奥数八年级详解完美课件.pptx

初中升高中之奥数总复习之二(祥解)-初中八年级之一奥数(祥解集),初中升高中之奥数总复习之二(祥解)-初中八年级之一奥数(,八年级（上册）第11章 三角形全等1,1、把两个全等的三角形，重合在一起，重合的顶点叫对应顶点，重合的边叫对应边，重合的角叫对应角。,两个三角形能完全重合，这两个三角形叫全等三角形 用表示,1、三边对应相等的二个三角形全等（边边边，即SSS）2、两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（边角边，即SAS）3、两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（角边解）即ASA4、两角和其中一个角的对应边对应相等的两个三角形全等 （角角边） 即AAS两边但不是两边夹角的的二个三角形不一定全等。SSA三个角都相等的两个三个形不一定全等 即AAA5、斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。,1、角平分线上的点到角两边的距离相等。2、角的内部到两边距离相等的点都在角平分线上。3、怎样作一个角的角平分线作解内二个三角形全等。,八年级（上册）第11章 三角形全等11、把两个全等的三角,三角形全等2,例1）已知（如图）所示，ABC是等边三角形，过AC边上的点D作DGBC,交AB于点G，在GD的延长线上取点E,使DE=DC,连接AE、BD 求证 : (1)AGEDAB过点E作EFBD,交BC于点F,连接AF,求AFE的度数。,解： （1）因为DGBC 所以AGD也是等边三角形，则AG=AD AGD= GAD=60 又 DE=DC AD+DC=DE+GD=AB 即GE=AB,又AG=AD AGD= GAD=60 所以AGEDAB（SAS）所以有ABD+ DBC=60 = AEG+ GEF,所以AFE是等边三角形（等腰三角形，且有一个角是60 ），因而AFE=60因AGEDAB，所以AE=DB; 因 BFGE是平行四边形. BD=EF DBC=DEF AEG=ABD;,例2）如图所示，正方形ABCD的对角线AC与BD相交于点O,且BE=CF,求证 OEC=OFD,解：因为 EBC=DCF=45 BC=DC BE=FC 所以 BCEDCF (SAS) BEC= DFC. 又因为 OEC=180- BEC =180 -DFC= OFD OEC=OFD,三角形全等2例1）已知（如图）所示，ABC是等边三角形，,三角形全等3,例3）已知AD是三角形ABC的中线，BE交AC于点E，交AD于点F,且AE=EF,求证：AC=BF.,解：作AD的延长线至H点，使AD=DH, 连接BH, BD=DC(中点) ；AD=DH; BDH=ADC BDH ADC(SAS) 有AC=BH 所以BHD= DAC又DAC = AFE(等边对等角) BHD=BFD 所以 BF=BH(等腰三角形) AC=BH=BF 即 AC=BF 成立。,例4）如图所示， ABC是等边三角形，延长BC到D，延长BA到E，使BDAE,求证CE=DE,解：在BE上取点F（或者过D点作AC的平行线，交BE于点F）， 使BD=BF, 则BDF是等边三角形， BD=BF =AE BA+AF=AF+FE 即有AC=BA=FE EAC=EFD (同旁内角相等) FD=BD=AE EAC EFD 所以CE=DE,三角形全等3例3）已知AD是三角形ABC的中线，BE交A,三角形全等4,例5）如图正方形ABCD的对角线AC与BD点交O, E为AC上的一点，连接BE,过A点作BE垂线，垂足为M，AM交BD于F。求证： （1） OF=OE(2)如果E点在AC延长线上，AMEB 于点M,交DB的延长线于点F，其它条件不变，OF=OE 还成立吗？,解： （1） AMB= AOF=90 BFM= AFO(对顶角相等)，所以FBM= FAO; FBM= FAO ,OB=OA AOF=BOE=90 AOF BOE 所以OF=OE (2) 只要求证AOF BOE 就可以了。,三角形全等4例5）如图正方形ABCD的对角线AC与BD点,三角形全等5,例6）已知ABC中， A=2B ; CD是 ACB平分线，求证：BC=AC+AD,解：在BC上取点E，使得 CE=AC, 因为CD是ACB平分线，所以有 ACB= DCEACD CDE即DE=AD, DEC= A 又因为DEC= B+BDE=2 B.