年春湘教版八年级数学(下)第一章直角三角形优质教学课件.pptx

1.1 直角三角形的性质和判定（）,复习引入,合作探究,课堂小结,随堂训练,第1课时 直角三角形的性质和判定,第1章 直角三角形,八年级数学下（湘教版）XJ全册精品教学课件,三角形顶点与对边中点的连线段,有一个是直角的三角形叫直角三角形,三角形内角和等于180,复习引入,如图1-1，在RtABC中， C=90，两锐角的和等于多少呢？,图1-1,在RtABC中，因为 C=90，由三角形内角和定理，可得A +B=90.,合作探究,直角三角形的两个锐角互余.,由此得到：,有两个锐角互余的三角形是直角三角形吗？,如图1-2，在ABC中， A +B=90 ， 那么ABC是直角三角形吗？,在ABC中，因为 A +B +C=180， 又A +B=90，所以C=90. 于是ABC是直角三角形.,图1-2,有两个角互余的三角形是直角三角形.,由此得到：,如图1-3，画一个RtABC， 并作出斜边AB上的中线CD，比较线段CD 与线段AB 之间的数量关系，你能得出什么结论？,图1-3,我测量后发现CD = AB.,线段CD 比线段AB短.,图1-3,是否对于任意一个RtABC，都有 CD = 成立呢？,故得, 点 是斜边上的中点，即 是斜边 的中线.,图1-4,直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.,由此得到：,图1-5,根据三角形内角和性质，有 A+B+ACB =180，即得A+B+1+2=180， 2(A+B)=180.,所以 A+B =90.,根据直角三角形判定定理，所以ABC是直角三角形.,1.在RtABC中，斜边上的中线CD=2.5cm ，则斜边 AB的长是多少？,随堂训练,2.如图，ABCD，BAC和ACD的平分线相交于H点，E为AC的中点，EH=2. 那么AHC是直角三角形吗？为什么？若是，求出AC的长.,3.如图所示，在锐角三角形ABC中，CD，BE分别是AB，AC边上的高，且CD，BE交于一点P，若A=50，则BPC的度数是（ ）. A.150 B.130 C.120 D.100,B,4.如图，ABDB,CDDB,下列说法错误的是（ ）,A.一定有A=C,B.只要有一边相等就有ABOCDO,C.只要再给一个条件就能得到ABOCDO,D.有OA=OC或OB=OD,就有AB=CD,C,5.如图，AB=AC,ADBC.求证：BD=CD.,1.直角三角形的判定定理和性质定理；2.应用定理进行推理论证解决有关问题.,课堂小结,课后作业,见本课“课后巩固提升”,1.1 直角三角形的性质和判定（）,第2课时 含30锐角的直角三角形的性质及其应用,复习引入,合作探究,课堂小结,随堂训练,八年级数学下（湘教版）XJ全册精品教学课件,复习引入,1、直角三角形的两个锐角（ ）.2、直角三角形斜边上的中线等于斜边的 （ ）.3、有两个角（ ）的三角形是直角三角形.,一半,互余,互余,用刻度尺测量含30角的直角三角形的斜边和短直角边，比较它们之间的数量关系.,结论：短直角边=斜边,合作探究,在Rt ABC中，BCA=90,如果A=30，那么BC与斜边AB有什么关系呢？,分析：1.辅助线的常用作法有 ：,30 ,B,C,A,作平行线、中线、垂线、角平分线、延长线， 作相等的角等等。,2、你打算怎样作辅助线？,解法：1.取线段AB的中点D，连接CD，即CD为RtABC斜边AB上的中线，则可得到哪些相等的线段？,30,B,C,A,D,2.由A=30可知B等于多少度？,3. CBD是什么三角形?,CD=BD=AD,B=60,等边三角形,现在你能说出直角边BC与斜边AB的关系，并写出推理过程吗？,在直角三角形中，如果一个锐角等于30，那么它所对的直角边等于斜边的一半。,性质定理：,问题：试着把上述性质的条件与结论调换，仍然成立吗？,小结归纳,D,如图，取线段AB的中点D，连接CDCD是RTABC斜边AB上的中线CD= AB=BDBCA=90，且A=30，B=60CBD是等边三角形，BC=BD= AB,在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30.,归纳小结,提问：A岛可以看成一个点，轮船航行的路线可以看成一条线.