流体力学辅导教案.docx

流体力学辅导教案课程名称：流体力学学时：36（适用于土木、环境工程）教材：水力学，中国水利水电出版社，迟耀瑜，1999年12月版参考书：1.水力学，人民教育出版社，清华大学水力学教研组编，1981年7月版2.水力学，高等教育出版社，成都科技大学水力学教研室编，1983年6月第二版水力学是一门技术基础课，也是水利工程、土木工程、环境工程、交通工程、建筑工程等专业的必修课程。学习水力学课程必须具备物理学、理论力学和材料力学等基础知识。通过本课程的学习，要求能掌握液体平衡和液体运动的基本概念、基本理论和分析方法，能正确区分不同水流的运动状态和特点，掌握水流运动的基本规律，能解决实际工程中有关管流和明渠流的常见水力学问题，为今后学习专业课程、从事专业技术工作打下良好的基础。第一章 绪论绪论部分授课学时为2个学时。基本要求：正确理解液体的五种主要物理性质，重点掌握粘滞性的有关概念。弄清连续介质和理想流体的概念，了解作用于流体上的力的分类及其各种力的含义。基本概念：连续介质液体密度液体容重液体的粘滞性、运动粘度、动力粘度液体的压缩性、体积压缩系数、弹性系数液体的膨胀性、体积膨胀系数表面张力、毛细现象理想液体（非粘性液体）实际液体（粘性液体）表面力、压应力（压强）质量力（体积力）、单位质量力重点掌握：连续介质的概念液体的粘滞性液体的压缩性、液体的膨胀性概念表面力、质量力（体积力）、单位质量力的概念基本内容：水力学是研究液体的力学性质的一门科学。水力学的任务是研究液体的平衡和机械运动的规律及其实际应用。水力学是力学的一个分支，水力学符合力学三大定律，即质量守恒定律、动量守恒定律和能量守恒定律。从学科的角度来看，水力学是介乎基础科学和工程技术之间的一门技术科学。一方面根据基础科学中的普遍规律，结合水流特点，建立理论基础，同时又紧密联系工程实践，发展学科内容。水静力学、水动力学水力学所研究的基本规律，有两大主要组成部分。一是关于液体平衡的规律，它研究液体处于静止（或相对平衡）状态时，作用于液体上的种种力之间的关系，这一部分称为水静力学；二是关于运动的规律，它研究液体在运动状态时，作用于液体上的力与运动要素之间的关系，以及液体的运动特性与能量转换等等，这一部分称为水动力学。研究对象自然界的物质一般有三种存在形式，即固体、液体和气体。液体和气体统称为流体。固体由于其分子间距离很小，内聚力很大，所以它能保持固定的形状和体积。它能承受一定数量的拉力、压力和剪切力。而流体则不同，由于其分子间距离较大，内聚力很小，它几乎不能承受拉力，抵抗拉伸变形；在微小剪切力作用下，流体很容易发生变形或流动，所以流体不能保持固定的形状。液体与气体两者相比，液体分子内聚力却又比气体大得多，因为液体分子间距离较小，密度较大，所以液体虽然不能保持固定的形状，但能保持比较固定的体积。一个盛有液体的容器，若其容积大于液体的体积时，液体就不会充满整个容器，而具有自由表面。气体不仅没有固定的形状，也没有固定的体积，极易膨胀和压缩，它可以任意扩散直到充满其所占据的有限空间。而液体的压缩性很小。气体和液体的主要区别就是它们的可压缩程度不同，但当气流速度远比音速为小的时候，在运动过程中其密度变化很小，气体也可视为不可压缩，此时水力学的基本原理也同样可适用于气流。水力学虽以水为主要研究对象，但其基本原理同样适用于一般常见的液体和可以忽略压缩性影响的气体。水力学的基本内容不但在水利建设方面有着广泛的应用，并且在许多国民经济部门，如城市建设及环境保护、机械制造、石油开采和输送、金属冶炼和化学工业等也都需要应用水力学知识。第一节 液体基本特征及连续介质液体基本特征液体与固体的差异是几乎不能承受拉力，抵抗拉伸变形；在微小剪切力作用下，液体很容易发生变形或流动，或者说，静止液体不能抵抗剪切应力。所以液体不能保持固定的形状并具有流动性；液体能保持比较固定的体积并具有自由表面；液体的压缩性很小。连续介质液体的真实结构是由彼此之间有空隙并在进行复杂的运动的大量液体分子所组成的聚集态。