定积分的几何应用ppt课件.ppt
电子课件,史 册 主讲,微 积 分,第六章 多元函数微积分,第七章 无穷级数,第八章 微分方程与差分方程,第五章 定积分及其应用,定积分概念 定积分的性质 微积分基本公式 定积分的换元与分部积分法 广义积分 定积分的几何应用与经济应用,第五章 定积分及其应用,教学基本要求,基本要求：掌握：牛顿莱布尼茨公式，定积分的换元积分法和分部积分法，广义积分的计算。熟悉：利用定积分计算平面图形的面积和旋转体的体积，利用定积分求解简单的经济应用问题，变上限积分定义的函数的导数。理解：变上限定积分定义的函数。了解：定积分的概念和基本性质，定积分中值定理，反常积分的概念。重点：牛顿莱布尼茨公式，定积分的换元积分法和分部积分法。难点：变上限积分定义的函数的导数，广义积分的计算。,第五章,一元积分学,不定积分-第4章,定积分-第5章,定积分及其应用,一、定积分的微元法,二、平面图形的面积,第六节 定积分的几何应用,三、旋转体的体积,四、平行截面面积已知的立体的体积,五、小结,回顾,曲边梯形求面积的问题,一、定积分的微元法,面积表示为定积分的步骤如下：,（3） 求和，得A的近似值,（4） 求极限，得A的精确值,x x+dx,微元法的一般步骤：,这个方法通常叫做微元法,应用方向：,平面图形的面积，体积。,经济应用。其他应用。,二、平面图形的面积,如何用元素法分析？,，,如何用元素法分析？,如何用元素法分析？,第二步：写出面积表达式。,如何用元素法分析？,1. 由曲线y=f(x)、直线x=a、x=b与x轴围成的平面图形,曲边梯形的面积,即,如何用元素法分析？,如何用元素法分析？,第二步：写出面积表达式。,如何用元素法分析？,2. 由两条曲线y= f (x)、y=g(x)与直线x = a、x = b围成的平面图形,即,解,两曲线的交点,选 为积分变量,解,由对称性知总面积等于第一象限部分面积的4倍,半径为a的圆面积,解,两曲线的交点,选 为积分变量,于是所求面积,说明：注意各积分区间上被积函数的形式,问题：,积分变量只能选 吗？,观察下列图形，选择合适的积分变量求其面积：,考虑选择x为积分变量，如何分析面积表达式？,观察下列图形，选择合适的积分变量：,考虑选择y为积分变量，如何分析面积表达式？,3.由曲线x=j (y)、直线y=c、y=d与y轴围成的平面图形,曲边梯形的面积,y,即,4.由两条曲线x= j (y)、x=y (y)与直线y = c、y = d围成的平面图形,即,解,两曲线的交点,选 为积分变量,x = y + 4,例计算抛物线,解选x为积分变量，x的变换区间为0,4,但在0,1上面积微元在1,4区间上，面积微元为,与直线,所围图形,的面积 .,1.选择积分变量的原则：,(1)尽量少分块 (2)积分容易。,总结：,2.准确的作图.,1.准确作图（一条曲线还是两条曲线）,(1)尽量少分块 (2)积分容易。,利用定积分求解面积步骤,3.穿线法：考虑是不是要分块，如需分块，计算每块上的面积.,2.选择积分变量，确定积分区间.,4.选择面积计算公式.,2.,解,为确定积分限，解方程组,此题如果选 作积分变量，,必须分成两个部分，即,38,练习写出下列给定曲线所围成的图形面积的定积分表达式。,（1）,（2）,练习写出下列给定曲线所围成的图形面积的定积分表达式。,（4）,（5）,40,一般地：如右图中的阴影部分的面积为,练习写出下列给定曲线所围成的图形面积的定积分表达式。,（6）,或,法一：以 y 作积分变量,法二：以 x 作积分变量,旋转体就是由一个平面图形绕这平面内一条直线旋转一周而成的立体这直线叫做旋转轴,圆柱,三、旋转体的体积(volume of body),（1）,圆锥,圆台,三、旋转体的体积(volume of body),（3）,（2）,旋转体的体积为,解,直线 方程为,例. 计算由椭圆,所围图形绕 x 轴旋转而,转而成的椭球体的体积.,解: 利用直角坐标方程,则,(利用对称性),旋转一周而成的立体，体积为：,如果旋转体是由两条连续曲线,解,0,1,x,y,例 求由 所围成的图形绕 轴旋转构成旋转体的体积.,旋转一周而成的立体，体积为：,如果旋转体是由两条连续曲线,例,解,作草图,四、平行截面面积为已知的立体的体积,如果一个立体位于垂直于x 轴的两个平面x=a与x=b之间，S(x)表示过x（xa, b）且垂直于x 轴的截平面的面积，并且S(x)是x的连续函数。,(1) 分割,(2) 取近似,(3) 求和,(4) 取极限,解,取坐标系如图,底圆方程为,截面面积,立体体积,解,取坐标系如图,底圆方程为,截面面积,立体体积,垂直 x 轴的截面是椭圆,例. 计算由曲面,所围立体(椭球体),解:,它的面积为,因此椭球体体积为,特别当 a = b = c 时就是球体体积 .,的体积.,四、小结,定积分的元素法,平面图形的面积,旋转体的体积,平行截面面积已知的立体的体积,思考题1,思考题1解答,两边同时对 求导,积分得,所以所求曲线为,思考题2,思考题2解答,交点,立体体积,练 习 题,！,练习题答案,今日作业：习题5-7: 1-18预习5.7节,谢谢大家！,
