复变函数项级数课件.ppt

4.2 复变函数项级数,一、复变函数项级数,定义4.4,域D内有定义，,表达式,称为复变函数项级数，,称为函数项级数(1)的部分和函数。,它的前项和,记作,(1),4.2 复变函数项级数一、复变函数项级数定义4.4域D,收敛点；,级数(1)的发散点。,称为它的收敛域。,则函数,(2),称为它的和函数。,若极限存在，则称为函数项级数(1)的收敛点；若极限不存在，则,二 幂级数,形如,或,的函数项级数称为幂,级数。,幂级数的收敛域,z=0是级数的收敛点 。,定理1(Abel),如果幂级数,敛，,那么对满足,的一切z，,级数,必绝对收敛。,若幂级数,则对满足,的一切z，,二 幂级数形如或的函数项级数称为幂级数。幂级数的收敛域,Abel定理证明,根据级数收,敛的必要条件有,因而存在正数M,使,对一切自然数n，,有,从而,如果,根据正项级,即当,时，,另一部分的证明用反证法：,幂级数,Abel定理证明收敛，由于级数根据级数收敛的必要条件有因而存,收敛，,则由上面的讨论知，,对收敛，,与题设矛盾。,幂级数的收敛半径,利用阿贝尔定理，,可以确定幂级数,的收敛范围。,说，它的收敛情况可以分为下列3种：,只在原点z=0处收敛，其它点处处发散，如幂,级数,在全复平面上处处绝对收敛，如级数,在复平面上有非零的收敛点，也有发散点；,收敛，则由上面的讨论知，级数绝对收敛，与题设矛盾。幂级数的,收敛圆,定义4.5,若存在实数,内绝对收敛，,则称,R为收敛半径。,对于前面所说的幂级数的3种收敛情况，可知：,若只在原点收敛，则收敛半径,若在全平面上处处收敛，则收敛半径,若既有收敛的点，也有发散点，,则收敛半径满足,收敛圆定义4.5若存在实数使幂级数在圆域内绝对收敛，内发散，,解：,所以,级数收敛；,而当,时，,不收敛，,级数发散。,所以，原级数,的收敛半径为,收敛域为,并且,例1 求下列级数的收敛半径,解：所以当时，级数收敛；而当时，不收敛，级数发散。所以，原级,定理4.8,设幂级数,若下列条件之一,成立,1）,（比值法达朗贝尔公式)。,2）,（根值法柯西公式) 。,则它的收敛半径,定理4.8设幂级数若下列条件之一成立1）（比值法达朗贝尔公式,例2,求下列幂级数的收敛半径,2）,3）,解：,1）,2）,3）,例2求下列幂级数的收敛半径1）其中2）3）解：1）2） 3,三、幂级数的运算和性质,1. 幂级数的四则运算,设,及,的收敛半径为R1 和R2，,且,则,其中,三、幂级数的运算和性质1. 幂级数的四则运算设及的收敛半径为,2幂级数的复合运算,设幂级数,而函数g(z)在,内解析,且满足,则,特别地，若,则幂级数,此时，,也称R为幂级数,的收敛半径，,为它的收敛圆。,2幂级数的复合运算设幂级数而函数g(z)在内解析,且满足则,求幂级数,的收敛域。,解：,收敛圆为,，在,上,是收敛的，,所以,原级数的收敛域为,例3,求幂级数的收敛域。解：收敛圆为，在上是收敛的，所以原级数的收,例4求以下幂级数的收敛半径,解：,幂级数,的收敛半径,由幂级数,的复合运算法则知幂级数,即它的收敛,半径为,例4求以下幂级数的收敛半径解：幂级数的收敛半径即它在内收敛,例5,的幂级数。,解： 将 f (z)变形，,使之成为z -2的函数。,例5试把表示成形如的幂级数。解： 将 f (z)变形，使之成,2.幂级数在收敛圆内部的性质,定理4.9,则在收敛圆内部有以下性质：,（1）和函数在收敛圆域内解析；,（2）逐项积分：,沿收敛圆域内的任一条简单光滑,(或分段光滑)曲线可对积分，,并且对级数可逐,项积分，,且收敛半径不变，,即有,2.幂级数在收敛圆内部的性质定理4.9设幂级数的收敛半径为R,（3）逐项求导：,在收敛圆域内可逐项求导，,且收敛,半径不变，,即有,（3）逐项求导：在收敛圆域内可逐项求导，且收敛半径不变，即有,