由于水力学的任务并不是研究液体分子的运动，而是研究整个液流的宏观机械运动，因此在水力学中引入了连续介质的假定，即认为液体是由连续的液体质点所组成，这些液体质点完全充满所占空间，没有空隙存在，其物理性质和运动要素都是连续分布的。引入连续介质假定有两个目的：能摆脱复杂的分子运动，而着眼于实际所关心的宏观机械运动，能充分利用连续函数这一数学工具，对液体的运动规律进行理论分析。工程上所研究的液体尺度远比液体的分子尺度大得多，这一假设对大多数液流的情况是适用的。必须指出，当所研究的液体尺度接近分子尺度时，如很稀薄的气体，连续介质的假设便不能适用。第二节 液体主要物理性质惯性惯性惯性就是物体所具有的反抗改变原有运动状况的物理性质。液体同其他物体一样，也具有惯性。惯性的大小用质量来度量。当液体受外力作用使运动状态发生改变时，由于液体的惯性引起对外界抵抗的反作用力称为惯性力。设物体的质量为，加速度为a，则惯性力为 a 式中负号表示惯性力的方向与物体的加速度方向相反。密度密度是指单位体积的液体所含有的质量。液体的密度常以符号表示，若一均质液体质量为，体积为，则 当液体为非均质时，则某点密度 密度随温度和压强而变化，但在常温常压范围内变化不大。万有引力特性液体在地球引力场内受到引力作用，其重力为： g式中，g为重力加速度，其值取9.80m/s2。容重：单位体积的液重叫容重，以表示。 g工程上常采用水的容重9.80kN/m3、水银容重m=133.3kN/m3为其计算代表值。粘滞性粘滞性我们知道，液体在静止时，不能承受剪切应力，一旦液体受到切力作用时，会不断发生切向变形而流动，此时液体会显示出抵抗切向变形的能力，也就是液体处于运动状态时，液体质点间存在着相对运动，则质点间就会产生内摩擦切应力与作用切力相抗衡，这一性质称为液体的粘滞性。此内摩擦力又称为液体的粘滞力粘滞性主要来自液体分子间的内聚力，是质点间的一种内在联系，粘滞力阻滞质点间的相对位移，并使其流速分布具有连续性。并且液体在流动时，必须不断克服其内摩擦切应力而消耗自身的机械能，这一现象是水力学研究的重点。粘滞性大小因液体而异，水的粘滞性远小于甘油。动力粘度表示粘滞性大小的物理量，用动力粘度表示，单位为牛顿·秒/米（·s/m2）。又N/m2称为帕斯卡，简称“帕”，以“Pa”表示，则·s/m2亦可写作Pa·s，称为帕斯卡·秒或帕·秒。运动粘度水力学中通常以运动粘度来表示液体的粘滞性大小，它与的关系为： /式中为液体的密度。的单位为m2/s，它是运动量纲，故称运动粘度。又0.0001m2/s=1cm2/s，称作1“斯托克斯”。水的粘度随温度而变化，温度上升其粘度减小。压缩性与膨胀性压缩性液体的体积因压强的变化而改变，称为压缩性。液体压缩性的大小可用体积压缩系数p或弹性系数k来表示，其定义为： 或 式中，dp为压强增量，dV/V为液体体积变化率，式中负号是为了使p为正值而加。100C时，水的p=4.76×10-10m2/N，即每增加一个大气压强其体积压缩率dV/V1/20000，这一数值很小，故一般情况下可以不考虑水的压缩性。膨胀性液体的体积因温度的变化而改变，称为膨胀性。液体的膨胀性可用体积膨胀系数t来表示： 式中dT为温度增量。在200C常温下，水的t=150×10-6(1/0C)，故通常亦不考虑其膨胀性。在供热系统中，因水温变幅较大，如水在800C和1000C时与40C相比，其密度（体积）的变化率-/(=V/V)分别为2.82%和4.16%，为防止胀裂容器或管道，应给膨胀水体以出路。液体表面特性液体与气体间的分界面，即液体的自由液面，其表面特性在某些情况下应予考虑。表面张力自由液面附近的液体受到来自气体和液体内部的引力，但液体一侧的引力较大，在引力差作用下，自由液面的液体呈现出收缩和承受张力的性质，即具有表面张力特性。也就是说，由于受内、外两侧分子引力不平衡，使自由液面上液体分子受有极其微小的拉力。表面张力只存在于液体的自由表面，液体内部并不存在。表面张力以表面张力系数表示，是指在自由面单位长度上所受拉力的数值，单位为N/m，其值与液体种类及温度有关。