小波分析（第一讲）小波基础连续小波ppt课件.ppt

小波分析绪论,北京科技大学,阳建宏,2022/12/17,实际中绝大多数信号是时域信号，即获取到的信号是时间变量的函数为什么我们需要频域信息？多数情况下，最明显的差异信息表现在频域中,引言,平稳信号的信息不随时间而改变所有的频率成分自始至终存在,20Hz,80Hz,120Hz,平稳信号,傅立叶变换(Fourier Transformation)是应用的最广泛的变换其他一些被广泛应用的变换Hilbert变换短时傅立叶变换小波变换每种变换都有自己的优缺点，具有不同的应用领域,变换,基本思想：将信号分解成一系列不同频率的连续正弦波的叠加将信号从时间域转换到频率域,傅里叶变换,待处理的信号,基底，“滤波镜片”,为广义的内积运算,傅里叶变换的定义,基底（“滤波镜片”）的基本运算只有时间上的缩放，本质是调节镜片的透光频率。,傅里叶变换,原始信号（时域）,5Hz,傅里叶变换实例,2 Hz, x(t).*cos(2ft) = 5.7e-15,1 Hz, x(t).*cos(2ft) = 8.4e-15,傅里叶变换实例,4 Hz, x(t).*cos(2ft) = 2.3e-14,3 Hz, x(t).*cos(2ft) = 7.5e-14,傅里叶变换实例,5 Hz, x(t).*cos(2ft) = 100,4.8 Hz, x(t).*cos(2ft) = 73.8,傅里叶变换实例,6 Hz, x(t).*cos(2ft) = 7.5e-15,5.2 Hz, x(t).*cos(2ft) = 76.8,傅里叶变换实例,为了利用计算机进行计算，无论是时间还是频率都需要进行离散化,时间离散能量有限,频率离散,离散傅里叶变换,快速傅立叶变换，简称FFT，计算DFT的快速算法的统称习惯上是指以1965年库利和图基(Cooly-Tukey)算法为基础的一类高效算法,快速傅里叶变换,基本思想：把原始的N点序列，依次分解成一系列短序列充分利用WN所具有的对称性和周期性，求出这些短序列相应的DFT进行适当组合，达到删除重复计算，减少乘法运算，提高速度的目的结果：DFT的复乘次数：FFT的复乘次数：,快速傅里叶变换,缺乏时-频分析能力傅立叶变换的基函数在时间上是无限的时间是全局的在实际应用中通常只能获得有限长的信息傅立叶变换丢掉了时间信息，无法根据傅立叶变换的结果判断一个特定信号在什么时候发生频域里的定位是完全准确的时域无任何定位性时域上的局部突变延伸到频域的全局，反之亦然,傅里叶变换的局限性（1）,20, 80, 120 Hz,FT,20, 80, 120 Hz,FT,对时域上的局部突变无法分析积分变量的范围：从到+ 时域上的局部突变延伸到频域的全局,傅里叶变换的局限性,傅里叶变换的局限性,单一的频率分辨率傅里叶变换的频率分辨率=fs/N fs为信号采样频率， N是信号的采样数目傅里叶变换的频率分辨率在信号的低频段和高频段是不变的不足：无法兼顾低频和高频，与人类的感觉不一致。譬如：低频段：要区分10Hz和11Hz，频率分辨率必须1Hz高频段：100,000Hz和100,001Hz本质上没有区别， 频率分辨率取1000Hz也可,傅里叶变换的局限性（2）,缺乏时-频分析能力 STFT单一的频率分辨率 多分辨率分析,傅里叶变换的发展,FT缺乏局域性信息 整体上将信号分解为不同频率分量 不能确定某个频率分量发生在哪些时间内,不能处理非平稳信号,短时傅里叶变换,可否假设在信号的局部是平稳信号呢？