教学目标1理解数列概念.docx

3.1.1数列教学目标：1理解数列概念，了解数列和函数之间的关系；2了解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任意一项；3对于比较简单的数列，会根据其前几项写出它的个通项公式；4提高观察、抽象的能力教学重点：1理解数列概念；2用通项公式写出数列的任意一项教学难点：根据一些数列的前几项抽象、归纳数列的通项公式教学方法：发现式教学法教学过程： （1）复习回顾在前面第二章中我们一起学习了有关映射与函数的知识，现在我们再来回顾一下函数的定义 由学生齐声回答函数定义函数定义(板书)：如果A、B都是非空擞 集，那么A到B的映射就叫做A到B的函数，记作：，其中（）讲授新课在学习第二章的基础上，今天我们一起来学习第三章数列有关知识，首先我们来看一些例子。4，5，6，7，8，9，10. 1，0.1，0.01，0.001，0.0001. 1，1.4，1.41，1.41，4，. -1，1，-1，1，-1，1，. 2，2，2，2，2，观察这些例子，看它们有何共同特点？（启发学生发现数列定义）由学生归纳、总结上述例子共同特点：均是一列数；有一定次序引出数列及有关定义一、 定义：1、数列：按一定次序排列的一列数叫做数列；2、项：数列中的每一个数都叫做这个数列的项。各项依次叫做这个数列的第1项（或首项）。第2项，第n项。如：上述例子均是数列，其中例：“4”是这个数列的第1项（或首项）“9”是这个数列的第6项。数列的一般形式：，或简记为，其中是数列的第n项综合上述例子，理解数列及项定义如：例中，这是一个数列，它的首项是“1”，“”是这个数列的第“3”项，等等。下面我们再来看这些数列的每一项与这一项的序号是否有一定的对应关系？这一关系可否用一个公式表示？（引导学生进一步理解数列与项的定义，从而发现数列的通项公式）对于上面的数列，第一项与这一项的序号有这样的对应关系：项 序号 1 2 3 4 5看来，这个数的第一项与这一项的序号可用一个公式：来表示其对应关系即：只要依次用1，2，3代替公式中的n，就可以求出该数列相应的各项由学生结合上述其他例子，练习找其对应关系如：数列：=n+3(1n7)；数列：1）；数列：n1）4通项公式：如果数列的第n项与n之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式。从映射、函数的观点来看，数列也可以看作是一个定义域为正整数集N+（或它的有限子集的函数，当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值，数列的通项公式就是相应函数的解析式。对于函数，我们可以根据其函数解析式画出其对应图象。看来，数列也可根据其通项公式来函出其对应图象，下面同学们练习画数列的图象。生：根据扭注通项公式画出数列，的图象，并总结其特点。图31特点：它们都是一群弧立的点5有穷数列：项数有限的数列6无穷数列：项数无限的数列二、 例题讲解例1：根据下面数列的通项公式，写出前5项：（1）通项公式定义可知，只要将通项公式中n依次取1，2，3，4，5，即可得到数列的前5项。解：（1） (2) 例2：写出下面数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数：（1）1，3，5，7； （2）（3）分析：（1）项1=2×1-1 3=2×2-1 5=2×3-1 7=2×4-1 序号 1 2 3 4；（2）序号：1 2 3 4 项分母：2=1+1 3=2+1 4=3+1 5=4+1 项分子： 22-1 32-1 42-1 52-1；（3）序号 （）课堂练习：由学生思考课本P112练习1，2，3，4。由学生板演练习1，2。老师提问练习3，4，并根据学生回答评析（）课时小结：对于本节内容应着重掌握数列及有关定义，会根据通项公式求其任意一项，并会根据数列的前n项求一些简单数列的通项公式。（V）课后作业：课本P114习题3.1 1，2；预习内容：课本P112P13预习提纲：什么叫数列的递推公式？