点到线的距离，什么最短？,例：在A岛周围20海里（1海里=1852m）水域内有暗礁，一轮船由西向东航行到O处时，发现A岛在北偏东60的方向，且与轮船相距 海里，如图所示.该船如果保持航行不变，有触暗礁的危险吗？,举例,O,B,D,A,北,东,60,解：由题意得，AOD=30，在RtAOD中，AO= 海里，AD= AO= 海里20海里，该船如果保持航行不变，无触暗礁的危险.,1.RtABC中，C=90，B=2A，B和A各是多少度？边AB与BC之间有什么关系？,随堂训练,2.如图，要把一块三角形的土地均匀分给甲、乙、丙三家农户去种植.如果C=90， B=30，要使这三家农户所得土地的大小、形状都相同，请你试着分一分，在图上画出来.,B,A,C,1.直角三角形中，如果有一个锐角等于30，那么它所对的直角边等于斜边的一半；2.如果三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形.,课堂小结,课后作业,见本课“课后巩固提升”,1.2 直角三角形的性质和判定（）第1课时 勾股定理,情景引入,合作探究,课堂小结,随堂训练,八年级数学下（湘教版）XJ全册精品教学课件,1、回顾直角三角形的有关定义.2、我们曾经利用图形面积探索过数学公式，大家还记得在哪用过吗？单项式乘多项式：a(b+c+d) =_,多项式乘多项式：(a+b) (c+d)=_,ab+ac+ad,ac+ad+bc+bd,情景引入,平方差公式：(a+b)(a-b)=_,完全平方公式 =_,a2-b2,a2+2ab+b2,1、如图，邮票图案的三个正方形小方格中间是一个直角三角形，如果1个小方格为1个单位面积，那么直角三角形的两直角边长分别是_和_，斜边长是_；2.三个正方形的面积分别是_、_和_.,4,3,5,16,9,25,合作探究,3、把上题三个正方形的面积关系，转化为直角三角形三边的关系，则得到什么结论？结论：直角三角形两直角边的_等于_.命题1（勾股定理） 如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么_.,平方的和,斜边的平方,a2+b2=c2,设直角三角形的两条直角边长分别为a和b，斜边长为c.（1）已知a=6，c=10，求b；（2）已知a=5，b=12，求c；（3）已知c=25，b=15，求a.,解：由勾股定理得62+b2=102 b=8,解：由勾股定理得52+122=102 c=13,解：由勾股定理得a2+152=252 a=20,a,c,b,1、赵爽弦图利用了_关系进行勾股定理的证明.2、剪4个全等的直角三角形，拼成如图图形，其中直角三角形的两直角边分别是a、b，则中间的小正方形的边长为_，利用面积证明勾股定理. S大正方形4S直角三角形+S小正方形4_+ （_ ）2_又S大正方形C2_2+_2=_2,面积,b-a,b-a,2ab+b2-2ab+a2,a2 +b2,a,b,c,如图，图中所有的三角形都是直角三角形，四边形都是正方形.已知正方形A、B、C、D的边长分别是12,16,9,12，求最大正方形E的面积.,F,G,K,H,解：如图所示 正方形A、B、C、D的边长分别是12,16,9,12,设直角三角形的斜边长为c ,由勾股定理知122+162=c2，c=20 ，即正方形F边长为20，同理可得，正方形G的边长为15，故直角三角形的两直角边分别为20，15，设它的斜边长为k，由勾股定理知202+152=k2k=25 正方形E的边长为25，S正方形E=2525=625,例题,1、在直角三角形中，两直角边的长分别为33，44，求斜边的长.,2、在直角三角形中，两边的长为5，4，求第三边的平方.,解:设斜边长为x, 由勾股定理得,x = 33 + 44 = 55 ,所以 x = 55,解：1.如果5为斜边，设第三边为x,5 = x + 4 ,所以x = 9,2.