,短时傅里叶变换,FT,STFT,其中 是窗函数,高斯窗,矩形窗,三角窗,短时傅里叶变换,利用高斯窗STFT对非平稳信号进行分析,非平稳信号,其中a为窗宽,短时傅里叶变换,FT,X,短时傅里叶变换,FT,X,短时傅里叶变换,FT,X,短时傅里叶变换,FT,X,短时傅里叶变换,FT,X,短时傅里叶变换,FT,X,短时傅里叶变换,FT,X,短时傅里叶变换,FT,X,短时傅里叶变换,FT,X,短时傅里叶变换,FT,X,短时傅里叶变换,FT,X,短时傅里叶变换,Time step,Frequency,Amplitude,时频表示,窗宽 = 0.05采样步长 = 100 ms,窗宽 = 0.02采样步长 = 10 ms,窄窗有好的时间分辨率，但频率分辨率较差,窗宽 = 0.1采样步长 = 10 ms,宽窗有好的频率分辨率，但时间分辨率较差,根据Heisenberg不确定性原理得：时间分辨率 和频率分辨率 不能任意小STFT窗函数大小形状固定如何保证高的时间分辨率和频率分辨率？,短时傅里叶变换,小波变换,短时傅里叶变换的缺点,小波(wavelet)是什么 在有限时间范围内变化且其平均值为零的数学函数具有有限的持续时间和突变的频率和振幅在有限的时间范围内，它的平均值等于零,傅里叶分析的基函数,小波分析的基函数,小波介绍,部分小波许多缩放函数和小波函数以开发者的名字命名，例如，Morlet小波函数是Grossmann和Morlet在1984年开发的db6缩放函数和db6小波函数是Daubechies开发的,小波介绍,小波简史,小波变换 (wavelet transform)是什么老课题：函数的表示方法 新方法：FourierHaarwavelet transform,1909: Alfred HaarAlfred Haar对在函数空间中寻找一个与傅立叶类似的基非常感兴趣。1909年他发现并使用了小波，后来被命名为哈尔小波(Haar wavelets),1980：Morlet20世纪70年代，在法国石油公司工作的年轻地球物理学家Jean Morlet提出小波变换 (wavelet transform，WT)的概念。 20世纪80年代, 开发了连续小波变换 (continuous wavelet transform， CWT)1986：Y.Meyer法国科学家Y.Meyer与其同事创造性地构造出具有一定衰减性的光滑函数，用于分析函数用缩放(dilations)与平移(translations)均为2 j(j0的整数)的倍数构造了L2(R)空间的规范正交基，使小波分析得到发展,小波简史,1988：Mallat算法法国科学家Stephane Mallat提出多分辨率概念，从空间上形象说明小波的多分辨率的特性，并提出了正交小波的构造方法和快速算法，称为Mallat算法.该算法统一了在此之前构造正交小波基的所有方法，其地位相当于快速傅立叶变换在经典傅立叶分析中的地位.,小波简史,1996年，Sweldens W.博士提出了一种在时域中采用提升方法(lifting scheme)构造小波的第二代小波方法,第一代小波从傅立叶分析的基础上发展起来建立在二进平移和伸缩的思想基础上第二代小波摆脱了傅立叶变换，在时域中采用提升方法(lifting scheme)构造小波放弃了二进平移和伸缩,第二代小波,提升算法剖分(split)将信号分成奇样本和偶样本序列，形成两个不相交的子集预测(predict)利用相邻信号之间的相关性，用一个子集预测另一个子集。通常用偶子集来预测奇子集，通过与原奇子集的差值，确定细节信息更新(update)细节信息通过更新，再与原偶子集相加来确定近似信息,第二代小波的基本思想,第二代小波,对于含“点奇异”的一维信号, 小波能达到最优的非线性逼近阶. 而在处理二维或者更高维含“线奇异”的信号时, 由一维小波张成的高维小波基不能达到最优逼近阶。小波变换的不足使人们开始寻求更好的非线性逼近工具。第三代小波带方向性信息的小波变换Ridgelet、Curvelet、Bandelet、Contourlet、wedgelet,第三代小波,传统小波,第三代小波计算量小精度高,第三代小波,连续小波,北京科技大学,阳建宏,2022/12/17,FFT存在的问题：,将信号分解为多个正弦信号的叠加,缺乏时频分析能力,单一的频率分辨率,内容回顾,FFT变换：,小波基函数的定义及性质连续小波及其应用非正交离散小波及其应用,第二讲的主要内容,小波(wavelet)是什么？