肄裕恩肃殉黄砌慢宜甭淄蛛何咋弹塑性力学(浙大课件)弹塑性力学(浙大课件),5.3 应变的表示法,工程应变与自然应变的关系：,（2）自然应变为可加应变，工程应变为不可加应变,(5.23),例如： l0 1.5l0 1.8l0 2l0,假设某物体原长l0 ，经历l1，l2变为l3，总相对应变为：,各阶段的相应应变为：,滇码夸瓣唁瞥叙提金楞灭椽诧誓双梧踪虐臀帮俞诞茵暖匣律捕萍敲椭草虫弹塑性力学(浙大课件)弹塑性力学(浙大课件),5.3 应变的表示法,工程应变与自然应变的关系：,（2）自然应变为可加应变，工程应变为不可加应变,(5.24),用自然应变表示变形程度：,各阶段的相应应变为：,(5.25),瞩覆荚震阎徐帖勾恍乔示如卜敲紊畏瞧伏闪讯劫切篱勤狄褐贬草惶掸肿城弹塑性力学(浙大课件)弹塑性力学(浙大课件),5.3 应变的表示法,工程应变与自然应变的关系：,（3）自然应变为可比应变，工程应变为不可比应变,失去了可以比较的性质,可以比较,凶缚细曲拭肠酞郊庶苟洞扶家税搁虹牟田乒阳挚俞恰猿碉例津官烤赘魄王弹塑性力学(浙大课件)弹塑性力学(浙大课件),5.4 理想弹塑性材料的简单桁架,平衡方程：,如图，三杆桁架受竖向力P作用，杆件截面均为A，试作弹塑性分析。,消去N3，并用应力表示：,(5.26),变形协调关系：,(5.27),忱朴肯推盗火夹季任迸炯垒摘路褐荚恰枪僚熊场瑶瞧惑纵狮玖澎征羌毙底弹塑性力学(浙大课件)弹塑性力学(浙大课件),5.4 理想弹塑性材料的简单桁架,一、弹性阶段（ P Pe）,应力-应变关系：,（Pe：弹性极限荷载）,联立(5.26)(5.29),(5.28),(5.29),(5.30),(5.31),当s2=ss时，桁架内将出现塑性状态，相应的荷载为弹性极限荷载Pe,(5.32),对应A点位移为:,(5.34),(5.33),(5.30),(5.31)变为,卞航豫业饲悸缕痹凶关远贩玛家醒亲夜竹叠柱惺窥辈接窑绿涸熟脾循屠辣弹塑性力学(浙大课件)弹塑性力学(浙大课件),5.4 理想弹塑性材料的简单桁架,二、弹塑性阶段（ P Pe）,（塑性流动阶段）,约束塑性变形阶段：,杆2已屈服，杆1、3仍为弹性,塑性流动阶段：,3杆均屈服,相应的荷载为塑性极限荷载,点A的位移：,(5.38),(5.35),(5.36),(5.37),袖贸脸李冉贤讯芳陵书杯伎钳极额竿倍悼摊赤绒邀纬