大学物理转动惯量课件.ppt

第五章,刚体的定轴转动,(Rotation of Rigid Bodies Around A Fixed Axis),第五章刚体的定轴转动(Rotation of Rigid B,基本要求,理解角动量概念，掌握角动量定理、角动量守恒及其应用；理解描写刚体定轴转动的物理量，并掌握角量与线量的关系；理解力矩和转动惯量概念，计算转动惯量，掌握刚体绕定轴转动的转动定律；理解刚体定轴转动的转动动能概念，能在有刚体绕定轴转动的问题中正确地应用机械能守恒定律。,能运用以上规律分析和解决包括质点和刚体的简单系统的力学问题。,基本要求理解角动量概念，掌握角动量定理、角动量守恒及其应用；,刚体（rigid body） ：在外力作用下，形状和大小都不发生变化的物体。（或：任意两质点间距离保持不变的特殊质点系）。,刚体的运动形式：平动(translation)、转动(rotation)。,平动：刚体内任意两点间连线的空间方向总保持不变,特点：各点位移、速度、加速度均相同。,刚体（rigid body） ：在外力作用下，形状和大小都不,转动：刚体中所有点同时都绕同一直线做圆周运动。转动又分定轴转动、非定轴转动（绕定点转动或绕瞬心转动）。,刚体的平面运动：,转动：刚体中所有点同时都绕同一直线做圆周运动。转动又分定轴,A点作圆周运动，B点作直线运动，因此，AB 杆的运动既不是平动也不是定轴转动，而是平面运动。,例：曲柄连杆机构中连杆AB的运动。,A点作圆周运动，B点作直线运动，因此，AB,质心 ：刚体的质量分布的中心,刚体的一般运动：质心的平动绕质心的转动+质心 ：刚体的质量分,角动量概念的建立，和转动有密切的关系。,在自然界中经常会遇到质点或质点系围绕着某一个确定点或轴转动的情况。例如，行星绕太阳的公转，人造卫星绕地球转动，电子绕原子核转动以及刚体的转动等等。,在这些问题中，动量及机械能的有关规律并不能直接用，这时若采用角动量概念讨论问题就很方便。,转动问题与平动问题的描述有许多相似之处，如：,力的时间累积效应,冲量、动量、动量定理。,力矩的时间累积效应,冲量矩、动量矩(角动量)、角动量定理。,角动量 角动量定理 (5.1,5.2),角动量概念的建立，和转动有密切的关系。 在自然,预备知识：二矢量的矢积（叉乘）,大小：,方向：,与 和 都垂直，且成由 转到 的右手螺旋关系,性质：,(以 和 为边的平行四边形面积),预备知识：二矢量的矢积（叉乘）大小：方向：与 和,大小：,方向：右手螺旋定则判定,力臂:,(力与力臂的乘积),定义：,为作用在质点上的力 对参考点O的力矩。,是作用点P相对于固定点O的位矢。,单位：Nm （注意：不能写作功的单位J ）,一、力矩,1、对参考点的力矩,大小：方向：右手螺旋定则判定力臂:(力与力臂的乘积)定义：,在直角坐标系中，力矩可表示为：,注意：同一个力对于不同的参考点(转轴)的力矩不同，因此说“力矩”时必须指明是相对于哪一点（或哪一个转轴) 而言的。,其中：,在直角坐标系中，力矩可表示为：注意：同一个力对于不同的参考点,质点系所受的总力矩（对同一参考点）：,特别，对刚体,例：如图，长为L 的细棒的质量密度分布为 ,其中l 为距左端的长度，求其所受重力对O点的力矩。,解：,大小：,方向：,垂直纸面向里,质点系所受的总力矩（对同一参考点）：特别，对刚体例：如图，长,: 力臂,刚体绕 O z 轴旋转，力 作用在刚体上点 P (P点在转动平面内), 为力的作用点 P 到转轴的径矢。