依概率收敛52大数定律53中心极限定理ppt课件.ppt

第五章 大数定律及中心 极限定理,概率论与数理统计是研究随机现象统计规律性的学科. 随机现象的规律性只有在相同的条件下进行大量重复试验时才会呈现出来. 也就是说，要从随机现象中去寻求必然的法则，应该研究大量随机现象.研究大量的随机现象，常常采用极限形式，由此导致对极限定理进行研究. 极限定理的内容很广泛，其中最重要的有两种:大数定律与中心极限定理,5.1依概率收敛 5.2 大数定律,大量的随机现象中平均结果的稳定性,一、大数定律的客观背景,大量抛掷硬币正面出现频率,字母使用频率,生产过程中的废品率,概率论应用于实际的一个重要原则是所谓“实际推断原理”，即认为：概率接近于0的事件（小概率事件）在个别（一次）试验中“实际上是不可能发生的”；反之认为概率接近于1的事件（大概率事件），在一次试验中当作是“实际上必然的”。,二、几个常见的大数定律,切比雪夫,Th1: 切比雪夫(Chebyshev)定理的特殊情况,说明,（2） 在所给的条件下，当n充分大时，n个随机变量的算术平均值与它们的数学期望有较小的偏差的可能性比较大。可以考虑用算术平均值作为所研究指标值的近似值。,（1）此定理也称为切比雪夫大数定律,证明切比雪夫大数定律主要的数学工具是切比雪夫不等式.,注意,切比雪夫不等式,例1 掷一颗骰子1620次，估计“六点”出现的次数X在250290之间的概率？,解,由切比雪夫(Chebyshev)不等式估计,定义,由此得到定理1的另一种叙述：,Th1,定理表明事件发生的频率依概率收敛于 事件的概率。由实际推断原理,在实际应用中, 当试验次数很大时,可以用事件发生的频率来代替事件的概率。,Th2：(伯努利大数定律),Th3: (辛钦大数定律),切比雪夫大数定理是辛钦大数定律的特殊情况。n个随机变量的算术平均值依概率收敛于算术平均值的数学期望。,三 小结,1、切比雪夫(Chebyshev)大数定律,2. 伯努利大数定律,3. 辛钦大数定律,用算术平均值作为所研究指标值的近似值。,事件发生的频率依概率收敛于事件的概率,n个随机变量的算术平均值以概率收敛于算术平均值的数学期望。,5.3 中心极限定理,一、中心极限定理的客观背景,二、中心极限定理,三、小结,一、中心极限定理的客观背景,在实际问题中，常常需要考虑许多随机因素所产生总影响.,例如：炮弹射击的落点与目标的偏差，就受着许多随机因素的影响.,空气阻力所产生的误差，,重要的是这些随机因素的总影响.,如瞄准时的误差，,炮弹或炮身结构所引起的误差等等.,研究独立随机变量之和所特有的规律性问题,当n无限增大时，这个和的分布是什么？,本节内容,观察表明，如果一个量是由大量相互独立的随机因素的影响所造成，而每一个别因素在总影响中所起的作用不大. 则这种量一般都服从或近似服从正态分布.,自从高斯指出测量误差服从正态分布之后，人们发现，正态分布在自然界中极为常见.,由于无穷个随机变量之和可能趋于，故不研究n个随机变量之和本身而考虑它的标准化的随机变量,的分布函数的极限.,在概率论中，习惯于把和的分布收敛于正态分布这一类定理都叫做中心极限定理.,1、独立同分布的中心极限定理,二、中心极限定理,1. 在所给的条件下，当n无穷大时， n个具有期望和方差的独立同分布的随机变量之和Yn的分布函数近似服从标准正态分布为极限分布。,说明,2. 独立同分布随机变量序列的中心极限定理，也称列维林德伯格（LevyLindberg）定理.,2.棣莫佛拉普拉斯定理,说明,例1 掷一颗骰子1620次，求“六点”出现的次数X 在250290之间的概率？,4.例题,解,例2,一家电器同时收到20个噪声电器Vk(k=1,2,20),设它们是相互独立的随机变量，且都在区间(0,10)上,服从均匀分布。记,求PV105的近似值,解,E(Vk)=5, D(Vk)=100/12 (k=1,2,20).,近似服从正态分布N(0,1),三 小结,1、独立同分布的中心极限定理,2.棣莫佛拉普拉斯定理,近似服从标准正态分布N(0,1)。,