如果5为直角边，设第三边为x,x = 5 + 4 ,所以 x = 41,随堂训练,3、如图，ABC中，C=90，CDAB 于D， AC=12，BC=9， 求：CD的长.,解：在三角形ABC中,AC = 12 ，BC = 9,由勾股定理得：,AB = 12 + 9 ,所以 AB = 25,由三角形ABC的面积 = AC * BC/2 = AB * CD/2,即 ：12 * 9 = 25 * CD,所以 CD = 4.32,1.勾股定理；2.至少了解一种勾股定理的验证方法；除了掌握勾股定理外，还应初步学会构造直角三角形，以便应用勾股定理.,课堂小结,课后作业,见本课“课后巩固提升”,第2课时 勾股定理的实际应用,复习引入,合作探究,课堂小结,随堂训练,1.2 直角三角形的性质和判定（）,八年级数学下（湘教版）XJ全册精品教学课件,勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方,如果在Rt ABC中，C=90,那么,下面，我们用面积计算来证明这个定理。,复习引入,请同学们画四个与右图全等的直角三角形，并把它剪下来。,用这四个三角形拼一拼、摆一摆，看看是否得到一个含有以斜边c为边长的正方形，你能利用它说明勾股定理吗？并与同伴交流。,A,C,B,D,一个3m长的梯子AB,斜靠在一竖直的墙AO上,这时AO的距离为2.5m,如果梯子的顶端A沿墙下滑0.5m,那么梯子底端B也外移0.5m吗?,合作探究,邮递员从车站O正东1km的邮局A出发，先向正北走了3km到B，又向正西走了4km到C，最后再向正南走了6km到D，那么最终该邮递员与邮局的距离为多少km？,A,B,C,D,O,下列阴影部分是一个正方形，求此正方形的面积,解：设正方形的边长为x厘米 , 则,x2=172-152 x2=64,答：正方形的面积是64平方厘米。,例题,在RtABC中,ACB=90，AC=4,BC=3.求RtABC斜边上的高,A,B,C,D,随堂训练,如图，已知：ABC中，AD是中线，AEBC于E. 若AB=12，BC=10，AC=8 ,求：DE的长度.,如图，已知：ABC中，AD是中线，AEBC于E. 求证：AB2 - AC22BCDE.,在一个内腔长30cm、宽40cm、高50cm的木箱中放一根笔直的细玻璃管，这根玻璃管的长度至多为多少cm？,A,C,B,D,在图中，如果在箱内的A处有一只昆虫，它要在箱壁上爬行到B处，至少要爬多远？,C,D,应用勾股定理解决实际问题的思路：（1）深刻理解题意；（2）画出简图；（3）将图画转化为直角三角形，并利用勾股定理进行计算.,课堂小结,课后作业,见本课“课后巩固提升”,第3课时 勾股定理的逆定理,情景引入,合作探究,课堂小结,随堂训练,1.2 直角三角形的性质和判定（）,八年级数学下（湘教版）XJ全册精品教学课件,直角三角形有哪些性质？,(1)有一个角是直角；,(2)两个锐角的和为90(互余 )；,(3)两直角边的平方和等于斜边的平方.,反之,一个三角形满足什么条件才能是直角三角形呢?,情景引入,(1)有一个角是直角的三角形是直角三角形；,(2)有两个角的和为90的三角形是直角三角形；,(3)如果一个三角形的三边a ,b ,c满足a2 +b2=c2,那么这个三角形是直角三角形吗？,一个三角形满足什么条件才能是直角三角形?,合作探究,请比较上述每个三角形的两条较短边的平方和与最长边的平方之间的大小关系.,锐角三角形,钝角三角形,直角三角形,勾股定理：如果直角三角形两直角边分别为a，b，斜边为c，那么 .,a2 + b2 = c2,勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a、b、c满足 ，那么这个三角形是直角三角形.,a2 + b2 = c2,反过来,判断由线段a、b 、c 组成的三角形是不是直角三角形：（1）a=15, b=8, c=17 （2）a=13, b=14,c=15,解：（1）,（2）,例题,能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数.,以小组为单位，每位同学自己找一组勾股数，那一组找的最快最多就算获胜。,3， 4， 5； 5，12，13；6， 8，10；7，24，25； 8，15，17；9，40，419，12，15；10，24，26；,1.