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渐变折射率平面波导导模分析 介质光波导技术扩散、离子交换等方法制作的光波导，其折射率是渐变的。研究渐变折射率平面波导有实际意义。 主要内容：渐变折射率平面波导导模几何光学分析、电磁场分析,理解：n1sin1= n2sin2 n1 n2，2 1n2sin2 = n3sin3 n2 n3，3 2,渐变折射率平面波导几何光学简要分析一、轨迹 光线轨迹总是从低折射率向高折射率弯曲。,“拐点” A 、B ：在A、B点光线切线平行于Z轴。光线在A、B点转向后，朝折射率更高的区域传播。 有效深度：上下拐点之间。,轨迹：,不同模式，x1、x2不同，拐点位置不同，轨迹不同。,导模阶数越高:光线轨迹 ?,离Z轴越远。,基模: ?,在“拐点” A、B之间，光线以曲线形式传输。,光线轨迹离Z轴最近。,二、横向谐振条件(特征方程) 横向谐振：,x2、x1之间的相位变化：,h(x)= X方向相位常数（波矢分量）,从x2 x1下一个x2 的相位变化2m。,不同点处的折射率n(x)随x不同，所以，各点处的波矢的大小、方向不同。,x处的波数 k(x)=n(x)k0 传播常数 (x)= kz(x)=n(x)k0sin(x),X方向波数分量 h(x)= kx(x)=n(x)k0cos(x) 所以， h(x)= n(x)k0 1-sin2(x)1/2 =n2(x)k20- 2(x)1/2,在拐点处不存在截然全反射，但是可以证明：TE、TM模在拐点的相位移均为/2(落后)。,导模的特征方程, 对称渐变折射率波导导模特征方程。,渐变折射率波导导模场解 设折射率沿X方向渐变，Y方向无穷大，无限制。一、渐变折射率波导的波动方程根据无源各向同性介质中的波动方程,考虑n(x)，仅随x变化，而且， (x)=ro= n2(x)o，可以推得在折射率随x变化的介质中，波动方程,二、抛物型折射率分布波导导模场解折射率分布,弱导,1、TE模,运用,将折射率分布 代入,即,此方程，类似量子力学的一维线性谐振子能量算符本征方程:,(A),(B),(B),（1）方程形式相似（2）求解方程任务相似(B) ：求(x)、E(A)：求Hx、 （3）(x)、Hx性质相似,可见：,（4）参数对比,相当于,相当于,所以，可以利用 (B)或(B)的解，得到(A) 解。,(均为实数),(均为实数),其中，n叫量子数，H( )叫厄米多项式。,(B)或(B) 解：,本征值,本征函数,或,归一化常数,设：,En只有这样取值，才能保证本征函数解在|x|时，取有限值】,对于抛物型折射率分布波导定义参数：,设,将(A)与(B)或(B)对照，通过运算，得到：,的条件下 ，场解为,m阶厄米多项式,在,其中，,【保证解在|x|时，取有限值】,关于厄米（n阶）多项式 微分形式 递推公式,最低阶的Hn(),由模式归一化 可以确定C 。,导模场解,【即为了保证场解在|x|时，取有限值】,特征方程,利用定义的常数，特征方程可以写成,考虑“临界截止”,这时，,0,而特征方程,所以，这时, 抛物型折射率分布波导临界截止方程。,由,可以求出m阶导模的截止波长、波导截止厚度。,2、TM模,运用设求解(x)的方法与求解TE模类似,这是强非对称分布。,三、指数型折射率分布波导,1、TE模 【Hx、Ey满足相同的波动方程】运用,代入折射率：,式中，令 叫“归一化频率”,令做坐标变换：,导模波动方程： 这是典型的2w阶Bessel方程，解为 J2w() 和 J-2w()。,x 0,后者在=0(x)时发散，舍去。要求w为实数，否则，方程无意义。,TE模场：,x 0,对于x 0， ，场解为,衰减系数。,利用边界条件，x0处，Ey及其导数连续,并且应用Bessel函数的递推公式：,A、B不全为0，其系数行列式为0，得到TE模的特征方程,实际波导一般很小，特征方程化简,由特征方程可以求出w，再用w的定义，可以求出。,利用Bessel函数渐近公式：截止方程 m=0,1, 2,.,根据w的定义：,导模：n2ko n1ko。(临界)截止， n2ko，即w20所以，(临界)截止特征方程,截止“归一化频率” m=0，1，2.【 不能为负】,2、TM模波动方程 利用TM模分量关系,的第一式 ，将Ex的波动方程变成切向量Hy的波动方程。略去 、,TM模波动方程,设 Hy(x)=(x)n(x) 代入波动方程此方程与TE模的Ey波动方程相同，所以 x 0,对于x 0， ，场解为,衰减系数。 