,对转轴 Z 的力矩,2、对转轴的力矩,P*O : 力臂 刚体绕 O z 轴旋,2）合力矩等于各分力矩的矢量和。,其中 对转轴的力矩为零，故 对转轴的力矩：,讨论：,注意：合力矩与合力的矩是不同的概念，不要混淆。,O 1）若力 不在转动平面内，把力分解,3） 刚体内部，作用力和反作用力对同一点（或转轴）的力矩互相抵消。,O,计算对定轴的力矩时，可用正负号来反映力矩方向。,力矩的计算：,计算变力对某一转轴的力矩则应当采取分小段的办法，将每一小段的力视为恒力，再按照恒力矩的计算方法进行计算，最后求和。,3） 刚体内部，作用力和反作用力对同一点（或转轴）的力矩互相,例：一匀质细杆，长为 l 质量为 m ，在摩擦系数为 的水平桌面上转动，求：摩擦力的力矩 M阻。,解：杆上各质元均受摩擦力作用，但各质元受的摩擦阻力矩不同，靠近轴的质元受阻力矩小，远离轴的质元受阻力矩大，,细杆的质量密度：,质元质量：,质元受阻力矩：,细杆受的阻力矩：,例：一匀质细杆，长为 l 质量为 m ，在摩擦系数为 的,练习：如图一圆盘面密度为，半径为R，与桌面的摩擦系数为，求：圆盘绕过圆心且和盘面垂直的轴转动时，圆盘所受的摩擦力矩。,O,解：取一小环为面元，,r,dr,df,若圆盘以0 的初角速度转动，圆盘转多少圈静止?,问题：,(解答需要转动情况下的动能定理),R练习：如图一圆盘面密度为，半径为R，与桌面的摩擦系数为,1、质点的角动量旧称动量矩 (Angular Momentum),质量为 的质点以速度 在空间运动，某时刻相对原点 O 的位矢为 ，质点相对于原点的角动量定义为,大小：,方向：服从右手螺旋定则。,O,m,单位： kg m2/s,二、质点的角动量定理,1、质点的角动量旧称动量矩 (Angular Mome,2）角动量与位矢有关，说到角动量时必须指明是对哪一参照点而言；,例 作圆周运动的质点的角动量。,1）角动量是描述转动状态的物理量；,说明：,质点以角速度 作半径为 的圆周运动，相对圆心的角动量大小为：,质点作匀速率圆周运动时，角动量是恒量。,2）角动量与位矢有关，说到角动量时必须指明是对哪一参照点而言,3) 在直角坐标系中，角动量的表达式为：,例 当质点在 xoy 面内作平面运动时，角动量为：,3) 在直角坐标系中，角动量的表达式为：例 当质点在,例如，电子绕核运动，具有轨道角动量，电子还有内禀的自旋运动，因而具有自旋角动量，等等。,4) 角动量的概念，不但能描述经典力学中的宏观运动，在近代物理理论中仍然是表征微观运动状态的重要物理量。,角动量是原子、分子和原子核系统的基本性质之一，并且只能取特定的不连续的量值，此称为角动量的量子化。在这些微观系统的性质的描述中，角动量起着非常重要的作用。,当质点作平面运动时，质点对运动平面内某参考点O 的角动量（动量矩），也可称为质点对过 O 点垂直于运动平面的轴的角动量（动量矩）。,例如，电子绕核运动，具有轨道角动量，电子还有内禀的自旋运动，,解：,例1: 一质点m，速度为，如图所示，A、B、C 分别为三个参考点，此时m 相对三个点的距离分别为d1 、d2 、 d3 ，试分别求此时刻质点对三个参考点的角动量。,大小：,方向：,都垂直纸面向里,md1d2 d3ABC解：例1: 一质点m，速度为，如图所,例2：有一个质量为 m = 1 kg 的物体, 在力 的作用下运动。 当 t = 0 时， 求: t = 1s时对原点 此1s内，力所做的功？对物体冲量？