下面以a,b,c为边长的ABC是不是直角三角形？如果是那么哪一个角是直角？,(1) a=6 b=8 c=10 _ _ ;,(2) a=12 b=8 c=15 _;,(3) a=8 b=6 c=5 _;,是,不是,不是,是,C=900,B=900,(4) a=1 b=2 c= _ _;,随堂训练,2.已知：如图，四边形ABCD中，B900，AB3，BC4，CD12，AD13,求四边形ABCD的面积.,3,4,12,13,5,3.满足下列条件ABC, 不是直角三角形的是( ) A、b2 = a2 - c2 B、a:b:c=3:4:5 C、C=B-A D、A:B :C =3:4:5,D,1.勾股定理的逆定理的内容；.判定一个三角形是直角三角形的方法（从角、边两个方面来考虑）；.勾股定理与它的逆定理之间的关系；.数形结合的数学思想.,课堂小结,课后作业,见本课“课后巩固提升”,1.3 直角三角形全等的判定,情景引入,合作探究,课堂小结,随堂训练,八年级数学下（湘教版）XJ全册精品教学课件,（1）说出判断一般三角形全等的方法有哪些？它们有什么共同点？,情景引入,判 断,（1）有两角和一边对应相等的两个三角形全等.,（2）有两边及其夹角对应相等的两个三角形全等.,（3）有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等.,AAS或者ASA,SAS,A,B,C,A,B,C,（A）,（C）,（B）,如图在RtABC和RtABC中,已知AB=AB,AC=AC,ACB=ACB=90,那么RtABC和RtABC全等吗?,合作探究,解:因为ACB=90ACB= ACB=90所以BCB= ACB+ ACB=180 故B，C（C），B在同一直线上因为AB=AB=AB所以B =B（等边对等角）在RtABC和RtABC中B =B（已证）AB=AB（已知）所以RtABCRtABC（AAS）,如图,已知AB=AB,AC=AC,ACB=ACB=90那么RtABC和RtABC全等吗？,斜边、直角边公理,有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等.,简写成“斜边、直角边”,或“HL”,前提,斜边、直角边公理 (HL),有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等.,几何语言,举例,例1 如图， BD ，CE分别是ABC的高，且BE = CD.求证： RtBEC RtCDB.,在RtBEC和RtCDB中， BC = CB，BE = CD，, RtBEC RtCDB （HL）.,1如图ADDB，BCCA，AC、BD相交于点O，如果ADBC，那么图中还有哪些相等的线断，请证明.（DBAC就不要证明了）,随堂训练,2.如图在ABC中，D是BC的中点，DEAB，DFAC，垂足分别为E、F，且DEDF，求证ABC是等腰三角形.,3.如图，ABD=ACD=90，1=2，则AD平分BAC.请说明理由.,4.如图，ACCB，BDBC，AB=DC，AB与CD平行吗？为什么？,1.判定直角三角形全等的特殊判定“HL”定理：有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等. （可简写成“斜边、直角边”或“HL”）2.直角三角形是特殊的三角形，所以不仅有一般三角形判定全等的方法: SAS、ASA、AAS、SSS，还有直角三角形特殊的判定方法“HL”.,课堂小结,课后作业,见本课“课后巩固提升”,1.4 角平分线的性质,情景引入,合作探究,课堂小结,随堂训练,八年级数学下（湘教版）XJ全册精品教学课件,生活中有很多数学问题：小明家居住在通州区一栋居民楼的一楼，刚好位于一条暖气和天然气管道所成角的平分线上的P点，要从P点建两条管道，分别与暖气管道和天然气管道相连.问题1：怎样修建管道最短？