所以有B= BDE 即BE=ED(等角对等边)所以BC=EC+BE=AC+AD 求证成立。方法二：将CA延长至E,使EA=AD 也可以。,例7） D、E分别是等边三角形ABC边上的点，且AD=CE,BD与AE交于P点这，BQAE于点Q。求证：PQ1/2PB,解：因为AD=CE; BAC= C ; AB=AC 所以AEC ABD 因而有 ABP= EAC BPQ= ABP+ BAP= BAP+PAD=60 在直角三角形中， PQB=90 - PBQ=30 所以PQ=1/2PB,三角形全等5例6）已知ABC中， A=2B ;,三角形全等6,例8）在直角梯形ABCD中， ABC=90,ADBC, AB=BC,E是AB的中点，CEBD （1）求证 BE=AD; (2) 求证：MAMD （3）DB=DC,证明 （1） 因为 ABC=90，所以ABC=90 又CE BD BEC+ EBC=90 BEC+ BCE=90 EBD= BCE 在ABD与 BCE中， AB=BC; BAD= ABC=90 ABD= BCE 所以ABD BCE（ASA） BE=AD因为 AB=BE ABC=90 所以 BAC =BCA=45 CAD= ACB=45 (内错角相等) ； 又因为 EAD是等腰直角梯形， 所以ADE=45= CAD 所以AM=MD(等角对等边)（3）因为 EAC=CAD=45; AE=EB=AD; AC=AC 所以AEC ADC (SAS) 即有 DC=EC 又因为BD=EC 所以有BD=DC,三角形全等6例8）在直角梯形ABCD中， ABC=90,三角形全等7 奥1,例1）等腰梯形ABCD中，AD B C，ADABCD2， C60 ，M是BC的中点。求证： （1） MDC是等边三解形。（2）MDC绕点M旋转，当MD（即MD）与AB交于一点E，MC（MC）同时与AD交于一点F时，点E、F和点A构成 AEF，试探究 AEF的周长是否存在最小值，如果不存在说理由，如果存在，请计出AEF周长的最小值。解： （1）过A、D分别作底 边上的垂线，可知BPQC1 PQ2 因此BC2AD，因而有 四边形ABMD 是棱形，所以有 BMMDMC（M是中点）DC（等腰梯形） DMC等边三角形。（2）因为EMF= AMB=60 又 AME+ EMB=60 AME+ AMF=60 所以有 EMB= AMF; MAF =MBE=60;BM=AM 所以有 BME AMF 因而有 AF=BE EM=MF AF+AE=AE+BE=AB=2cm 又因EMF=60 EM=MF 所以EFM是等边三角形， 即EF=MF,从运动可知，MF最短，是平行线AD与BC的距 离是 。AEF周长 AE+AF+EF=AB+EF=AB+MF,所以最短的距离为 2+,三角形全等7 奥1例1）等腰梯形ABCD中，AD ,三 角形全等7 奥2,2如图2，在ABC中，AC=BC，ACB=90，AD平分BAC，AD的延长线交BF于E，且E为垂足，则结论AD=BF，CF=CD，AC+CD=AB，BE=CF，BF=2BE，其中正确的结论的个数是（ A ） A4 B3 C2 D12、解：在RtAEB中，ABE=1809022.5=67.5， 则FBC=67.545=22.5 RtBCF中，F=67.5,所以AF=AB，AC=BC， 从而BCFACD（ASA），则AD=BF CF=CD，AC+CD=AC+CF=AF=AB， 等腰三角形ABF中，AE BF，则BF=2BE， 对于因为BCF和AEB的三个角对应相等， 但是斜边AB与BF不相等，从而不全等，不会BE=CF，,三 角形全等7 奥22如图2，在ABC中，AC=BC,三 角形全等7 奥2-1,3、如图3，在ABC中，A=60，BE ，CF分别是ABC，ACB的角平分线，BE，CF相交于点D。（1）求FDE的度数（2）求证：DF=DE解： （1） FDE= BDC(对顶角） 又因BDC =180 - DBC- DCB = 180 - (1/2)(ABC+ ACB) =180 -(1/2) (180-60) =120 即FDE=120 （2）在BC上取一点G， 使得BF=BG， BDF BDG(SAS) FD=DG 所以5= 6 又因 5= 8=60 所以有： 7=360 - 5-6 - 8- D=60 DECDCG(ASA) DG=DE 所以得 DF=DE,三 角形全等7 奥2-13、如图3，在ABC中，A=,三 角形全等7 