-“小区域的波形”“小”是指局部非零，波形具有衰减性“波”是指波形具有正负交替的振荡性，包含频率的特性,波,小波,什么是小波？,小波的严格数学定义：,对于函数 , 若其傅里叶变换,则称 是一个小波，这即是小波的可容性条件。,满足条件：,平方可积函数空间L2（R）,令 ，则称L2（R）为平方可积函数空间,表示信号的能量是有限的,什么是小波？,小波的严格数学定义：,对于函数 , 若其傅里叶变换,则称 是一个小波，这即是小波的可容性条件。,满足条件：,1） 表示信号在频域中的能量是有限的2） 表示信号没有直流分量，则小波具有正负波动性 3） 表示信号时域积分为零,三层含义：,什么是小波？,时域、频域具有局部特性,用方波替代正弦波,Haar小波,如何构造小波？,保证基函数振荡性,保证基函数能量有限,Morlet小波,=,如何构造小波？,保证基函数能量有限,保证基函数振荡性,Mexican小波,=,如何构造小波？,正交性：设 ，若函数系 满足内积关系 则称函数系 为规范正交系。,紧支性：若函数 在区间a,b以外恒为零，则称该函数在 这个区间紧支。,无冗余信息,理想小波具有哪些性质？,正则性：在数学上表现为小波基函数的可微性或光滑性,则称小波 具有 N 阶消失矩。,当小波具有N阶消失矩时，所有多项式信号的小波系数均为零，因此次数小于N的多项式信号被抑制掉了，保留了信号的高频成分。消失矩是小波在信号压缩、降噪、奇异性检查等应用中的关键参数。,理想小波具有哪些性质？,消失矩：小波 的矩定义为 ，如果,常用小波性质列表,小波基函数的定义及性质连续小波及其应用非正交离散小波及其应用,主要内容,若内积空间 中的元素序列 满足 ，则称 为 中的标准正交基。,若 是线性无关的，使得对 中的系数 取唯一的值，称 为空间 的一个基,需要注意：在小波分析中，不是所有的小波基都是正交的,小波基正交，则能将信息独立提取出来，无冗余信息 小波基非正交，存在信息冗余,任何信号都可以表示成某种基的线性组合,如何求系数？ 内积,小波的数学基础-基,连续函数内积,离散数据内积,在平方可积空间中的两个函数,内积定义为：,共轭函数,刻画信号之间的相关性，两个信号越相似，内积就越大,例如：若两个信号内积为0，则两个信号正交，无相关性,小波的数学基础-内积,小波变换的内积表示,短时傅里叶变换的内积表示,傅里叶变换的内积表示,待分析序列,基函数,待分析序列,基函数,待分析序列,基函数,内积可视为 与“基函数”相似性的一种度量,小波的数学基础-内积,函数 的连续小波变换定义为:,待分析序列,基函数,连续小波变换,X,(s,t),x(t),Inner product,连续小波-运算过程示意图,X,(s,t),x(t),Inner product,连续小波-运算过程示意图,X,(s,t),x(t),Inner product,连续小波-运算过程示意图,X,(s,t),x(t),Inner product,连续小波-运算过程示意图,X,(s,t),x(t),Inner product,连续小波-运算过程示意图,X,(s,t),x(t),Inner product,0,连续小波-运算过程示意图,X,(s,t),x(t),Inner product,连续小波-运算过程示意图,X,(s,t),x(t),Inner product,连续小波-运算过程示意图,X,(s,t),x(t),Inner product,连续小波-运算过程示意图,X,(s,t),x(t),Inner product,连续小波-运算过程示意图,X,(s,t),x(t),Inner product,连续小波-运算过程示意图,X,(s,t),x(t),Inner product,0,连续小波-运算过程示意图,X,(s,t),x(t),Inner product,连续小波-运算过程示意图,X,(s,t),x(t),Inner product,连续小波-运算过程示意图,X,(s,t),x(t),Inner