递推公式与通项公式有什么异同点？板书设计：课题一、 定义1 数列2 项3 一般形式4 通项公式5 有穷数列6 无穷数列二、 例题讲解例1例2函数定义教学后记 §3.1.2数列教学目标：1了解数列的递推公式，明确递推公式与通项公式的异同；2会根据数列的递推公式写出数列的前几项；3培养学生推理能力教学重点：根据数列的递推公式写出数列的前几项教学难点：理解递推公式与通项公式的关系教学方法：启发引导法教学过程： (I)复习回顾上节课我们学习了数列及有关定义，下面先来回顾一下上节课所学的主要内容提问上节课我们学习了哪些主要内容？由学生 回答数列、项、表示形式、通项公式、数列分类等等 ()讲授新课我们所学知识都来源于实践，最后还要应用于生活。用其来解决一些实际问题 下面同学们来看此图：钢管堆放示意图。学生观察图片，寻其规律，建立数学模型 模型一：自上而下： 第1层钢管数为4；即：141+3 第2层钢管数为5；即：252+3 第3层钢管数为6；即：363+3 第4层钢管数为7；即：474+3 第5层钢管数为8；即：585+3 第6层钢管数为9；即：696+3 第7层钢管数为10；即：7107+3若用表示钢管数，n表示层数，则可得出每一层的钢管数为一数列，且n7）同学们运用每一层的钢筋数与其层数之间的对应规律建立了数列模型，这完全正确，运用这一关系，会很快捷地求出每一层的钢管数。这会给我们的统计与计算带来很多方便。同学们再来看此图片，是否还有其他规律可循？（启发学生寻找规律2，建立模型二）自上而下每一层的钢管数都比上一层钢管数多1。即 依此类推：（2n7）对于上述所求关系，若知其第1项，即可求出其他项，看来，这一关系也较为重要。一、 定义：递推公式：如果已知数列的第1项（或前几项），且任一项与它的前一项（或前n项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式。说明：递推公式也是给出数列的一种方法。二、 例题讲解例1：已知数列的第1项是1，以后的各项由公式给出，写出这个数列的前5项。分析：题中已给出的第1项即，递推公式：解：据题意可知：。例2：已知数列中，3）试写出数列的前4项解：由已知得（）课堂练习：课本P113练习 1，2，3（书面练习）（板演练习1.写出下面各数列的前4项，根据前4项写出该数列的一个通项公式。（1）2）； （2）3）老师给出答案，结合学生所做进行评析。（）课时小结这节课我们主要学习了数列的另一种给出方法，即递推公式及其用法，课后注意理解。注意它与通项公式的区别在于：1 通项公式反映的是项与项数之间的关系，而递推公式反映的是相邻两项（或n项）之间的关系。2 对于通项公式，只要将公式中的n依次取胜，2，3即可得到相应的项。而递推公式则要已知首项（或前n项），才可求得其他的项。（V） 课后作业一、课本P114习题3.1 3，4二、1预习内容：课本P114P1163预习提纲：什么是等差数列？等差数列通项公式的求法？板书设计 课题一、定义1 递推公式：三、 例题讲解例1例2小结：通项公式与递推公式区别教学后记 §3.2.1 等差数列教学目标：1明确等差数列的定义；2掌握等差数列的通项公式，会解决知道中的三个，求另外一个的问题；3培养学生观察、归纳能力教学重点：1、等差数列的概念；2、等差数列的通项公式教学难点：等差数列“等差”特点的理解、把握和应用教学方法：启发式数学教学过程： (I)复习回顾上两节课我们共同学习了数列的定义及给出数列的两种方法通项公式和递推公式。这两个公式从不同的角度反映数列的特点，下面看一些例子。（）讲授新课看这些数列有什么共同的特点？1，2，3，4，5，6； 10，8，6，4，2，； 由学生积极思考，找上述数列共同特点。对于数列（1n6）；（2n6）对于数列-2n（n1）（n2）对于数列（n1） （n2）共同特点：从第2项起，第一项与它的前一项的差都等于同一个常数。也就是说，这些数列均具有相邻两项之差“相等”的特点。具有这种特点的数列，我们把它叫做等差数。