毛细现象液体与气体、固体交界处，在液体的附着力、内聚力和表面张力作用下，液体自由表面可以沿固体壁面上升或下降，呈现凹（凸）液面，由于这一现象在毛细管中特别明显，称毛细现象。下面给出200C时水和水银在洁净玻璃毛管中的毛细管高度近似计算公式： 水 h=29.8/d (mm) 水银 hm=10.15/d (mm)式中d为毛管内径，以mm计。对水和水银来说，当d>20mm和d>15mm时，其毛细管高度可以忽略不计。汽化性汽化：液态转化为汽态称为汽化。蒸发：汽化在液体表面上发生时称为蒸发。沸腾：汽化在液体内部发生时称为沸腾。沸腾时，液体内部产生许多小汽泡，从而破坏了液体的连续性。沸腾时的温度称为沸点，此时蒸汽压强称为饱和蒸汽压，以pv表示。水在沸点100 C时的饱和蒸气压为1个大气压，饱和蒸气压越低，水的沸点越低。空化：水力学称沸点低于1000C时的沸腾为空化。空穴：运动液体各点压强不同，有的部位压强可能大大低于大气压强，因而会在常温下发生空化。空化处发生大量气体（或蒸汽）空泡，这一现象称为空穴。所以空穴发生在水流低压区。空蚀现象：在发生空穴处的下游高压区，往往因空泡的溃灭引起过流壁面的剥蚀破坏，即所谓空蚀现象。工程中均需采取各种措施来避免这一现象或破坏的发生。第三节 非粘性液体在研究液体运动规律时，一般仅须考虑其惯性、万有引力特性和粘滞性。但由于粘滞性所产生的内摩擦切应力，使水流受力变得复杂，许多情况下难以进行理论上的分析研究和求解，为此引入非粘性液体或理想液体的概念。非粘性液体（理想液体）非粘性液体是没有粘滞性的液体，但它仍保留使液体流速具有连续分布的性质。粘性液体（实际液体）相对地，称具有粘滞性的液体为粘性液体或实际液体。第四节 作用于液体上的力作用于液体上的力很多，按性质可分为重力、惯性力、弹性力、内摩擦力以及表面张力等。它们分别对液体运动规律有着不同的影响。这些力按其作用方式分为表面力和质量力两类。一 表面力表面力：表面力连续作用于液体的表面，表面力又可分解成垂直和平行于作用面的压力和切力。表面力如边界对液体的反作用力，再如液体质点之间的作用力在作用面上的表现。压强：单位面积上的压力称为压强，又称为压应力。以p表示。切应力：单位面积上的切力称为切应力。以表示。下面给出它们的定义，如图所示液体平面上作用着连续分布的压力，在上任取一微小面积A，其上压力的合力为P，则某点压强的定义为： 若用作用面上总压力比上作用面积，则为作用面上的平均压强pPA 同理某点切应力的定义为： 作用面A上的平均切应力T/A二 质量力质量力（体积力）质量力连续作用于液体质点上，其值与液体的质量成正比，对均质液体其质量力与体积成正比，故又称为体积力。设某液体的质量为、质量力为，则单位质量力f为： fFM (m/s2)f的矢量式为： fXi+Yj+Zk式中，、为单位质量力在坐标x、y、z上的投影。其单位为m/s2与加速度单位相同。第二章 水静力学水静力学授课学时为4个学时。其中第一至第四节为2个学时，第六、第七节为2个学时，第五节、第八节不作要求。实验学时为2个学时，实验内容为静水压强实验。基本要求：了解静水压强特性，等压面，绝对压强与相对压强，水头与单位势能等基本概念。了解压强测量的基本方法和压强的各种表示方法。会使用重力作用下流体静压强的基本公式求解任意点的流体静压强。能正确绘制静水压强分布图和压力体图，能利用该图或基本公式求解作用于平面上和曲面上的静水总压力的大小，方向及其作用点。基本概念：静水压强的特性等压面势函数、等势面绝对压强相对压强真空压强、真空度压力中心压力体重点掌握：静水压强的计算，静水压强分布图绝对压强、相对压强及真空压强的关系用等压面的概念计算压强或压强差平面静水总压力的计算（包括任意形状的平面用公式计算及矩形平面用图解法计算）压力体的概念及曲面静水总压力的计算详细内容：水静力学的定义：研究液体在静止状态下的力学规律及其应用。静止液体的特点：静止液体不能承受切力，其质点间没有相对位移，故不显示粘滞性，也不存在切应力。仅有压强与外力相平衡。因此，在研究水静力学问题时，理想液体与实际液体都是一样的。第一节 静水压强的特性静止液体质点间相互作用着垂直并指向作用面的静水压强，且某点的压强值与方向无关。