奥3,4如图，点D是ABC三条角平分线的交点，ABC=68（1）求证：ADC=124；（2）若AB+BD=AC，求ACB的度数解：（1）证明：ABC=68， BAC+ACB=180-68=112， AD，CD是角平分线， DAC+ACD=1/2112=56所以ADC=180-DAC+ACD=180-56=124 （2）（方法一） 在AC上截取AE=AB，连接DE， 在ABD和AED中，ABAE DAE BAD（角平分线）ADAD ABDAED，BD=ED，DE=EC 所以 ABD1/2 68 = AED 又因DE=EC 则有 DEC ECD =1/2 AED=17 ACB=2 AED=2 17 =34 （方法二） 延长AB至E，使BE=BD AEDADC 所以2= 3=17 ACB=2 3=2 17 =34 ,三 角形全等7 奥34如图，点D是ABC三条角平分线,三 角形全等7 奥4,5如图，在ABC中ACBC，E、D分别是AC、BC上的点，且BAD=ABE，AE=BD求证：BAD=(1/2) c证明：作OBF=OAE交AD于FBAD=ABEOA=OB又AOE=BOFAOEBOF （ASA）AE=BFAE=BDBF=BDBDF=BFDBDF=C+OAEBFD=BOF+OBFBOF=CBOF=BAD+ABE=2BADBAD= =(1/2) c,三 角形全等7 奥45如图，在ABC中ACBC，E,八年级（上册）第12章 轴对称1,1、一个图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能重合，这个图形就叫轴对称图形。这条直线就叫对称轴。2、过线段的中点，且垂直于线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线。3、两个图形关于某条直线对应，对称轴是任何一对对应点的垂直平分线4、轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点的垂直平分线。51、线段垂直平分线上的点，到线段的两个端点的距离相等。52、与一条直线距离相等的点，在这条直线的垂直平分线上。,例1）怎样作垂直平分线：在线段的两边分别作大于1/2的圆，相交的两点再连线，就是垂直平分线。例2）怎样作角平分线：,例2）某设计师在方格纸中画了一部分，请完成余下部分，,作关于Y轴的对称图作连同原形的绕圆点逆时针旋转图,八年级（上册）第12章 轴对称11、一个图形沿着一条直,第12章 轴对称中考-基础1,例1）在平面直角坐标系中，点A（2, 5）与点B，关于Y轴对称，则点B的坐标为（ ）解：B点为 （2，5）,例2）在平面直解坐标系xoy中，已知点A（2, 3）若将OA绕原点O逆时针旋转180度，到OA，则点A在平面直角坐标系中的位置是在（ ）象限。解：A 的坐标为（2，3） 因此 在第三象限。,例3）将点P向左平移2个单位，再向上平移1个单位，得到点P（1，3） ，则点P的坐标为（ ）解：解这样的题要反推，反向变为向下移1个单位，向右移2个单位。即得P的坐标为（ 1，2 ）或者也可这样理解：设点P（X，Y） 则有 x-2=-1 ; y+1=3,得X1， Y2,第12章 轴对称中考-基础1例1）在平面直角坐标系中,轴对称2,例1）在一条燃气管道L上修建一个泵站，分别向同一侧的A，B两镇供气，泵站修在什么地方，可使输气管线最短？如图：,例2）在三角形ABC中，如图，AB=AC=12CM,BC=6CM;D为BC的中点，动点P从B点出发，以每妙1CMR 速度沿B A C的方向运动，设运动的时间为t,那么当t 妙时，过点D P两点的直线，将ABC的周长分为两部分，使其中一部分是另一部分的两倍。,解 : （t =7和 t =17 即有两种可能） 当PA+AC+DC=2(BD+BP) 即(12-t)+12+3=2*(3+t) 得t=7 当DB+AB+AP=2(PC+CD) 即3+t=2*(24-t+3) 得t=17,轴对称2例1）在一条燃气管道L上修建一个泵站，分别向同一,轴对称3,例3）在三角形ABC中，AB=AC=3CM; AB垂直平分线交AC于点N，三解形BCN的周长是5CM，则BC的长（ ）CM解：N因是垂直平分线上的点，得ANBN 所以有 BN+NC3 又因BCN的周长是5CM, 所以有 BC532CM,例4）已知直线ABCD，BE平分ABC，交CD于D，CDE150 则C的度数等于（ ）解： CDE150 所以CDB=30又因ABCD 所以 CDBDBA30 又因BE是角平分线， 所以DBA= DBC 即C1803030120 ,例5）在Rt