一、定义：等差数列：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与空的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示。如：上述3个数列都是等差数列，它们的公差依次是1，-2， 。二、等差数列的通项公式等差数列定义是由一数列相邻两项之间关系而得。若一等差数列的首项是，公差是d，则据其定义可得：若将这n-1个等式相加，则可得：看来，若已知一数列为等差数列，则只要知其首项和公差d，便可求得其通项。如数列（1n6）数列：（n1）数列：（n1）由上述关系还可得：即：则：=如：三、例题讲解例1：（1）求等差数列8，5，2的第20项（2）-401是不是等差数列-5，-9，-13的项？如果是，是第几项？解：（1）由，所以n=20，得（2）由，得数列通项公式为：由题意可知，本题是要回答是否存在正整数n，使得-401=-5-4（n-1）成立解之得n=100，即-401是这个数列的第100项。（）课堂练习：（口答）课本P118练习3；（书面练习）课本P117练习1组织学生自评练习（同桌讨论）（）课时小结本节主要内容为：等差数列定义。即(n2)；等差数列通项公式 (n1)推导出公式：（V）课后作业一、课本P118习题3.2 1，2二、1预习内容：课本P116例2P117例42预习提纲：如何应用等差数列的定义及通项公式解决一些相关问题？ 等差数列有哪些性质？板书设计 课题一、定义1（n2）三、 通项公式2公式推导过程例题教学后记 §3.2.2等差数列教学目标：1明确等差中的概念 2进一步熟练掌握等差数列的通项公式及推导公式 3培养学生的应用意识教学重点：等差数列的性质的理解及应用教学难点：灵活应用等差数列的定义及性质解决一些相关问题教学方法： 讲练相结合教学过程： (I)复习回顾首先回忆一下上节课所学主要内容：1 等差数列定义：（n2）2 等差数列通项公式：（n2）推导公式：（）讲授新课先来看这样两个例题（放投影片1）例1：在等差数列中，已知，求首项与公差例2：梯子最高一级宽33cm，最低一级宽为110cm，中间还有10级，各级的宽度成等差数列，计算中间各级的宽度。解1：由题意可知解之得即这个数列的首项是-2，公差是3。或由题意可得：即：31=10+7d可求得d=3，再由求得1=-2解2：设表示梯子自上而上各级宽度所成的等差数列，由已知条件，可知：a1=33, a12=110，n=12，,即时10=33+11。解之得：因此，答：梯子中间各级的宽度从上到下依次是40cm，47cm，54cm，61cm，68cm，75cm，82cm，89cm，96cm，103cm.提问如果在与中间插入一个数A，使，A，成等差数列数列，那么A应满足什么条件？答：由定义得A-=-A ，即：；反之，若，则A-=-A由此可可得：成等差数列，若，A，成等差数列，那么A叫做与的等差中项。不难发现，在一个等差数列中，从第2项起，每一项（有穷数列的末项除外）都是它的前一项与后一项的等差中项。如数列：1，3，5，7，9，11，13中5是否是1和9的等差中项。9是7和11的等差中项，5和13的等差中项。看来，从而可得在一等差数列中，若m+n=p+q，则，注：结合例子，熟练掌握此性质思考例题例3：已知数列的通项公式为：分析：由等差数列的定义，要判定是不是等差数列，只要看（n2）是不是一个与n无关的常数。解：取数列中的任意相邻两项与（n2），则：它是一个与n无关的常数，所以是等差数列。在中令n=1，得：，所以这个等差数列的首项是p=q，公差是p.看来，等差数列的通项公式可以表示为：，其中、是常数。（）课堂练习：（口答）课本P118练习4；（书面练习）课本P117练习2。师：给出答案生：自评练习（）课时小结本节主要概念：等差中项；另外，注意灵活应用等差数列定义及通项公式解决相关问题。（）课后作业一、课本P118习题3.2 8，9二、1预习内容：课本P119P120 2预习提纲：等差数列的前n项和公式；等差数列前n项和的简单应用。