即：静水压强方向垂直并指向作用面，压强值与方向无关。在静止液体中M点附近取微分四面体为脱离体，为方便起见，可取成如图形式，即三个正交面与坐标面平行，棱长分别为dx、dy、dz，ABC为任意方向倾斜面，其面积为dAn，其外法线n的方向余弦cos(n,x)、cos(n,y)、cos(n,z)。微分四面体MABC上受力包括表面力和质量力，其表面上的压强各为px、py、pz、pn，表面力为Px=1/2·dydz·px，Pn=pndAnPn在x轴向的分量Pnx=Pncos(n,x)=pndAn·cos(n,x)=1/2·dydz·pn微分体的质量力为F，在x、y、z轴上的投影分量为Fx、Fy、Fz，则Fx=dV·X=1/6·X·dxdydz由x方向平衡条件PxPnxFx0即1/2·pxdydz1/2·pndydz1/6·dxdydz·X0当dx、dy、dz时，忽略高阶微量，有pxpn。同理：pypn，pzpn此即表明，当四面体无限缩小至一点时，各方向的静水压强均相等。第二节 静止液体平衡微分方程式一 静止液体平衡微分方程式在静止液体中任取一微分正六面体，由x、y、z方向的平衡得二 等压面等压面：液体中各点压强相等的面为等压面。如自由液面和不同液体的分界面等皆为等压面。等压面具有下列性质： 等压面亦为等势面。 等压面上各点质量力与等压面垂直正交。第三节 重力作用下静水压强基本方程式当液体为绝对静止时，其质量力仅为重力，这是工程中最常见的情况。其静水压强基本方程式如下： 式中 p0为表面压强；h为某点在液面下淹没深度，简称水深。该式表明，静止液体某点压强为表面压强与该点以上液柱重量之和。由基本方程式还可得出以下几点结论：1. 表面压强变化p0时，液体各点压强均相应变化p0值，这一规律叫作帕斯卡原理。2. 式中p0及皆为常数，故p与水深h成线性关系。3. 等压面为水平面。4. 两点间压强差等于两点间垂直液柱重量，即： p1-p2=(h1-h2)=h应当指出，在应用上述规律时，液体应满足均质和连续条件。另外，如液体表面为自由液面时，p0往往等于大气压强pa，一个工程大气压强pa等于98.0kN/m2。第四节 绝对压强、相对压强、真空压强及其量测一 绝对压强、相对压强、真空压强绝对压强 某点实际压强叫作绝对压强。以pabs表示，即pabsp0+h0相对压强 某点绝对压强pabs>pa时，则定义该点的相对压强pr ：pr=pabs-pa 当pabs中pa= p0 时，pr=h。真空压强 某点绝对压强pabs<pa时，则定义该点的真空压强pv为： pv=pa- pabs工程上常称pv为真空或负压，亦常用真空度hv来表示某点真空压强的大小。 hv=pv/ m(液柱) 式中为液体的容重。当pabs=0时，pv具有最大值，其最大真空度hvmax=pa/=10m(水柱)。二 压强的测量1. 测压管当某点pabs>pa时，可用一上端开口，下端与液体相通的竖直玻璃管测量压强，如图。该管称为测压管。在测压管内液体静止后，可量出测压管内水柱高度hA，则点压强：pAabs=pa+hA 及pAr=hA此方法只适用于点压强不太大的情况。2. 形测压计当某点压强较大或出现真空时，可以用形测压计测其压强。3. 形差压计如需测两点间的压强差值，可用形差压计来量测。第五节 液体相对静止不作要求第六节 平面静水总压力挡水建筑物在计算其稳定和强度及水工闸门启闭力时，需考虑作用在受压面上的静水总压力，该力具有大小、方向和作用点三要素。在计算静水总压力时，又将其分为平面和曲面两种情况。本节介绍平面静水总压力。1. 平面静水总压力. 静水总压力的大小和方向设任意形状的平面A承受水压力，该平面与水平面夹角为，为方便起见，选A平面的延展面与水面交线OE为x轴，A平面上与OE垂直的OF为y轴，为了计算P的大小，将面积A分为无限多个微小面积dA。对任意dAi，设其形心处水深为hi，则dAi上静水总压力为dPi=hidAi，由于平面上dPi各皆垂直于作用面，作用面为平面，故各dPi为平行力系，可用积分法求作用面的合力P 又hi=yi sin，则此积分A y·dA在理论力学中学过，为面积A对OX轴的面积矩。