问题2：新修的两条管道长度有什么关系，画来看看.,暖气,天然气,情景引入,合作探究,将AOB 沿OC 对折，我发现PD与PE 重合， 即PD与PE相等.,图1-26, PDOA， PEOB， PDO =PEO = 90.,在PDO和PEO中， PDO =PEO， DOP =EOP， OP = OP，, PDOPEO., PD = PE.,我们来证明这个结论.,图1-26,图1-26,角的平分线上的点到角的两边的距离相等.,由此得到角平分线的性质定理：,在RtPDO和RtPEO中， OP = OP，PD = PE， RtPDORtPEO., PDOA， PEOB， PDO =PEO = 90.,如图1-27，过点O，P作射线OC., AOC =BOC., OC是AOB的平分线，即点P在AOB的平分线OC上.,图1-27,角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上.,由此得到角平分线的性质定理的逆定理：,又 BAAD， BCCD，, 点B在ADC的平分线上.,图1-28,（1）求证：点B在ADC的平分线上；,图1-28,证明： 在RtBAD和RtBCD中， BA = BC， BD = BD，, RtBADRtBCD., ABD =CBD., BD是ABC的平分线.,（2）求证：BD是ABC的平分线.,1.已知：如图，在ABC中，AD是它的角平分线，且BD=CD，DEAB，DFAC，垂足分别是E，F.求证：EB=FC.,A,F,C,D,B,E,随堂训练,2.如图，ABC中，C90，AD是BAC的平分线，DEAB于E，F 在AC上，且BD=DF，求证：CF=EB.,变式如图，ABC中，C90，AD是BAC的平分线，DEAB于E，BC=8，BD=5，求DE.,课堂小结,1.在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等.,2.到一个角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上.,课后作业,见本课“课后巩固提升”,第1章 直角三角形小结与复习,八年级数学下（湘教版）XJ全册精品教学课件,一、直角三角形的性质1.直角三角形的两个锐角_.2.直角三角形斜边上的中线等于斜边的_.3.在直角三角形中，30角所对的直角边等于斜边的_.4.勾股定理：如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么_.,互余,一半,一半,a2+b2=c2,二、直角三角形的判定1.有一个角是_的三角形是直角三角形.2.勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足_，那么这个三角形是直角三角形.,直角,a2+b2=c2,【思维诊断】(打“”或“”)1.有两个角互余的三角形是直角三角形.( )2.任何一个三角形都具有两条边长的平方和等于第三条边长的平方.( )3.一个三角形中，30角所对的边等于最长边的一半.( ),热点考向一 直角三角形的性质【例1】如图，在RtABC中，ACB=90，AB的垂直平分线DE交AC于点E，交BC的延长线于F，若F=30，DE=1，则BE的长是.,【思路点拨】根据直角三角形的两个锐角互余，求得DBF，从而求得A的度数.在直角三角形中，30角所对的直角边等于斜边的一半，求得AE的长；再由线段垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等，即可求得BE的长.,【自主解答】在RtFDB中，F=30，DBF=60.在RtABC中，ACB=90，ABC=60，A=30.在RtAED中，A=30，DE=1，AE=2.DE垂直平分AB，BE=AE=2.答案：2,【规律方法】直角三角形斜边上中线的作用1.直角三角形斜边上的中线与斜边的数量关系是研究线段倍、分问题的重要依据之一.2.联想到直角三角形斜边上的中线，可以沟通角与角或线段与线段之间的关系，把题设与结论有机地结合起来，使问题得以圆满的解决.3.重要辅助线(1)遇直角三角形斜边的中点，添加斜边上的中线为辅助线.(2)构造直角三角形，凸显斜边上的中线.,【真题专练】1.