ABC中， BAC90 ， B60 ， AB C 可以由ABC绕点A顺时针旋转90 得到，连接CC ，则 CC B 的度数是（ ）解：因CAAC 所以 CC B45 所以 CC B 45 30 15 ,轴对称3例3）在三角形ABC中，AB=AC=3CM;,轴对称4,例6）三角形ABC的顶点坐标分别是A（4，6）、B（5，2）、C（2，1），如果 ABC绕C点按逆时针方向旋转90 ，得到 A B C ，那么点A的对应点A 的坐标是（ ）解：从图中可以看出， 坐标是（3，3）,轴对称4例6）三角形ABC的顶点坐标分别是A（4，6）、,3 等腰、等边三角形1,1、等腰三角形的两个底角相等。（等边对等角）2、等腰三角形的顶角平分线，底边上的高、底边的中线相互重合。3、如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对边的也相等（等角对等边）4、三条边都相等的三角形，叫等边三角形。 三个角都相等的三角形，也叫等边三角形。 有一个角是60度的等腰三角形，也叫等边三角形。5、等边三角形，三个角都是60度。6、在直角三角形中，如果一个锐角是30度，那么它所对边等于斜边的一半。（怎样证明）7、在不规则的三角形中，大边对大角，小边对小角；大角也对大边，小角对小边。,3 等腰、等边三角形11、等腰三角形的两个底角相等。（等边,3 等腰、等边三角形2,例1）已知三角形ABD 和三角形AEC是等边三角形，证明：BE=DC,解：因为ABE ADC,所以BE=DC,例2）在一个三角形中，如果两个角不相等，那么它们所对的边也不等，大角所对的边也较大。怎样证明它。,解: 将ABC对折叠，使边AC与AB重合，C点落在AB的D 点。利用三角形全等就可证明了。,例3）三角形ABC是等边三角形，BD是中线，延长BC至E，使CECD，求证：DBDE,解： DBC= CDE= CED=30 ,所以三角形BED是等腰三角形,3 等腰、等边三角形2例1）已知三角形ABD 和三角形,3 等腰、等边三角形奥数-1,1、在平面直角坐标系中，等腰三角形AOB的顶点与O重合，点A的坐标(m , n) ，底边AB的中线在第一、三象限的角平分线上，则点B的坐标是（ ） A、（n , m） B、（m , n）C、（m , n）D、（m , n） 解：因为中线在角平分线上，即y=x 所以A、B两点的从标的和相等，只有A合符条件 x=(m+n)/2 y=(m+n)/2 即 y=x 选、A,2如图，在ABC中，ACB=100，点D、E在AB上，且 BE=BC，AD=AC，则DCE的大小是 度,解析： （解法一）：设ACE=x，DCE=y，BCD=z， BE=BC，AD=AC， ADC=ACD=ACE+DCE=（x+y）， BEC=BCE=BCD+DCE=（y+z）， A=BEC-ACE=（y+z-x），B=ADC-BCD=（x+y-z）， 在ABC中，ACB=100，A+B=180-ACB=80， y+z-x+x+y-z=80，即2y=80，y=40，DCE=40故答案为：40 （解法二） BE=BC，AD=AC 得1+ DCE= 4 2+ DCE= 3 所以 1+ DCE+ 2+ DCE= 3+ 4 即 2 DCE+（100 - DCE）=180 - DCE 2 DCE =80 DCE=40 ,3 等腰、等边三角形奥数-11、在平面直角坐标系中，等腰三,八年级（上册）第13章 实数慨念1,有理数（有限小数或无限循环小数）实数： 无理数（无限不循环小数）,八年级（上册）第13章 实数慨念1,八年级（上册）第13章 实数慨念2,1、如果一个正数X的平方等于a ,那么这个正数X叫做a的算 术平方根。记作X ；a叫做被开方数，0的算术平方根是0. （习惯上将二次根号的2省略，即 ）2、如果一个数X的平方等于a,那么这个数X就叫做a的平方根。就是说，如果 a 那么X叫做a平方根；即X 3、求一个数的平方根运算，叫做开平方。平方与开平方是 互为逆运算。4、正数的平方根有两个，它们互为相反数，其中正的平方 根就是算术平方根。0的平方根是0；5、因为任何一个数的平方都是正数，所以负数没有平方根。,1、如果一个数的立方等于a,那么这个数叫a的立方根，或者 三次方根。即 ，那第X叫做a的立方根。2、求一个数的立方根运算，叫开立方，表示为X 。 立方和开立方是互为逆运算。