product,连续小波-运算过程示意图,X,(s,t),x(t),Inner product,连续小波-运算过程示意图,Magnitude,20 Hz,80 Hz,120 Hz,信号叠加，则小波系数也对应叠加,信号平移，则小波系数也对应平移,连续小波变换的性质,信号尺度变化，则小波系数也对应变化,小波系数的内积与信号内积成倍数关系,连续小波变换的性质,尺度的倒数1/a在一定意义上对应信号频率，尺度越小，对应的信号频率越高 在任何时间上，小波的时频窗口的大小都随频率的变化而变化 在任何时刻，窗口面积保持不变,Morlet小波,连续小波变换的几点结论,恒Q特性：小波母函数具有频域带通特性，可看作一组带通滤波器，品质因数Q不变，小波中心频率变大时，带宽也变大,连续小波变换的几点结论,带宽：两截止频率间的通带，对应在频域的一阶矩中心频率：截止频率中心，对应在频域的标准差,上表还可以看出：不同尺度下的小波函数在时域的窗宽和频域的窗宽乘积为一常数。,连续小波变换的几点结论,恒Q特性 小波运算可看作由不同尺度组成的带通滤波器组,由傅里叶变换的尺度特性可知，这些小波函数具有相同的品质因素，即都与母小波的相等。 这一特性在语音/视觉识别中有很好的应用价值，如：很多人的生理特征都可以建模为恒Q滤波器组。,连续小波变换的几点结论,原始信号,FFT,CWT,样本点 n / 个,样本点 n/个,频率/Hz,尺度,时域幅值,频域幅值,在整个时间范围内存在同一频率成分,根据能量最大时对应的尺度，可以求出信号频率,应用1-正弦信号,原始信号,FFT,样本点 n / 个,样本点 n/个,频率/Hz,尺度,时域幅值,频域幅值,不能体现频率出现的时间,尺度越大频率越小，对应20Hz信号,CWT,能体现频率出现的时间,应用2-正弦组合信号,尺度=40,尺度=10,尺度=3,应用2-正弦组合信号,原始信号,FFT,样本点 n / 个,样本点 n/个,频率/Hz,尺度,时域幅值,频域幅值,反映出频率随时间的变化,CWT,尺度大，则信号的频率低,尺度小，则信号的频率高,应用3-调频信号,原始信号,FFT,样本点 n / 个,样本点 n/个,频率/Hz,时域幅值,频域幅值,CWT,尺度,检测出脉冲信号并给出时间,不能检测出脉冲信号,应用4-脉冲信号,原始信号,FFT,CWT,样本点 n / 个,样本点 n / 个,样本点 n/个,频率/Hz,样本点 n / 个,时域幅值,频域幅值,尺度,检测出冲击信号并给出时间,能检测出冲击信号，但不能给出时间,应用5-衰减冲击信号,用齿轮齿数为30，轴的转速fr=1500/60=25Hz，因此齿轮的啮合频率fm =fr30=750Hz。 试验用齿轮的一齿根部有一线切割裂纹，用来模拟齿轮的裂纹故障。实验中采样频率为20kHz。 选取f0=2000Hz，a=12，这样可知其中心频率落在10002000Hz，得到的变换结果,齿轮振动信号的频谱图,齿轮振动信号,应用5-齿轮故障,小波分析对信号高频成分的刻划能力要优于其它时频分析方法，而且它在突变信号的检测中具有很大的优势。 采用连续小波变换可以检测到齿轮振动信号的幅值突变点，从而实现对齿轮局部缺陷的诊断。,结论：,齿轮振动信号的尺度谱图(a=12),齿轮振动信号有尺度谱图(a=1.3),t=4ms，a=1.31.5,t=44ms，a=1.31.5,信号能量突变点表示齿轮的啮合发生了异常,应用5-齿轮故障,实验：,轴系动态固有频率：机组在运行条件下转轴系统的固有频率，主要考察机组运行偏离共振点的程度。 采用运动质量撞击水轮机轴，产生瞬态冲击形成冲击激振，获取振动信号进行分析。,应用6-轴系动态固有频率检测,前后差别不大，难以区分出轴系动态固有频率,应用6-轴系动态固有频率检测,方法：,对振动信号非线性建模，得到残差信号，进行连续小波变换,尺度a=3.7，时间t=1.9秒有一个能量相对集中点,尺度a=3.7，时间t=1.0，4.0，5.8秒附近有三个连续能量集中点,应用6-轴系动态固有频率检测,