由理论力学知，A y·dAycA，即面积A对x轴的面积矩等于面积A的形心距x轴的距离与面积的乘积。则P=sinycA=hcA 或P=pcA由此可知，静水总压力的大小为受压面形心处的静水压强pc与受压面积A之乘积。方向必然与受压平面垂直正交。形心点压强，可理解为整个平面的平均静水压强。这样，P的大小、方向已确定，下面继续推求P的作用点。. 静水总压力的压力中心静水总压力的作用点，在水力学中称为压力中心。推导如下，由力矩原理知，合力对任一轴的等于各分力对该轴力矩的代数和。按此原理，取合力P对x轴的力矩可求出作用点距x轴的距离，即压力中心的y坐标值yD，对y轴取矩，得压力中心的xD。先对x轴：那么合力P对x轴的力矩应等于各微分面积上的压力hidAi对x轴的力矩和。由理论力学，分子Ayi2dAi为平面A对x轴的惯性矩，以Ix表示。根据移轴关系，有Ix=Ixc+yc2A，其中Ixc为面积A对通过其形心且与x轴平行的轴（叫形心轴）的惯性矩。代入上式则压力中心处水深hDyDsin由此可以看出，压力中心位于形心的下方。这是因压强上小下大分布不均所造成的。由于工程上受压平面一般均为对称图形，静水压强分布沿纵向对称轴左右对称，故D点必落在纵向对称轴上，无须计算压力中心的xD值。表21为常见受压平面图形。2. 矩形平面静水总压力的图解法由于矩形平面的形状规则，在水工一最为常见。计算矩形平面上所受的静水总压力较方便的方法是利用静水压强分布图。. 压强呈三角形分布情况当矩形受压平面上端与水面接触时，其静水压强呈三角形分布，推导如下：设矩形宽度为b，长度为L，在矩形平面上任取一水平微分面积dAi=bdLi（微分条），其上静水总压力为dPi=hidAi，对其进行积分，有式中，x为三角形压强分布图面积，也为单位宽度上的静水总压力。总压力P的作用线通过压强分布图的形心。由上式可知，静水总压力P为三角形压强分布图面积x与矩形宽度b乘积。即P=1/2·bHL，压力中心为2L/3处（从上端量起），如矩形受压平面为铅垂时，则P=bH2/2及yD=2H/3. 压强呈梯形分布情况当矩形受压平面的压强呈梯形分布时，如图213，据上述概念可以求出值和压力中心位置：其结论依然成立。即静水总压力大小为压强分布图的面积x与矩形宽度b乘积。P=bx（h1+h2）Lb，其作用线通过面积图的形心。第七节 二向曲面静水总压力工程上，受压曲面多为二向曲面，如弧形闸门或圆形容器等，本节仅介绍二向曲面静水总压力的计算方法。如图为一宽度b的弧形闸门B及其压强分布图。由于曲面上压强互不平行，故不能像平面问题直接积分求解，通常的做法是在曲面上取微分面积dA，在其上作用有dPhdA，方向垂直dA面，对dP的投影进行积分，即可求出的投影分力Px、Pz，然后合成。推导如下，dPhdA 其x轴方向（即水平方向）和y轴方向（即垂直方向）的投影分量为dPxhdA·coshdAxdPzhdA·sinhdAzdPx、dPz为平行力系，可积分求合力：水平分力：由上式可知，此积分意义为垂直矩形受压面Ax的静水总压力，即：Px=hcAx 或Px=bx(x为垂直面Ax上的压强分布图面积)垂直分力： 或Pz=Vz可见在水平方向的分量x，其计算方法同前面的矩形平面，垂直方向分量z可用压力体求解。Vz=bz称为压力体，它是由二向曲面周边向上作铅垂面，与自由液面或其延长面所围成的体积。z等于压力体内液体的重量，其作用线通过压力体内液体的重心，对均质液体则通过其形心。 z的计算关键是如何确定压力体的面积z。关于z的方向，由图可知，当压力体内无水（或压强与压力体在曲面AB两侧），称为正压力体，z方向向上；反之，称为负压力体，z向下。上述结论应与曲面上压强方向相联系来理解。由x和z可以求出二向曲面静水总压力的大小和方向： 方向式中为P与水平线的夹角。压力中心点位置，可以通过x、z矢量合成求出的作用线，该线与二向曲面的交点即为压力中心。