3、正数的立方根是正数，负数的立方根是负数， 0的立方根0.,1、a相反数是a；,1、实数由：有理数（即有限小数和无限循环小数）和无理数（无限不循环小数）组成,八年级（上册）第13章 实数慨念21、如果一个正数X的,实数2,1、若a与b为倒数，则ab=1相反数是它本身的数，只有0；倒数是它本身的数只有1.,2、一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，0的绝纣值是0. 可以记作 ：,利用非负的性质求值：当两个（多个）非负的数的和等于0时，所有非负的数式子分别等于0。,实数21、若a与b为倒数，则ab=12、一个正数的绝对值,实数3,例1）一个数的绝对值是 ，求这个数？ 解：因为 绝对值均为 ，所以这个数为,1、从有理数扩充到实数后，实数之间不仅可以加、减、乘、除（分母不为0）、乘方运算，2、正数及0可以进行开平方运算，任意实数可以进开立方运算。,例2） （1）无限小数都是无理数；（2）无理数都是无限小数；（3）带根号的数都是无理数；（4）所有实数都可以用数轴上的点表示，反过来数轴上点都可以表示实数。,例3） （1）有没有最小的正整数（最小的正整数是1）；（2）有没有最小的自然数（最小的自然数是0）；（3）有没有最大的负整数（最大的负整数是1）（4）有没有最小的无理数 （5）有没有最小的实数（6）有没有绝对值最小的实数。,实数3例1）一个数的绝对值是 ，求这个数,实数4,例4）已知X 2 , X是整数，求x的值。 解：分x 0时和x0时，两种情况进行讨论。,例5） 2 的相反数是（ 1 ）（1）2 （2） 2 （3 ） 1/2 （4 ） 1/2,例6）下列实数 2/3; 0; ; ; 中，无理数有多少个？（A）1个（B）2个 (3)3个 (4) 4个答案：B,例7） 9的平方根是（ B ）（A) 81 (B) 3 (C) 3 (D) -3,例8） 若0 x1时，则x2, x , 1/x ，的大小关系是（ B ） (D) 不能确定,例9）2013的相反数是（ 2013 ）,实数4例4）已知X 2 , X是整数，求x的,实数5,例10）1/2的倒数是（ 2 ）,例11）设 ,a在两上相邻整数之间，则这两个整数是（ 3和4 ）,例12）化简： 解：原式3 3/2 -1- +1+1 3/2 - - (1- )= - 1,例13） 解：原式17+3*1+52,例14）下列各式中，正确的是（ B ）,实数5例10）1/2的倒数是（ 2 ）例,实数6,例15）如果a与1互为相反数，则a=( C )A. 2 B. -2 C. 1 D. -1,例16）肇庆市经济高速发展，已完成固定资产投资快速增长，达240.31亿元，用科学记数法可记作（ B ）240.31108 B. 2.40311010 C. 2.4031109 D. 24.031109解：240.31亿240 310 000 0002.40311010(即小数点之后有10个数位。,例17）数轴上A、B两点对应的实数分别是1和 ，若关于A点的对称点C，则点C所对应的实数是（ A ）解：高C点为X， 则有 XBBA ；即X 1X2 1,实数6例15）如果a与1互为相反数，则a=( C,实数7,例18）已知 ABCDE为数轴上的五个点，且ABBCCDDE，则点P所表示的比较接近下列哪个数 ( C ) -1 B. 1 C. 3 D. 5解：因为A点为5，E点为9， AE长为9（5）14，分为四段，每段长为14 43.5 所以B、C、D 三点在数轴上的位置为 1.5， 2， 5.5 ，从数轴上看，点P是比2大点，应最接近3，故应选C,例19）如果x-y1/2 那么 2-x+y=( )解：原式 2-(x-y) = 2-1/2 =3/2,例20）已知a,b在数轴上的位置如图18所示，试化简解：原式 a+b - a-b =-(a+b)-(a-b)=-a-b-a+b=-2a,例21）如果规定符号“*”的意义是a*b=(a.b)/(a+b),求2*（-3）*4值解：原式（2 （3）/(2-3)*4 =6*4=(6 4)/(6+4)=2.4,实数7例18）已知 ABCDE为数轴上的五个点，且AB,实数8,例23）已知实数x y满足x-5+ =0 求代数式 的值。解： x-5 0 ；Y+4 0 所以 X5=0 ; Y+4=0 所以X5 ； Y4 ；X+Y1 （1）2012=1,例22）比较2.5，3， 的大小，次序从小到大排列的是（ ）解：32.5 (因为 2.52=6.257),例24）计算 （1） （2） （3） （4） 解： （1）2 （2）2 （3） （4）3,实数8例23）已知实数x y满足x-5+,实数 中考-1,1已知 （ ） 解： 所以xy,实数 中考-11已知,实数奥1,例3）三个互不相等的有理数，既可以表示为1，a+b,a 的形式，也可表示为0, b/a ,b形式，求 的值。