教学后记 §3.3.1等差数列的前n项和教学目标: 1掌握等差数列前n项和公式及其获取思路 2会用等差数列的前n项和公式解决一些简单的与前n项和有关的问题.教学重点:等差数列n项和公式的理解、推导及应用教学难点:灵活应用等差数列前n项公式解决一些简单的有关问题.教学方法:引导式教学教学过程: (I)复习回顾经过前面的学习，我们知道，在等差数列中1）（n1），为常数2）若为等差数列，则3）若，则（）讲授新课利用前面所学知识，今天我们来探讨一下等差数列的求和问题看钢管堆放示意图，我们已经知道，这各层的钢管数可看作一个首项的等差数列，利用可以很快捷地求出每一层的钢管数。如果现在要问：这一共有多少钢管呢？这个问题又该如何解决？由学生积极思考，解决问题得：4+5+6+7+8+9+10=49（或=（4+10）+（5+9）+6+8）+7=7（4+10）/2）对于一般的等差数列，又该如何去求它的前n项和？设等差数列的前n项和为，即+可得：2 或利用定义可得：两式相加可得：即将代入可得：综上所述：等差数列求和公式为：下面来看一下求和公式的简单应用例1：一个堆放铅笔的V型的最下面一层放一支铅笔，往上每一层都比它下面一层多放一支，最上面一层放120支，这个V形架上共放着多少支铅笔？解：由题意可知，这个V形架上共放着120层铅笔，且自下而上各层的铅笔成等差数列，记为，其中，根据等差数列前n项和的公式，得答：V形架上共放着7260支铅笔。例2：等差数列-10，-6，-2，2，前多少项的和是54？解：设题中的等差数列为，前n项为则：由公式可得。解之得：（舍去）等差数列-10，-6，-2，2前9项的和是54（）课堂练习：（书面练习）课本P122练习1。（板演练习）课本P122练习题。注：给出答案，结合学生所做讲评练习。（）课时小结：1。等差数列前n项和公式：；2等差数列前n项和公式获取思路（V）课后作业：1课本P122习题3.3 1，2；2预习内容：课本P121P122；3预习提纲：如何灵活应用等差数列求和公式解决相关问题？板书设计：课题公式：推导过程例例教学后记： §3.3.2 等差数列的前n项和教学目标： 1进一步熟练掌握等差数列的通项公式和前n项和公式 2了解等差数列的一些性质，并会用它们解决一些相关问题.教学重点：熟练掌握等差数列的求和公式教学难点：灵活应用求和公式解决问题.教学方法： 讲练相结合教学过程：(I)复习回顾（提问）等差数列求和公式？（回答）（）讲授新课结合下列例题，掌握一下它的基本应用例1：求集合的元素个数，并求这些元素的和。解由m=100，得。满足此不等式的正整数n共有14个，所以集合m中的元素共有14个，从小到大可列为：7，7×2，7×3，7×4，7×14即：7，14，21，28，98这个数列是等差数列，记为其中答：集合m中共有14个元素，它们和等于735例2：已知一个等差数列的前10项的和是310，前20项的和是1220，由此可以确定求其前n项和的公式吗？分析：若要确定其前n项求和公式，则要确定 由已知条件可获两个关于和的关系式，从而可求得.解：由题意知，代入公式可得 解得 看来，可以由S10与S20来确定Sn。例3：已知数列是等差数列，Sn是其前n项和，还应证：S6，S12-S6，S18-S12成等差数列，设成等差数列吗？由学生分析题意，解决问题.解：设首项是，公差为d则：同理可得成等差数列.（）课堂练习：（学生板演练习）课本P122练习本，5，6老师给出答案，讲评练习.()课时小结：综上所述：灵活应用通项公式和n项和公式；也成等差数列.（V）课后作业：1课本P123习题3.3 4，6，8；2预习内容：课本P126P127预习提纲：什么是等比数列？等比数列的通项公式如何求？板书设计 课题例1例2例3公式：教学后记 §3.4.1 等比数列教学目标：1明确等比数列的定义2掌握等比数列的通项公式.教学重点：等比数列定义：（q为常数）；等比数列通项公式：教学难点：灵活应用定义式及通项公式解决相关问题.教学方法：发现式教学法，比较式教学法教学过程：(I)复习回顾前面我们共同探讨了等差数列，现在我们再来回顾一下主要内容（学生回答）。