如图，一副分别含有30角和45角的两个直角三角板，拼成如图所示图形，其中C=90，B=45，E=30，则BFD的度数是()A.15B.25C.30D.10,2.如图，在ABC中，AB=AC=10，BC=8，AD平分BAC交BC于点D，点E为AC的中点，连接DE，则CDE的周长为()A.20B.18C.14D.13,【知识拓展】直角三角形的两个结论(1)在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30.(2)如果三角形一条边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形.,热点考向二 勾股定理【例2】如图，在RtABC中，ABC=90，AB=3，AC=5，点E在BC上，将ABC沿AE折叠，使点B落在AC边上的点B处，则BE的长为.,【思路点拨】利用勾股定理求出BC=4，设BE=x，则CE=4-x，在RtBEC中，利用勾股定理解出x的值即可.,【自主解答】 ，由折叠的性质得BE=BE，AB=AB，设BE=x，则BE=x，CE=4-x，BC=AC-AB=AC-AB=2，在RtBEC中，BE2+BC2=EC2，即x2+22=(4-x)2，解得：x= .答案：,【规律方法】勾股定理的应用1.在直角三角形中，已知一边长和另外两边的关系时，常借助勾股定理列出方程求解，在解决折叠问题时，边长的计算经常用到上述方法.2.作长度 为(n为正整数)的线段.注意：在直角三角形中，已知两边利用勾股定理求第三边时，必须分清直角边和斜边，在条件不明确的条件下，要分类讨论.,【真题专练】1.如图，点E在正方形ABCD内，满足AEB=90，AE=6，BE=8，则阴影部分的面积是()A.48B.60C.76D.80,2.如图，有两棵树，一棵高12m，另一棵高6m，两树相距8m.一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，小鸟至少飞行m.,热点考向三 勾股定理的逆定理【例3】如图，点E是正方形ABCD内的一点，连接AE，BE，CE，将ABE绕点B顺时针旋转90到CBE的位置.若AE=1，BE=2，CE=3，则BEC=度.,【解题探究】(1)BE是由BE旋转多少度得到？BE与BE什么关系？提示：BE是由BE旋转90得到的，BEBE且BE=BE.(2)若连接EE，得到的EBE是一个什么特殊的三角形？提示：EBE是等腰直角三角形.(3)EEC是直角三角形吗？若是，是怎样得到的？提示：EEC是直角三角形，根据勾股定理的逆定理得之.,【规律方法】运用勾股定理的逆定理判定一个三角形是直角三角形的三个步骤1.确定三角形的最长边.2.计算最长边的平方以及其他两边的平方和.3.判断最长边的平方是否与其他两边的平方和相等，若相等，则此三角形为直角三角形，否则不是直角三角形.,【知识归纳】判定直角三角形的两种方法(1)当已知条件是“三条边”或三边的比时，利用勾股定理的逆定理判定一个三角形是否是直角三角形.(2)如果三角形某一边的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形.,命题新视角 用勾股定理解展开与折叠问题【例】如图，在矩形纸片ABCD中，AB=12，BC=5，点E在AB上，将DAE沿DE折叠，使点A落在对角线BD上的点A处，则AE的长为.,【审题视点】,【规律方法】解图形折叠问题的思路1.寻找出折叠前后的不变量(即相等线段，相等角).2.发现图形中直角三角形，并能灵活应用勾股定理.3.利用勾股定理建立方程求解.,【巧思妙解】巧用面积，事半功倍【典例】在RtABC中，C=90，AC=9，BC=12，则点C到AB的距离是()A. B. C. D.,【解法对比】本题的“常规解法”既证明相似三角形，又两次用到勾股定理，并且在求CD时计算比较复杂，容易出错；“巧妙解法”巧用两种不同的形式表示同一个三角形的面积，非常轻巧地求出了点C到AB的距离.,【技巧点拨】面积法是一种重要的处理几何问题方法，用不同形式表示同一个图形的面积，把已知量与未知量有机结合起来，轻松求出未知量，解题思路清晰，起到了事半功倍的效果.,课后作业,见“本章热点专练”,