,例2：有一个质量为 m = 1 kg 的物体, 在力,质点对参考点O 的角动量随时间的变化率，等于作用于质点的合力对该点 O 的力矩 。,2、质点的角动量定理,质点角动量定理的微分形式：,质点对参考点O 的角动量随时间的变化率，等于作用于质点的合力,冲量矩,质点的角动量定理：对同一参考点 O ，质点所受到的冲量矩等于质点角动量的增量。,注意：,定理中的力矩和角动量都必须是相对于同一参考点而言的。,说明:,(1) 冲量矩是质点角动量变化的原因。,(2) 质点角动量的变化是力矩对时间的积累的结果。,冲量矩质点的角动量定理：对同一参考点 O ，质点所受到的冲量,质点所受对参考点 O 的合力矩总为零时，质点对该参考点 O 的角动量为一恒矢量。,3、质点的角动量守恒定律：,说明：,1）质点的角动量守恒的条件是力矩总和为零。,思考：质点作匀速直线运动和匀速率圆周运动,注意：合力为零，合力矩未必为零！,合力不为零时，合力矩可能为零，有两种情况：,一、力的作用点就在参考点，此时位置矢量 = 0；二、沿力的方向的延长线通过参考点，此时：,例：匀速率圆周运动；地球绕日转动,质点所受对参考点 O 的合力矩总为零时，质点对该参考点 O,例如，行星在绕太阳的运动中，对太阳的角动量守恒；人造地球卫星绕地球运行时，它对地心的角动量守恒；电子绕原子核运动时，电子对原子核的角动量守恒。,如果质点在运动中受到的力始终指向某个固定的中心，这种力叫做有心力，该固定中心称为力心。有心力相对于力心的力矩恒为零。所以，在有心力作用下质点对力心的角动量都是守恒的。,2）有心力问题,例如，行星在绕太阳的运动中，对太阳的角动量守恒；人造地球,摆球受力如图。,逆时针,顺时针,重力矩,张力矩,例：质量为的圆锥摆摆球，以速率 v 运动时，对参考点的角动量是否守恒？对参考点的角动量是否守恒？,摆球受力如图。逆时针顺时针重力矩张力矩例：质量为的圆锥摆,大学物理转动惯量ppt课件,例5 一半径为 R 的光滑圆环置于竖直平面内。一质量为 m 的小球穿在圆环上，并可在圆环上滑动。小球开始时静止于圆环上的点 A (该点在通过环心 O 的水平面上)，然后从 A 点开始下滑。设小球与圆环间的摩擦略去不计。求：小球滑到任意点 B 时对环心 O 的角动量和角速度。,解：小球受重力和支持力作用. 对O点, 支持力的力矩为零，重力矩垂直纸面向里。,由质点的角动量定理：,例5 一半径为 R 的光滑圆环置于竖直平面内。一质量为 m,考虑到,有,由题设条件, 对上式积分, 有,考虑到有由题设条件, 对上式积分, 有,例6 ：用绳系一小球使它在光滑的水平面上做匀速率圆周运动，其半径为 r0 ，角速度为0 。现通过圆心处的小孔缓慢地往下拉绳使半径逐渐减小。求：当半径缩为 r 时的角速度。,解：,以小孔 O 为原点，绳对小球的拉力为有心力，,对O 点其力矩为零，,则小球对O 点的角动量守恒。,初态：,末态：,角动量守恒：,所以：,或：,例6 ：用绳系一小球使它在光滑的水平面上做匀速率圆周运动，其,应用角动量守恒定律可以证明开普勒第二定律:,16世纪末至17世纪初，开普勒仔细地分析整理了前人记录下的大量精确的有关行星运动的资料，总结出行星运动的规律、即开普勒三定律。只是开普勒尚不理解，他所发现的三大定律已传达了重大的“天机”。由于角动量正比于位矢的掠面速度，因此开普勒第二定律意味着角动量守恒。事实上，牛顿定律及万有引力定律提出时都以开普勒定律为验证实例,行星与太阳的连线在相同时间内扫过相等的面积.,应用角动量守恒定律可以证明开普勒第二定律:16世纪末至,行星在太阳的引力作用下沿椭圆轨道运动，由于引力的方向在任何时刻总与行星对于太阳的位矢反平行，因此行星受到的引力对太阳的力矩为零。