解：可以表示为两种形式，也就是对应的元素分别相等， 即a+b, a 中有一个是0 . b/a, b 中有一个是1. 又因 a分母，a0. 所以 只能是a+b=0 即a=-b ; b/a=-1 所以 只能是b=1, 则有a=-1所以 （1）2012+12012=1+1=2,例4）求证任意两个有理数之间都存在无穷多个有理数。证明：假设结论不成立，至少存在两个有理数a,b,它们之间只有有 限个（n个）有理数。它们的大小顺序如下： aC1C2C3.Cnb,这时(Cn+b)/2b也为有数， 且 aCn (Cn+b)/2bb,即在a与b之间找到了第n+1个有理数， 即(Cn+b)/2b ，这与假设相予盾。所以：任意两个有理数之间都存在无穷多个有理数,例1）一个数的相反数的负倒数是1/19,问这个数是多少？解：设这个数为b, 则有(1/(-b)）=1/19 所以b=19,例2）若a是小于1的正数，试用“”号 将： a, -1/a, 1/a, -a , 0, -1 , 1 连结起来。解：-1/a-1-a0a11/a,实数奥1例3）三个互不相等的有理数，既可以表示为1，a,实数奥2,例5）.若四个有理数 满足则a ,b,c,d的大小关系是：A B CD,1、解：不妨令 则有：所C正确,例6 、 方程 的解是 .7、解： 或 ，则 或,实数奥2例5）.若四个有理数,实数- 奥-3（集合）,10、某校参加数学竞赛有120名男生，80名女生，参加英语竞赛有120名女生，80名男生，已知该校总共有260名学生参加竞赛，其中75名男生都参加了，那么参加数学竞赛而没有参加英语竞赛的女生有 人.解：如图所示， x=75 , 参赛有260人， 参赛人次有（120+80）+（120+80） 则x+y=200+200-260=140人（两种赛都参加的人数） 所以y=140-75=65人。 因此参加数学而没有参加项语的人数b=80-65=15人。,实数- 奥-3（集合）10、某校参加数学竞赛有120名男生,八年级（上册）第14章 一次函数 1,1、对于X每一个确定的值，y都月唯一确定的值与其对应，我们就说X是自变量，Y是X的函数。,2、形如y=kx(k是常数，K 0），叫做正比例函数，K叫做比例系数。 正比例函数的图像是一条直线，当K0时，经过一、三像限，随着X的增大，Y值不断增大。当K0时，经过二、四像限，随着X值的增大，Y值不断减小。,3、形如 YKX+b (K,b是常数，K 0）的函数，叫做一次函数，函数是一条直线。（是正比例函数的图像，在X轴上平移b个单位。）当b =0，就是所谓正比例函数。当K0时，随着X的增大，Y值不断增大。当K0时，随着X值的增大，Y值不断减小。,4、一次函数与一元一次方程的关系；当Y等于0时，一次函数也就是一元一次方程。,5、对于两条直线L1，y=k1X+b1 直线L2: Y=K2X+b2 (1) L1 L2,则k1K2 且b1b2; (2) L1L2 则 k1 K2 1（3）L1与L2重合，则k1K2 且b1b2,八年级（上册）第14章 一次函数 11、对于X每一个确定的,一次函数（本1）,例1）已知一次函数y=kx+b,当x=2时,y的值为4，当x=-2时,y的值为-2，求：k与b的值 。解：4k2+b ; -2=k(-2)+b 得 k= 3/2 ; b= 1,例2）一次函数过点（4，9）及（6，3） 求这个函数的解析式。解：设函数的解析式为：y=kx+b 则有 94x+b; 3=6x+b 解方程组得，k=-3/5 b=33/5,例3）一个函数的图象是经过原点的直线，并且这条直线过第四象限及点（2，3a）与点(a,-6)，求这个函数解析式。解：因为图象过原点，所以函数是正比例函数，设函数为 y=kx 又图象过（2，3a) ; (a,-6) 所以有 方程组 3a=2k 及 6ak 得 a=2或a=-2 , 又因a=2过第四象限，而a=-2时，点（2，3a） 在第一象限不符合要求，a=2 此时，K= -3 函数解析式为：y=-3x.,一次函数（本1）例1）已知一次函数y=kx+b,当x=2,一次函数（本1-1）,例4）点P（x,y）在第一象限，且x+y=8, 点A的坐标为（6，0） 设OPA的面积为S （1） 用含X的解析式表示S，写出X的取值范围，画出函数S的图象。（2）当点P的横坐标为5时， OPA的面积为多少？ （3） OPA的面积能大于24吗？为什么？解： （1）因y=-x+8 S OPA =1/2 6 y =3 (-x+8)=-3x+24（0 x8）当P的横坐标为5时 S3 5+249（3） 因0 x8 所以 0s24, 所以S不可能大于24,一次函数（本1-1）例4）点P（x,y）在第一象限，且x+,一次函数 （中考1）,例3）已知直线y=kx+b 经过点（k, 3）和 （ 1, k ）则 k的值为（ ）解：过两点，得 3k2+b ; k=k+b 解方程组得 b=0; k=,例4）若一次函数y=kx+b的函数值y随x的增大而减少，且图象与y轴的正半轴相交，那么对k和b的符号判断正确的是（ 3 ）k0 , b0 (2) k0 ,b0 (4) k0 ,b0,例5）函数 中，自变量x取值范围是（ x2 ）,例6）在反比例函数 的图象的每一条曲线上，y都随x的增大而减少，则m的取值范围是（ ）解：因y都随x的增大而减少 ，因此1-m0 即 m1,一次函数 （中考1）例3）已知直线y=kx+b 经,一次函数 （中考2）,例1）在平面直角坐标系中，点P（2，a）,在正比例函数y=（1/2）x的图象上，则点Q（a,3a-5）位于第（ ）象限解：当x=2时，Y=1 所以点Q的坐标为（1，2） 即在第四象限。,例2）函数 中自变量X的取值范围是（ ）解：x-20, 且 x-30 x2 且 x3 所以结果为x2,例3）正方形ABCD的边长为2，动点P从C出发，在正方形边上沿C B A的方向运动，（点P与A不重合），设点的运动路程为X，则 ADP的面积Y关于X的函数图象是（ ）面积Y关于X的解析式为？解： （1） （2）,例4）已知关于X的一次函数Ymx+n 的图象如图，则 可化简为（ ）解：从图象可知， m0 所以 n-m0 原式n-m-(-m)=n,一次函数 （中考2）例1）在平面直角坐标系中，点P（2，,一次函数 （中考3）,例5）已知反比例函数 y=1/x，下列结论不正确的是（ D ）A 图象经过点（1，1） B 图象在第一、第三象限C 当X1 时 0y1 D 当X0时，y随的X增大而增大。,例6）已知一次函数y=x+2与反比例函数y=k/x，其中一次函数y=x+2的图象过点P(k,5)(1)试确定反比例函数的表达式 （2）若Q是上述一次函数与反比例函数图象在第三象限的交点，求点Q的坐标。解： (1) 因P过y=x+2 所以5k+2 k=3; 反比例函数为y=3/x (2) 方程组y=x+2 ; y=3/x 交点为x=-3 ,y=-1 ; x=1,y=3 因交点 在第三象限 所以点Q的坐标为（3，1）,例7）直线y=2x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B。（1）求A、B两点的坐标。（2）过B点作直线BP与x轴交于点P，且使OP=2OA，求ABP的面积。解： （1） B点的坐标为（0，3） A点的坐标为（ 3/2 ，0）(2)满足条件的有两点分别为 P（0，3）和P1（0，3）所以 ABP的面积 S11/2 (3+3/2) 3=27/4 S2=1/2 (3-3/2) 3=9/4,一次函数 （中考3）例5）已知反比例函数 y=1/x，下,一次函数 （中考3）,例8） 在一次运输任务中，一辆汽车将一批货物从甲是运往已地，到达缷货后返回，设汽车从甲地出发X（h)时，汽车与甲地的距离为y(km), y 与 x的函数关系如图所示。根据图象信息，解答下列问题：（1）这辆汽车的往、返速度是否相同？ 请说明理由。（2）求Y与X的函数表达式。（3） 求这辆汽车从甲地出发4小时与甲地的距离。解： （1） 不相同； 因为往、返的 路程相同，而所需的时不同，所以 速度也不相同。（2） 设y=kx+b 当0 x2时， 直线过（0，0） （2，120）两点， 因此 b =0 k=60 即方程为： y=60 x 当2 x2.5时，直线过 （2，120） 、（2.5，120） ； 因此，可得 b=120 , k=0 即方程为： y=120 当2.5x5时， 直线过（2.5，120） 、（0，5） 两点，因此，可得 k=-48 b=240 即方程为：y=-48x+240 (2.5x 5 )可表示为： (3) 当x=4时， y=-48x+240 即 y=-48 4+240=240-192=48km,一次函数 （中考3）例8） 在一次运输任务中，一辆汽车将,一次函数 （中考4）,任何一次函数都可以转化为一元一次不等式。