年级奥数等差数列求和（一）ppt课件.ppt

四年级竞赛班奥数,等差数列求和,一、等差数列的基本知识,什么是数列？按一定规律排列的数是一列数，可以有限，可以无限1）1、2、3、4、5、6（2）2、4、6、8、10、12（3）5、10、15、20、25、30,认识数列,观察：1，3，5，7，9，19,第一项,第二项,第四项,第三项,第五项,第十项,首项,末项,项数,（二）等差数列的基本知识,（1）1、2、3、4、5、6 （2）2、4、6、8、10、12 （3）5、10、15、20、25、30,（公差=1）（公差=2）（公差=5）,通过观察，我们可以发现上面的每一个数列中，从第一项开始，后项与前项的差都相等的，具有这样特征的数列称为等差数列，这个差称为这个数列的公差。,二、等差数列的项,数列：1、3、5、7、9、11,第2项： 3=1+2 首项+公差1（2-1）第3项： 5=1+2 2 首项+公差2（3-1）第4项： 7=1+2 3 首项+公差3（4-1）第5项： 9=1+2 4 首项+公差4（5-1）第6项： 11=1+2 5 首项+公差5（6-1）,等差数列的通项公式：等差数列的某一项=首项+公差（项数-1）等差数列的末项=首项+公差（项数-1）等差数列的首项=末项-公差（项数-1）适用条件：该数列一定要为等差数列,等差数列的某一项=首项+公差（项数-1）,例1 已知数列2、5、8、11、14求：（1）它的第10项是多少？ （2）它的第98项是多少？ （3）这个数列各项被几除有相同的余数？,分析：首项=2 公差=3解：（1）第10项： 2+3 （10-1）=29 （2）第98项： 2+3 （98-1）=293,等差数列的某一项=首项+公差（项数-1）,例1 已知数列2、5、8、11、14求：（3）这个数列各项被几除有相同的余数？,分析： 被除数=余数+除数商 等差数列的某一项= 2+ 3（项数-1） 规律： 等差数列的某一项与被除数相对应，首项与余数相对应，公差与除数相对应，（项数-1）与商相对应。 这个数列每1项除以3都余2。 等差数列的每1项除以它的公差，余数相同。答：这个数列第10项是29；第98项是293；这个数列各项除以3余数相同。,例2 已知数列2、5、8、11、14、17302，这个数列有多少项。,分析：第2项比首项多1个公差，第3项比首项多2个公差，第4项比首项多3个公差，那第n项比首项多（n-1)个公差。,规律：末项比首项多的公差的个数，再加上1，就得到这个数列的项数。 等差数列的项数= 公差个数 + 1 =（末项-首项）公差 + 1这个数列的项数= （302-2）3+1=101,小结：,等差数列项的有关规律,等差数列的某一项=首项+公差（项数-1）等差数列的每1项除以它的公差，余数相同。等差数列的项数=（末项-首项）公差+1,练习,1、一串数：1、3、5、7、9、49。（1）它的第21项是多少?（2）这串数共有多少个？2、一串数：2、4、6、8、2008。（1）它的第25项是多少?（2）这串数共有多少个？3、一串数：101、102、103、104、199。（1）它的第30项是多少?（2）这串数共有多少个？4、一串数：7、12、17、22。（1）它的第60项是多少?（2）这个数列各项被几除有相同的余数？,练习答案：,1、它的第21项=1+2（21-1）=41； 这个数列的项数= （49-1）2+1=25；2、它的第25项=2+2（25-1）=50； 这个数列的项数= （2008-2）2+1=1004；3、它的第30项=101+1（30-1）=130； 这个数列的项数= （199-101）1+1=994、它的第60项=7+5（60-1）=302； 这个数列各项被5除有相同的余数。（提示：等差数列的每1项除以它的公差，余数相同。）,二、等差数列的和,例：6 + 10 + 14 + 18 + 22 + 26 + 30 + 34 + 38,分析：这是一个等差数列；首项=6，末项=38，公差=4,原数列的和：6 + 10 + 14 + 18 + 22 + 26 + 30 + 34 + 38倒过来的和：38+ 34+ 30 + 26 + 22 + 18 + 14 + 10 + 6 44 44 44 44 44 44 44 44 44两数列之和=（6+38）9解：原数列之和=（6+38）92 =4492 =198,等差数列的和=（首项+末项）项数2,例：计算1 + 6+ 11 + 16 + 21+ 26 +.+ 276,分析：这是一个等差数列；首项=1，末项=276，公差=5,等差数列的和=（首项+末项）项数2 ？ 等差数列的项数=（末项-首项）公差+1,解：等差数列的项数：（276-1）5+1=56（项） 原数列之和=（1+276）562 = 27728 =7756,练习,1、计算（1）7+10+13+16+19+22+25+28+31+34+37（2）7+11+15+19+.+403（3）9+19+29+39+.+99（4）1+3+5+7+.+99,练习答案：,解：（1）这是一个等差数列；首项=7，末项=37，公差=3, 项数=（37-7）3+1=11 和=（7+37）112=242（2）这是一个等差数列；首项=7，末项=403，公差=4， 项数=（403-7）4+1=100 和=（7+403）1002=20500（3）这是一个等差数列；首项=9，末项=99，公差=10， 项数=（99-9）10+1=10 和=（9+99）102=540（4）这是一个等差数列；首项=1，末项=99，公差=2， 项数=（99-1）2+1=50 和=（1+99）502=2500,例 1998+1997-1996-1995+1994+1993-1992-1991+198+197-196-195,例 计算 (1+3+5+7+2003)-(2+4+6+8+2002),例,例,例 计算 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+9+8+7+6+5+4+3+2+1,例 计算 1+3+5+7+9+11+13+15+17+19,