,角动量的方向不变，表明位矢和速度所决定的平面的方位不变，行星就在这个平面内运动，它的轨道是二维的。,所以，行星在运行过程中，它对太阳的角动量保持不变。,行星在太阳的引力作用下沿椭圆轨道运动，由于引,在dt时间间隔内，,扫过的面积为,而行星对太阳的角动量的大小,有心力作用，角动量 L 守恒，故面积变化率恒定。,Kepler第二定律的证明：,在dt时间间隔内，扫过的面积为而行星对太阳的角动量的大小有心,在低轨道上运行的地球卫星，由于大气摩擦阻力对地心的矩不为零，其对地心的角动量不守恒。在此力矩的作用下，卫星的角动量值不断减小，最后陨落地面。,角动量守恒是自然界的普遍规律。,角动量守恒、动量守恒、能量守恒定律并称为三大守恒定律，这三大守恒定律的成立有着深刻的内在原因。现代物理学已确认，这些守恒定律是和自然界的更为普遍的属性时空对称性相联系的。 能量守恒和动量守恒分别是时间平移对称性和空间平移对称性的结果，而角动量守恒是空间旋转对称性的结果。(参6.4, 自学),在低轨道上运行的地球卫星，由于大气摩擦阻力对,例7: 一颗地球卫星，近地点181km，速率8.0km/s，远地点327km，求：在远地点处的卫星速率。,解：,卫星对地球的角动量守恒,近地点,远地点,则,且,思考：行星对椭圆轨道的另一焦点角动量是否守恒？,例7: 一颗地球卫星，近地点181km，速率8.0km/s,质点系的角动量定理,质点系的角动量,质点系的角动量,质点系的角动量定理质点系的角动量质点系的角动量LSiLirS,对质点系:,质点系的角动量定理推导 Om12mF1F1内F2内外F,角动量定理的微分形式,角动量定理的积分形式,作用于质点系的外力对参考点 O 的合力矩 ，等于质点系对该点的角动量随时间的变化率.,对同一参考点 O ，质点系所受的冲量矩等于质点系角动量的增量.,角动量定理的微分形式角动量定理的积分形式质点系的角动量定,若质点系所受的外力对某固定参照点的力矩的矢量和为零，则质点对该固定点的角动量守恒。,质点系的角动量守恒定律,由：,若质点系所受的外力对某固定参照点的力矩的矢量和为零，,（1）,（2）,（3）,（4）,两人同时到达；,用力上爬者先到；,握绳不动者先到；,以上结果都不对。,两人质量相等,O,一人握绳不动,一人用力上爬,可能出现的情况是,终点线,终点线,滑轮质量,既忽略,轮绳摩擦,又忽略,（1）（2）（3）（4）两人同时到达；用力上爬者先到；握绳不,Om12mv12vR同高从静态开始往上爬忽略轮、绳质量及轴摩,例8 一质量,解 设飞船在点 A 的速度 , 月球质量 mM ,由万有引力和牛顿定律,解 设飞船在点 A 的速度 ,得,得,当飞船在A点以相对速度 向外喷气的短时间里，飞船的质量减少了m而为 ，并获得速度的增量 ，使飞船的速度变为 ，其值为：,质量 在 A 点和 B 点只受有心力作用，角动量守恒,得得 当飞船在A点以相对速度 向外喷气的短,飞船在 A点喷出气体后, 在到达月球的过程中, 机械能守恒,即,于是,而,飞船在 A点喷出气体后, 在到达月球的过程中, 机械能守恒即,定轴转动的角动量定理和角动量守恒定律(5.3, 5.4),1、刚体定轴转动的角动量,(所有质元的角动量之和),对于刚体的定轴转动，我们应当用角动量来描述刚体运动状态，而不是用动量。