利用边界条件（x0，Hy及其导数连续），可得TM模的特征方程。,四、1/cosh2型折射率波导导模场解折射率,h是波导的厚度； 2n3n是最大折射率与衬底折射率的平方差。,若n n3，则应用数学公式,对于TE模，波动方程,将n(x)代入，解得TE模场分布,式中，Us是超几何函数；s是模阶数。,低阶超几何函数：,式中，S是从导模方程求解中得到的波导承载的最大导模数*,其中，,第s导模的传播常数、有效折射率,当折射率n(x)的梯度很小时，TE的这些解也可以用于TM模的近似解。,渐变折射率光纤中的导模 主要内容：渐变折射率光纤中的导模几何光学分析、电磁场分析、场解,渐变折射率型光纤的几何光学分析一、光线分类1、子午光线： 不断与光纤轴相交端面投影为一条直径(含中心光线) 特殊的，直行光线：光线轨迹光纤轴线2、偏斜光线： 螺旋线，不与光纤轴相交。,二、子午光线轨迹方程 可以认为，沿r方向折射率是一层一层分布的,r0 、Z0是光线入射进光纤的初始径向坐标、折射角,根据折射定律：,子午光线轨迹方程,三、最佳折射率分布子午光线的自聚焦 自聚焦光纤中不同的光线，具有相同的轴向速度。 轴向速度相同即轴向周期相同，而与入射条件无关。 (可以消除模式色散。色散：速度不同，到达的时间不同),若折射率分布为 n(r)n(0)/cosh(Ar),将代入子午光线轨迹方程，得到,A、C为常数,由上式:,可知r，随Z周期变化，周期值为sinA(Z-C)的周期 L=2/A与初试条件z0、r0无关,即，折射率为 的光纤，子午光线沿Z方向传输，具有相同的轴向传播速度自聚焦。,自聚焦,平方率光纤型折射率,平方率光纤型折射率,而,所以，平方率型光纤能够自聚焦。,略去高次项，,平方率型光纤导模电磁场解波动方程,渐变折射率光纤中，折射率满足缓变条件： n/n 1 即 / 1，,波动方程,设解为简谐振动,并考虑到 0n2(r),波动方程,波导场方程,采用与阶跃型光纤类似的处理方法,可将渐变型光纤中的场分为角向函数ej f与径向函数F(r)的乘积;F(r)满足的方程为:,渐变折射率分布,渐变折射率分布光纤的纤芯中,折射率n(r)是径向距离r的函数；g=1: 三角分布g=2: 平方率分布g=： 阶跃分布实际使用的光纤绝大多数是弱导光纤,纤芯中折射率变化很缓慢。,平方率分布光纤中的波导场方程,平方率分布光纤中的场解,本征值与本征解,模式数目,由本征值方程 弱导光纤中存在线偏振模主模式标号: p=2m+1最高阶导模主模式标号pmax近似对应于光纤中的导模数目。而pmax对应于b=n2k0, 得到：pmax= V/2 ，或导模数目：M= 4(1/2)(V/2)(V/4)= V2/4,基模场分布与模场半径,基模为 LP00, 场分布为：E00 exp(-r2/W02)平方率分布光纤基模场分布为高斯函数，其模场半径W0为基模场的振幅衰减到最大值的1/e时场分布的半宽度：,光脉冲在光纤中的传输主要内容： 色散、光脉冲展宽基本概念,回顾 相速度、群速度（一）相速度相速度等相位面的移动速度,若,对时间微分, 得到相速度,V = dz/dt,一般，如 f = A(r)sint-(r)， t 固定， (r) 常数叫等相位面 A(r) 常数叫等振幅面,（二）群速度,一般不重合非均匀波,相速度并不是光信号（光能量）传播的速度。相速是单色波特有的一种速度。,一般介质，色散存在，各种色散波相速不同。实际波列在传播中要发生变形。,假设波列由两个频率相近且振幅相等的正弦波叠加而成 f 1 = Asin1t - 1Z f 2 = Asin2t - 2Z,1= 0+ ; 2= 0- ; 1= 0+ ； 2= 0- ； 0、 0是平均角频率、平均波数。,一般， 0 ; 0 2Acost - Z 为振幅，比sin0t + 0 Z 要慢得多。其值在02A之间。,振幅有一系列极大值，其间隔,相位函数的各个极大值间隔为,群速度在波群上取一点(如振幅最大值点)，其位移速度等幅面的速度。,等幅面：2Acos t - Z 常数，即 t - Z 常数 所以， dt - dZ = 0 群速,群速与相速的关系:,传输方向仅为Z方向 k,光脉冲传输的群延时,群延时,L：距离；c ：真空中光速若g = 常数，群延时不随频率而变化-无色散。,群速度,群延时差源于：(1)波导材料色散 n (2)波导结构色散 w(3)多模色散 m,波长、频率色散,实际，、 ()关系复杂， g不为常数，群延时出现差异群延时差，造成脉冲展宽。