等差数列定义：（n2）等差数列性质：（1）a，A，b成等差数列，由（2）若m+n=p+q，则am+an=ap+aq.（3）成等差数列. 等差数列求和公式：（）讲授新课下面我们来看这样几个数列，看其又有何共同特点？（放投影片）1，2，4，8，16，263； 5，25，125，625，； 1，； 启发学生观察数列，找其共同特点对于数列，（n2）对于数列，（n2）对于数列，（n2）共同特点：从第二项起，第一项与前一项的比都等于同一个常数。也就是说，这些数列从第二项起，每一项与前一项的比都具有“相等”的特点.一、 定义：等比数列：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这佧数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母q表示（q0），即：如：数列对于数列，都是等比数列，它们的公比依次是2，5，.等比数列的通项公式又如何呢？1、等比数列的通项公式由定义式可得：若将上述n-1个等式相乘，便可得：即：（n2）当n=1时，左=a1，右=a1，所以等式成立等比数列通项公式为：或者由定义得：； ；n=1时，等式也成立，即对一切成立.如：数列， （n64）表示这个等比数列的各点都在函数的图象上.如图所示；图3-2 由学生练习数列，的通项公式，理解等比数列军政府及通项公式推导过程.（）课堂练习例1：培育水稻新品种，如果第一代得到120粒种子，并且从第一代起，由以后各代的每一粒种子都可以得到下一代的120粒种子，到第5代大约可以得到这个新品种的种子多少粒？解：由于每一代的每一粒种子都可得120粒种子，所以每代的种子数是它的前一代种子数的120倍，逐代的种子数组成等比数列，记为其中答：到第5代大约可以得到种子2.5粒.由学生自练课本P128练习1.。老师（提问）课本P128练习3.，学生思考后回答.讲评练习.（）课时小结：本节课主要学习了等比数列的定义，即：等比数列的通项公式：及推导过程.（V）课后作业一、课本P129习题3.4 1二、1预习内容：课本P127P1282预习提纲：什么是等比中项？等比数列有哪些性质？板书设计 课题一、定义：四、 通项公式推导其中三、例题教学后记 §3.4.2 等比数列教学目标：1明确等比中项概念2进一步熟练掌握等比数列通项公式.；3培养学生应用意识.教学重点：等比中项的理解与应用；等比数列定义及通项公式的应用教学难点：灵活应用等比数列定义及通项公式解决一些相关问题.教学方法：启发引导式教学法教学过程：(I)复习回顾我们共同来回忆上节课所学主要内容.学生答：等比数列定义：；等比数列通项公式：（）讲授新课与等差数列对照，看等比数列是否也具有类似性质？由学生答：（1）成等差数列如果在中间插入一个数G,使成等比数列，即若，则，即成等比数列成等比数列综上所述，如果在中间插入一个数G，使成等比数列，那么G叫做的等经中项.由学生答：（2）若m+n=p+q，则若在等比数列中，m+n=p+q，有什么关系呢？由学生答：由定义得：（2）若m+n=p+q，则下面来看应用这些性质可以解决哪些问题？例1：一个等比数列的第3项与第4项分别是12与18，求它的第1项与第2项.解：设这个等比数列的第1项是，公比是q，那么：， 由÷可得第把代入可得答：这个数列的第1项与第2项是和8.例2：已知是项数相同的等比数列，求证是等比数列.证明：设数列的首项是，公比为q1;的首项为b1，公比为q2，那么数列的第n项与第n+1项分别为：它是一个与n无关的常数，所以是一个以q1q2为公比的等比数列.（）课堂练习：由学生板演练习：课本P128练习2.，老师结合学生所做，讲评练习.由学生书面练习：课本P128练习4，5（）课时小结：本节主要内容为：（1） 若a，G，b成等比数列，则叫做与的等经中项.（2） 若m+n=p+q，（V）课后作业一、课本P129习题3.4 6，7，8二、1预习内容：课本P129P1302预习提纲：等比数列前n项和公式；如何推导等比数列的前n项公式？