第三章 水动力学理论基础水动力学理论基础授课学时为6个学时，其中第一、二、三节为2个学时，第四、六、七节为2个学时，第八、九节为2个学时，第五节和第十节不作要求。实验学时为2个学时，实验内容为水流能量转换试验。基本要求：理解描述流体运动的两种方法，流线和迹线的概念，掌握恒定流与非恒定流、均匀流与非均匀流、渐变流与急变流的定义及其区别。熟练掌握连续方程，能量方程，动量方程的基本形式，物理意义和应用条件，能单独或联立上述方程分析和解决具体的流体力学问题。基本概念：拉格朗日法欧拉法时变加速度位移加速度恒定流、非恒定流一元、二元、三元流有压流、无压流、射流流线迹线流管元流总流过水断面湿周水力半径流量断面平均流速均匀流、非均匀流渐变流急变流位置水头、压力水头、流速水头、测压管水头、总水头、水头损失(21)水力坡度重点掌握：欧拉法描述水流运动的思想，流线的概念恒定与非恒定流，均匀与非均匀流，有压流与无压流的概念熟练掌握恒定总流的三大方程式（质量、能量、动量），特别是能量方程式，是水流的能量守恒方程式，要彻底理解方程式中各项的水力学意义，即各种水头的水力学意义。详细内容：液体流动时质点间发生位移、液体变形，在克服内摩擦力的同时消耗自身的机械能。动水压强的性质和分布规律也与静水不同，就性质而言，动水压强的大小和方向有关，为简化和实用起见，水力学采用了平均值的概念，即以三个坐标方向压强的平均值作为该点动水压强，因此动水压强又与方向无关而具标量性质。水动力学理论是研究液体运动要素之间的内在联系及其随时空变化的规律。第一节 研究液体运动的两种方法研究方法对液体运动规律的研究，是十分重要的。目前有两种研究方法，即拉格朗日法和欧拉法。拉格朗日法拉格朗日法是从研究每个液体质点运动规律出发，而获得液流总体的运动规律，此法为熟知的质点系法。由拉格朗日法可以得出质点运动的迹线。欧拉法欧拉法是研究液体运动空间各点运动要素的变化规律，是通过研究运动要素场的变化来获得液体运动规律。运动要素是坐标和时间的函数，以流速为例，若令x、y、z为常数，t为变数，则可求得在某一固定空间点上，液体质点在不同时刻通过该点的流速的变化情况；若令t为常数，x、y、z为变数，则可求得在同一时刻，通过不同空间点上的液体质点的流速的分布情况。加速度应当是坐标和时间的复合函数等号右侧第一项表示某点流速随时间的变化率，称为时变加速度；其他各项则表示因坐标位置的改变而产生的加速度，称为位移加速度，这表明某点的加速度是时变和位移加速度之和。注意，我们以前对加速度的概念没有位移加速度，因为我们以前研究的是质点或刚体的加速度，是与拉格朗日的概念相同；而我们现在是用欧拉法研究空间点的加速度。第二节 液体运动微分方程式、连续性微分方程式非粘性液体运动微分方程式由水静力学知，当微分正六面体受力不平衡时，必然产生加速度，故推导的静止微分平衡方程式变为下列形式：由y、z方向亦可例出类似方程。粘性液体运动微分方程式对粘性液体来说，作用在微分正六面体的力，除质量力和动水压强外，还应有内摩擦切应力。下面直接给出在不可压缩条件下，粘性（实际）液体的运动微分方程式，此方程式又称纳维司托克斯方程。液体运动连续性微分方程式如要使方程式封闭，必须补充一个方程式。此方程式由质量守衡定律推出。取一微分正六面体，形心处流速u的投影为ux、uy、uz。设流体为恒定不可压缩（=常数），则在dt时段内流入和流出六面体的液体质量相等。由此即可推出恒定不可压缩液体的连续性微分方程式。其方程为第三节 液体运动的分类恒定流与非恒定流恒定流与非恒定流的区别，在于运动要素的变化是否与时间有关。恒定流：运动要素均与时间无关，仅为坐标的函数。即公式中对时间求偏导的式子 皆为零。非恒定流：运动要素变化与时间有关。一元、二元、三元流动一元流：运动要素仅随一个坐标或流程而变化时，称为一元流。如很长的管道中的水流。二元流：运动要素为两个坐标的函数时，称为二元流或平面运动。如溢流坝的泄流，沿坝轴线方向运动要素不变。三元流：运动要素为三个坐标的函数时，称为三元流或空间运动。有压流、无压流和射流有压流：水流过水断面周界全部为固体边界所限定时，称为有压流。如管流。