,-多模光纤占主导,1、波导材料色散引起的群延时差n 定义单位长度上的材料色散引起的群延时（率）,考虑传输方向为Z方向， = nk0 ( = n1k0 ),表示材料色散存在，造成材料折射率随波长变化，引起群延时 随波长变化。,光脉冲是由多个不同波长的脉冲叠加而成。每个脉冲因波长不同而具有不同的 ，引起脉冲展宽。,材料色散引起的脉冲展宽定义为群延时率(单位传输距离)之差,材料色散-材料折射率随波长而变化，其值正比于光源光谱宽度。 随的增加而减小。选择较小的光谱宽度和长波长，可以减小材料色散引起的群延时差。,石英材料色散曲线,2、波导结构色散引起的群延时差w,定义,对于阶跃光纤,归一化频率 归一化径向参数归一化径向衰减常数,应用以上关系，以及群延时公式,可以得到结构色散引起的群延时率(单位传输距离)之差,推导：,结构色散的群延时为,首先计算,结构色散的群延时,结构色散引起的群延时率(单位传输距离)之差,推导结束,由于结构色散引起的群延时率(单位传输距离)之差，源于光谱宽度、波导结构。,波导(结构)色散因子。,V=1.2时，波导色散达到最大值。V一般取值为0.20.4，色散因子 介于0.10.2之间，很小。 例如，=0.01，n1=1.4， 这个值很小。,单模光纤： 对于短波长(0.85um)的单模光纤，材料色散为主(波导结构色散远小于材料色散)。 对于长波长(1.3um)的单模光纤，结构色散为主(材料色散很小，与结构色散在一个量级）。 适当调整光纤结构，在1.33-1.7um范围，可以实现总的色散值很小。1.55 um处，可能获得零总色散。,多模光纤：模间色散远大于材料色散、波导结构色散。,3、多模色散群延时差m 估算 行进最快的模(最低阶) 行进最慢的模(最高阶),两者延时差,最低阶导模沿光纤轴线传输，延时 最高阶导模以c为折射角，以折线传输，延时,模间群延时差,减小V、即减小n1、 n2之差，有利于减小模间色散。,模间色散比喻图,三种群延时差比较： =0.8 m，=40nm，=0.001，n1=1.4材料色散群延时差 4.4 ns/km结构色散群延时差 0.0025 ns/km多模色散群延时差 500 ns/km,例：光脉冲(高斯调制)的传输光纤端面Z=0处的光场,若光源无调制（无脉冲宽度）,设光源功率受到高斯信号脉冲调制,光源光电场调制,调制后，输入端,注意：场与时间、传输距离Z有密切关系，而且还要考虑每个模式的相位落后,设光源功率受到高斯信号脉冲调制后，,做傅立叶变换，得到输入端面上(x,y,z=0,t)的频率谱密度函数：,输入端面上，(x,y,z=0,t)与频率谱密度函数()之间互为傅立叶变换,输入端面上，频率谱密度函数()的逆傅立叶变换,任意Z处的场的频谱密度函数为,任意Z处的场,Ap、Ep都是频率的缓变函数,F()在=c处变化很快(陡)。这样，积分在 =c处才有显著值。积分可以在 =c 附近狭窄的区域进行。 因此，Ap、Ep可以提出积分号，并令Ap、Ep 中的 =c,代入 F(),(t)决定脉冲展宽。,若 ()是的线性函数，(t)可以得到解析结果。但是，一般 ()不是的线性函数。 调制信号频率 载波频率。积分在 =c 附近取有效值。 把p() 按(-c) 展开成泰勒级数：,略去2阶以上的高次项，代入(t),光脉冲强度正比于|(t)|2,输入端Z=0， 光强正比于,(1)无色散 (C) =常数， (C) =0,此时，光强极大值为S。定义，脉冲宽度 =极大值的1/e 全宽。,可见，输入端Z=0处，脉冲宽度 =2。,某Z处，当 时， (t)取最大值S。,可见，无色散，光脉冲宽度保持不变。,(2)有色散 (C) 常数 ； (C) 0,Z0处，,脉冲宽度 = 极大值的1/e 全宽0(Z)2。,在某Z处， 当t = (C) Z时，光脉冲强度取最大值，为,设Z处的脉冲宽度为(Z)：,有色散时Z处脉宽无色散时Z处脉宽,Z处，脉冲宽度展宽率,有色散时Z处最大值无色散时Z处最大值,可见: (1)脉冲展宽以最大值下降为补偿。 (2)色散引起脉冲展宽源于 (C) ，且随着距离增加而增加。,对于平方率型光纤（对称）,传播常数,其中，p、q0，1，2.,一般，p、q不大时，,其中忽略了材料色散，即光纤芯处折射率与频率无关。典型数据,典型数据，n(0)=1.5，=0.01，a=50um，c31015，100ps，传输距离1km,可见，对于平方率型光纤，光脉冲经过1km距离的传输引起的脉冲展宽很小，可以忽略。,