板书设计 课题一、 定义等比中项成等比数列若m+n=p+q则二、 例题例1例2复习回顾,A,b成等差数列则教学后记 §3.5.1 等比数列的前n项和教学目标：1掌握等比数列的前n项和公式及公式证明思路2会用等比数列的前n项和公式解决有关等比数列前n项和的一些简单问题.教学重点：等比数列的前n项和公式；等比数列的前n项和公式推导.教学难点：灵活应用公式解决有关问题.教学方法：启发引导式教学法教学过程：(I)复习回顾首先来回忆等比数列定义，通项公式以及性质.由学生答（1）定义：（n2，（2）等比数列通项公式：（3）性质：成等比数列；若m+n=p+q，则（）讲授新课前面我们一起探讨了等差数列的求和问题，等比数列的前n项和如何求？下面我们一起来看引言.由学生答：引言中提到的问题：求数列1，2，4，262，263的各项和。即求以1为首项，2为公比的等比数列的前64项的和，可表示为： 由可得：1、前n项和公式一般地，设等比数列它的前n项和是由得 当时， 或 当q=1时，当已知, q, n 时用公式；当已知, q, 时，用公式.2、题讲解例1：求等比数列1，2，4，从第5项到第10项的和.解：由从第5项到第10项的和为S10-S4=1008例2：一条信息，若一人得知后用一小时将信息传给两个人，这两个人又用一小时各传给未知此信息的另外两人，如此继续下去，一天时间可传遍多少人？解：根据题意可知，获知此信息的人数成首项的等比数列则：一天内获知此信息的人数为：（）课堂练习：由学生板演练习：课本P132练习1（2），（4）（）课时小结等比数列求和公式： 及推导方法：错位相减法是本节课应重点掌握的内容，课后应进一步熟练公式掌握其基本应用。（V）课后作业一、课本P133习题3.5 1；二、1预习内容：课本P131P1322预习提纲：如何利用等比数列的通项公式及前n项公式解决有关问题？板书设计 课题三、 定义推导过程例1例2教学后记 §3.5.2 等比数列的前n项和教学目标:1.会用等比数列的通项公式和前n项和公式解决有关等比数列的中知道三个数求另外两个数的一些简单问题;2.提高分析、解决问题能力.教学重点:进一步熟练掌握等比数列的通项公式和前n项和公式.教学难点:灵活使用公式解决问题.教学方法:讲练相结合教学过程:（）练习回顾前面我们学习了哪些有关等比数列公式？由学生答：等比数列通项公式：等比数列前n项和公式：当时，或当q=1时，Sn= ()讲授新课下面来看一下它们的应用例1：某制糖厂第1年制糖5万吨，如果平均每年的产量比上一年增加10%，那么从第1年起，约几年内可使总产量达到30万吨（保留到个位）？分析：由题意可知，每年产量比上一年增加的百分率相同，所以从第1年起，每年的产量组成一个等比数列，总产量则为等比数列的前n项和.解：设每年的产量组成一个等比数列，其中a1=5，q=1+10%=1.1，Sn=30 整理可得：1.1n=1.6， 两边取对数，得即：（年）答：约5年内可以使总产量达到30万吨.例2：求和：分析：上面各个括号内的式子均由两项组成，其中各括号内的前一项与后一项分别组成等比数列，分别求出这两个等比数列的和，就能得到所求式子的和.解：当时，此方法为：分组求和法.例3：已知Sn是等比数列的前n项和，S3，S9，S6成等差数列，求证：成等差数列.分析：由题意可得S3+S6=2S9要证成等差数列，只在证即可证明：S3，S9，S6成等差数列S3+S6=2S9若q=1，则S3=3由，与题设矛盾整理，得q3+q6=2q9() 课堂练习由学生书面练习：课本P133 3.（1）（2）（而后分小组讨论）.（板演练习）课本P133练习4老师讲评练习4并总结.：等比数列性质：若数列是等比数列，则成等比数列.（）课时小结：这节课我们共同探讨了一个等比数列的通项公式与前n项和公式的简单应用，应注意它们各自的特点，然后利用它们解决一些相关问题。（）课后作业一、课本P133习题3.5 4，5，6二、1预习内容：课本P133P1362预习提纲：怎样数学建模？板书设计 课题例1例2例3复习回顾内容（）教学后记