无压流：水流过水断面部分被固体边界所限，并且具有自由表面，这种情况称为无压流。如渠道水流。射流：过水断面周界全部与液体（水或空气）相接触时称为射流。如高压水枪。第四节 液体束状流动基本概念流线本章一开始，我们就讲了描述液体运动有两种不同的方法，即拉格朗日法和欧拉法。拉格朗日法是研究个别液体质点在不同时刻的运动情况，欧拉法是考察同一时刻液体质点在不同空间位置的运动情况，前者引出了迹线的概念，后者引出了流线的概念。某一液体质点在运动过程中，不同时刻所流经的空间点所连成的线称为迹线，即迹线就是液体质点运动时所走过的轨迹线。按欧拉法，在流速场中任一点，如点可以引出一条代表各点流速方向的曲线，此线即为流线。流线与迹线不同，它是某一瞬时在流场中绘出的一条曲线，在该曲线上所有各点的速度向量都与该曲线相切。所以流线表示出了瞬间的流动方向，或者说，在流线上某点的切线方向就是该点的流速方向。流线的确定方法如下：设在某时刻t1流场中有一点A1，该点的流速向量为u1如图，在这个向量上取与A相距为s1的点A2；在同一时刻，A2点的流速向量设为u2，在向量u2上取与A2点相距为s2的点A3；若该时刻A3点的流速向量为u3，在向量u3上再取与A3相距为s3的点A4，如此继续，可以得出一条折线A1、A2、A3、A4，若让所取各点距离s趋近于零，则折线变成一条曲线，这条曲线就是t1时刻通过空间点A1的一条流线。同样，可以作出t1时刻通过其他各点的流线，这样一族流线就反映了t1时刻流场内的流动图象，如果水流为非恒定流，当时刻变为t2时，又可以重新得到在t2时刻的一族新的流线，反映流场流动图象的流线也就改变了。所以对于非恒定流，流线只具有瞬时的意义。流线具有如下基本特征：恒定流时，流线的形状和位置不变，非恒定流时则与此相反。恒定流时流线与迹线重合。解释如下：如图，假定A1、A2、A3、A4近似代表一条流线，在时刻t1有一质点从A1开始沿着u1运动，t2时刻到达A2，但恒定流流线形状、位置均不改变，故质点到达A2点后沿u2方向运动，以此类推，质点沿着A1、A2、A3、A4运动，即沿着流线运动，故流线与迹线重合。流线为一条光滑曲线，它不能折曲、分叉或相交，否则有悖于流线的定义。流管、元流和总流流管：在流场中任取一微分面积dA，由面积dA的周边各点引出的流线形成一管状曲面，即为流管。元流：充满流管的一束液流称为元流或微小流束。按照流线不能相交的特性，微小流束内的液体不会穿过流管的管壁向外流动，流管外的液体也不会穿过流管的管壁向流束内流动。由于微小流束的横断面积是很小的，因此元流过水断面上各运动要素的分布可看作是均匀的，所以元流是一维流动。总流：水流的整体或全部元流的汇合称为总流。也就是说，一定大小尺寸的实际水流就是总流。总流可以看作是由无限多个微小流束所组成。过水断面、湿周、水力半径、流量和平均流速过水断面：与元流和总流流线垂直正交的断面称为过水断面，分别以dA和A表示其面积，称为过水断面面积。过水断面可为平面或曲面。当流线互相平行时，过水断面为平面，否则就为曲面。湿周：过水断面周界上具有内摩擦力存在的部分称为湿周。通常仅考虑水流与固体接触的周界长度为湿周，以表示。所以，湿周就是在过水断面上水流与固体边界接触的长度。举例：水力半径：过水断面与湿周之比称为水力半径，以表示，即R=A/ 水力半径的大小表示在过水断面相等条件下，湿周对水流阻力的影响程度。水力半径越大，相同过水断面下，周界对水流阻力越小。流量及平均流速：1. 流量指单位时间流过过水断面的液体体积，以表示，常用单位为m3/s。设在总流中任取一元流，其过水断面积为dA，其上各点流速可认为相同，设为u，因过水断面垂直于水流方向，故单位时间内通过过水断面dA的液体体积为：udA=dQ，dQ即为元流的流量。故总流流量应等于无限多个元流的流量之和，即总流流量为： 2. 断面平均流速：计算总流的流量时需要知道断面的流速分布，而一般情况下流速分布都较复杂，难以积分，而且在实际应用中，有时并不一定需要知道流速分布，只要了解断面的平均流速，因此引入过水断面上流速的平均值概念，其定义为 由此可得总流流量为：Q=Av均匀流、渐变流和急变流根据流线分布形状沿流程的变化，可以将水流分为均匀流和非均匀流。