,引入转动惯量(后详述),有,一般:,定轴转动的角动量定理和角动量守恒定律(5.3, 5.4,2、刚体定轴转动的角动量定理,质点系：,定轴转动：,故,对刚体:,定轴转动的角动量定理：作用在刚体上的合外力矩的冲量矩等于作用时间内角动量的增量。,对非刚体：,2、刚体定轴转动的角动量定理O质点系：定轴转动：故对刚体,内力矩不改变系统的角动量。,守恒条件：,若 不变， 不变；若 变， 也变，但 不变。,定轴转动的角动量定理,在冲击等问题中，,当刚体受到的合外力矩恒为0 时，其角动量守恒。,守恒有两种情况：,3、刚体定轴转动的角动量守恒定律,内力矩不改变系统的角动量。 守恒条件：若,守恒条件：,不仅要分析力（是外力还是内力），而且重要的是要分析外力力矩的和。,当合外力不为0时，合外力矩可以为0 (看对何轴),当合外力为0时，合外力矩不一定为0；,讨论守恒条件：不仅要分析力（是外力还是内力），而且重要的是要,解：两飞轮通过摩擦达到共同速度,合外力矩为0，系统角动量守恒。,共同角速度,例9：两个共轴飞轮转动惯量分别为J1、J2，角速度分别为 1 、2，求：两飞轮啮合后共同的角速度 。,解：两飞轮通过摩擦达到共同速度,合外力矩为0，系统角动量守恒,王注: 对点和对轴转动情形都可用上式定义，但其中的 r 含义不同(教材中只涉及对定轴转动情形)：对参考点转动：r 为各质点(元) 到参考点的距离；对参考轴转动：r 为各质点(元) 到转轴的垂直距离。,物理意义：是刚体转动的惯性的量度。,刚体的转动惯量的大小：,1）与刚体的总质量、形状、大小有关。,2）与质量对轴的分布有关。,3）与轴的位置有关。(所以必须指明对何轴/点的J ),对确定的刚体、给定的转轴(或定点)，J是一常数,定义:,转动惯量问题,质点系：,王注: 对点和对轴转动情形都可用上式定义，但其中的 r 含,质量离散分布质点系的转动惯量：,转动惯性的计算:,质量离散分布质点系的转动惯量：转动惯性的计算: 质量连续分,质量线分布的刚体：,：质量线密度,质量面分布的刚体：,：质量面密度,质量体分布的刚体：,：质量体密度,只有对于几何形状规则、质量连续且均匀分布的刚体才能用积分直接计算出刚体的转动惯量。对于形状复杂的刚体通常通过实验测得其转动惯量。,质量线分布的刚体：质量线密度质量面分布的刚体：质量面密度,若连接两小球（视为质点）的轻细硬杆的质量可以忽略，则：,可视为分立质点结构的刚体:,m12m转轴Ol1l2 若连接两小球（视为质点）的轻细,例1：求半径为 R 质量为 M 的圆环绕垂直于圆环平面的质心轴转动的转动惯量J。,解：,分割质量元 dm，各质量元到轴的距离相等，,绕圆环质心轴的转动惯量为:,相当于质量为M的质点对轴的转动惯量，与质量在环上的分布无关。,例1：求半径为 R 质量为 M 的圆环绕垂直于圆环平面的质心,例 2： 一质量为 、半径为 的均匀圆盘，求：通过盘中心 O 并与盘面垂直的轴的转动惯量。,解 设圆盘面密度为 ，在盘上取半径为 ，宽为 的圆环。,圆环质量,所以:,圆环对轴的转动惯量,转动惯量与盘上质量对轴的分布有关,O,m,dm,思考: 圆柱如何？解题时常用到,例 2： 一质量为 、半径为 的均匀,解 设棒的线密度为 ，取一距离转轴 OO 为 处的质量元 ,例 3 : 一质量为 、长为 的均匀细长棒，求：通过棒中心（和端点）并与棒垂直的轴的转动惯量。,如转轴过端点垂直于棒,转动惯量与轴的位置有关。