即：ax+b0,即函数数值大于0（小于0）时，自变量的取值范围。,例1）在平面直角坐标系中，一次函数y=kx+1的图像与反比例函数Y=9/x的图像在第一像限交于点A，过A点作X轴，Y轴的垂线，垂足为点B、C，如果四边形为正方形，求一次函的关系式。解：依题意得,xy=9=OB*0C 又因为四边形为正方形， 即OB=OC=3 ， 点（3，3）也过一次函数， 所以3K*3+1 得K2/3,一次函数 为y=2/3x+1,例2)如图：已知函数y=x+b 和 y=ax+3 图像交点为P(x坐标为1），则不等式x+bax+3的解集为（ x1 ）,一次函数 （中考4）任何一次函数都可以转化为一元一次不等,一次函数 （中考5）,例3）在同一坐标系内，直线L1：Y（k-2）x+k和L2：y=kx的位置可能为图中的（ B ）A : B: C: D解：第一个图：当K0 K20 k-20时，即 k2时，也可符合。因为两种以上不能确定，因而得另找它法。解方程：y =(k-2)x+k y=kx 得2x=k x=k/2 y= 即它们的交点为（k/2, ） 可得，交点必在第一或者第二像限，因此可排除C、D两种情况，故只有B正确,一次函数 （中考5）例3）在同一坐标系内，直线L1：Y,一次函数 奥1,例1）(1-) y与x-2成反比例，若X4，Y1/4,求Y与X之间函数关系式。 (2-)若y+m与x+m成正比例，且当x=1时，y=2; 当x=-1时，y=1,求y与x之间函数关系式。 (3-) 已知函数y=y1+y2，其中y1是关于x的正比例函数，y2是关于x的反比例函数，且当x=2 时y=8；x=4 时，y=13 求y关于x的函数关系式。解： (1) y=k/(x-2) 即 -1/4=k/(4-2) k=-1/2 所以y与x函数关系式：y=-1/(2x-4)被 (2-) y+m=k(x+m) 得 2+m=k(1+m); 1+m=k(-1+m) 所以 得k=1/2; m=-3 函数关系式为：y=1/2x+3/2 (3-) y=y1+y2=k1x+k2/x 得 8k12+k2/2 ; 13=k14+k2/4 解方程得 k1=3 ; k2=4 函数式为：y=3x+4/x (这叫待定系数法）,例2）如果一直线经过不同三点A(a,b) , B( b,a) , C(a-b,b-a),那第直线l经过第（ ）象限。解：设直线为y=kx+c ,依题意得：b=ka+c ; a=kb+c ; b-a=k(a-b)+c 若a=b, 即三点变为两点（a,a）;(0,0), 与原题意过三点不符。所以ab. 由 b=ka+c ; a=kb+c 得 b-a=k(a-b) k=(b-a)/(a-b)=-1. 由a=kb+c k=-1 得 c=a+b 所以 b-a=-1(a-b)+(a+b) 得 a+b=0 即c=0 Y与X的函数关系式为：y=-x 图象过二、四象限。,一次函数 奥1例1）(1-) y与x-2成反比例，若X,一次函数 奥2,3已知平面直角坐标系内A、B两点的坐标分别是A(2,-3),B(4,-1)。 P(x,0) 是X轴上的一个动点， 当X= 时， PAB的周长最短。解：作点B关于X轴的对称点B ， 则B 的坐标为（4，1） ，连结B A，与 X轴的交点即为所求。 因为过直线y=kx+b (将点A（2，-3），B （4，1）代入方程） 得 y=2x-7 ; 当y=0时，X=7/2=3.5,4、不论k取何值 表示的函数的图像经过 一个定点，则这个定点是（ ） 4、解：由 得 不论k 取何值 ，K都成立，这时解方程得所以这个点是（，）（解法二）K取二个特殊值，然后求出x ,y 的值 。,一次函数 奥23已知平面直角坐标系内A、B两点的坐标分,一次函数 奥3,5已知 则一次函数y=kx+k的图像与坐标 轴围成的面积是（ ） 解：由已知得，a=bk+ck ; b=ak+ck ; c =ak+bk 得 a+b+c=2k(a+b+c) 当a+b+c=0时，a=-(b+c) 则k=a/(b+c)=a/-a=-1 函数y=-x-1的图像与坐标轴围成的面积是：1/2 当a+b+c 0时，k=1/2 函数y=(1/2)x+1/2的图像与坐标轴围成的面积是：1/4,一次函数 奥35已知,八年级（上册）第15章 整式的乘除与因式分解慨念-1,1）同底数幂相乘，底数不变，指数相加，即,5）幂的乘方,底数不变，指数相乘。即：,4）积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。 即：,6）单项式与单项式