均匀流：流线为相互平行的直线，它为水流运动最简单的情况。恒定流是相对于时间的概念，而均匀流是相对于空间的概念。直径不变的直线管道中水流就是典型的均匀流的例子。均匀流的主要特性为：1. 过水断面为平面，其大小和形状沿流不变。2. 过水断面上流速分布，同一条流线上各点的流速，以及断面平均流速均沿流不变。3. 过水断面上动水压强的分布规律与静水压强的分布规律相同。即沿水深为直线分布。这一特性书上有证明。非均匀流：与均匀流相对应，当水流的流线不是相互平行的直线时，即为非均匀流。对非均匀流来说，可以根据流线间夹角和曲率半径R的大小，将非均匀流分为渐变流和急变流。1. 渐变流：当流线间夹角很小、曲率半径很大时，称为渐变流。2. 急变流：急变流与渐变流不同，流线间夹角大或者曲率半径小，在宏观上就是水流变化比较剧烈，此时水流位移加速度及其所产生的惯性力不能忽略，因而过水断面上动水压强不按静水压强规律分布。例如书中p.50图313。实际水流见图314。第五节 系统、控制体及控制体方程不要求第六节 不可压缩、恒定总流连续方程式液体运动必须遵循质量守恒的普遍规律，液流的连续性方程式就是质量守恒定律的一种特殊形式。现推导如下：今在恒定流中取出一段微小流束来研究。令过水断面11的面积为dA1，过水断面22的面积为dA2，相应的流速为u1与u2 如图。由于恒定流中微小流束的形状和尺寸是不随时间而改变的，且通过微小流束的侧壁没有液体流入或流出。有质量流人或流出的，只有两端过水断面。在dt时段内，从11断面流入的液体质量为1u1dA1dt，从断面22流出的液体质量为2u2dA2dt。由于液体是不可压缩的连续介质，1=2=，根据质量守恒定律，在dt时段内流入的质量应与流出质量相等，即： u1dA1dt=u2dA2dt化简得 u1dA1=u2dA2或写作dQu1dA1=u2dA2 上式就是不可压缩液体恒定一元流微小流束的连续性方程。若将上式对总流过水断面积分得Q=A1v1=A2v2即：Q1=Q2上式就是恒定总流的连续性方程。式中v1及v2分别为总流过水断面A1及A2的断面平均流速。该式说明，在不可压缩液体恒定总流中，任意两个过水断面所通过的流量相等。也就是说，上游断面流进多少流量，下游任何断面也必然流走多少流量。将连续性方程移项，得 v2/ v1=A1/A2上式说明，在不可压缩液体恒定总流中，任意两个过水断面，其平均流速的大小与过水断面面积成反比。断面大的地方流速小，断面小的地方流速大。连续性方程是水力学上三大基本方程之一，是用以解决水力学问题的重要公式，它总结和反映了水流的过水断面面积与断面平均流速沿流程变化的规律性。对于分叉的管流，以分叉处为结点，则流入结点和自结点流出的流量之和为零。即： 如图所示，则其连续性方程为：Q2+Q3Q1=0即Q1= Q2+Q3或 v1A1=v2A2+v3A3第七节 不可压缩恒定流能量方程式能量方程是水流运动必须遵循的另一个最基本的方程。能量的转化与守恒定律是自然界物质运动的普遍规律，水流能量方程则是这一普遍规律在水流运动中的具体表现。从质量守恒定律推出的连续方程固然是水流必须遵循的基本规律，但它只给出了流速和过水断面之间的关系，是一个运动学方程。由于水流运动的过程就是在一定条件下的能量转化过程，因此流速与其他因素之间的关系可以通过分析水流的能量关系得出。先从最简单的理想液体元流情况入手。理想液体（非粘性液体）元流能量方程式今在理想液体恒定流中取一微小流束，并截取11、22断面之间的ds流段来研究。流段ds可看做横截面积为dA的柱体。沿其轴向受力有 表面压力pdA 重力 dG·cos=dAds·cos由牛顿第二定律：式中为dG与ds的夹角。又cos=dz/ds，加速度对于恒定流，所以，代入方程中，并且两边同除以dAds，得出单位液重的关系 化简得即：对微小流束上任意两个过水断面有：液体中某一点处的几何高度z代表单位重量液体的位能，p/代表单位液重的压能。在运动的液体中，液体还存在动能1/2·mu2，单位液重的动能为u2