,OO 解 设棒的线密度为 ，取一距,匀质矩形薄板,转轴通过中心垂直板面,匀质细圆环,转轴通过中心垂直环面,匀质细圆环,转轴沿着环的直径,匀质厚圆筒,转轴沿几何轴,匀质圆柱体,转轴通过中心垂直于几何轴,匀质薄球壳,转轴通过球心,R2=0时, 即为圆柱,RRRR12RRLba匀质矩形薄板转轴通过中心垂直板面I =,平行轴定理:,P,转动惯量的大小取决于刚体的质量、形状、大小、质量分布及转轴的位置。,质量为 的刚体，如果对过质心轴的转动惯量为 ，则对任一与该轴平行，相距为 的转轴的转动惯量为：,例:圆盘对P 轴的转动惯量:,(证明需用质心性质，此略),平行轴定理:P转动惯量的大小取决于刚体的质量、形状、大小、,例：如图所示，求：刚体对经过棒端O且与棒垂直的轴的转动惯量？(棒长为L、圆盘半径为R）,例：以长为 l、质量为 m 的匀质细杆绕其一端垂直于杆的轴转动为例，利用平行轴定理求转动惯量 。,解：绕细杆质心的转动惯量为：,绕杆的一端转动惯量为,记住！,例：如图所示，求：刚体对经过棒端O且与棒垂直的轴的转动惯量,转动惯量的计算方法：,）直接由定义求：（注意 r 为到轴的垂直距离）,）复杂形状的刚体，可以先求出简单形体的，再相加。（注意对同一轴）,）平行轴定理：,转动惯量的计算方法：）直接由定义求：（注意 r 为到轴的垂,例5 质量很小长度为l 的均匀细杆，可绕过其中心 O并与纸面垂直的轴在竖直平面内转动。当细杆静止于水平位置时，有一只小虫以速率 垂直落在距点O为 l/4 处，并背离点O 向细杆的端点A 爬行。设小虫与细杆的质量均为m。求：欲使细杆以恒定的角速度转动，小虫应以多大速率向细杆端点爬行?,解：小虫与细杆的碰撞视为完全非弹性碰撞，碰撞前后系统角动量守恒。,例5 质量很小长度为l 的均匀细杆，可绕过其中心,由角动量定理,即,考虑到,由角动量定理即考虑到,例：质量为m 半径为R 的匀质薄球壳，求：其绕过球心的轴（直径）的转动惯量。,解：,在球面取一圆环带，,半径,例：质量为m 半径为R 的匀质薄球壳，求：其绕过球心的轴（,例：质量为m 半径为R 的匀质球体绕过球心的轴（直径）的转动惯量。,解：,把球体看作无数个同心薄球壳的组合,注: 也可把球体看作无数个同轴薄圆盘的组合 (自练习),例：质量为m 半径为R 的匀质球体绕过球心的轴（直径）的转,例8 有一长为l，质量为m1的均匀细棒，静止平放在光滑水平桌面上，它可绕通过其端点O，且与桌面垂直的固定光滑轴转动。另有一质量为m2 、水平运动的小滑块，从棒的侧面沿垂直于棒的方向与棒的另一端A相碰撞，并被棒反向弹回，碰撞时间极短。已知小滑块与细棒碰撞前后的速率分别为v和u，则碰撞后棒绕轴转动的角速度 为多大？,例8 有一长为l，质量为m1的均匀细棒，静止平放在光滑水,解：,不考虑摩擦时, 棒和滑块组成的系统对过O点的竖直轴合外力矩为0，碰撞前后角动量守恒,解：不考虑摩擦时, 棒和滑块组成的系统对过O点的竖直轴合外力,解： 碰撞前 M 落在 A点的速度,碰撞后的瞬间，M、N具有相同的线速度。,例9 一杂技演员 M 由距水平跷板高为 h 处自由下落到跷板的一端 A，并把跷板另一端的演员N 弹了起来。设跷板是匀质的，长度为l，质量为 ，跷板可绕中部支撑点C 在竖直平面内转动，演员的质量均为m。假定演员M落在跷板上，与跷板的碰撞是完全非弹性碰撞。求：演员N可弹起多高?,ll/2CABMNh解： 碰撞前 M 落在 A点的速度 碰,把M、N和跷板作为一个系统，角动量守恒。,解得,演员 N 以 u 起跳，达到的高度,把M、N和跷板作为一个系统，角动量守恒。解得演员 N 以,