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第三章 常用的电路定理,3.1 叠加定理和齐次定理 3.2 置换定理 3.3 戴维南定理与诺顿定理 3.4 最大功率传输定理 3.5 互易定理 3.6 小结,3.1 叠加定理和齐次定理,3.1.1 叠加定理,图 3.1 - 1 说明叠加定理的一个例,如求电流i1，我们可用网孔法。设网孔电流为iA, iB。由图可知iB=is，对网孔A列出的KVL方程为,如令 ， 则可将电流i1写为,叠加定理可表述为： 在任何由线性元件、线性受控源及独立源组成的线性电路中，每一支路的响应(电压或电流)都可以看成是各个独立电源单独作用时，在该支路中产生响应的代数和。,设该电路的网孔方程为,(3.1-2),根据克莱姆法则，解(3.1 - 2)式求i1,(3.1 - 3),(3.1-3)式中：j1为中第一列第j行元素对应的代数余子式，j=1, 2, , m，例如,usjj为第j个网孔独立电压源的代数和， 所以,若令k11=11/，k21=21/，km1=m1/，代入(3.1-4)式，得,式中，k11, k21, ，km1是与电路结构、元件参数及线性受控源有关的常数。,在应用叠加定理时应注意： (1) 叠加定理仅适用于线性电路求解电压和电流响应而不能用来计算功率。 (2) 应用叠加定理求电压、电流是代数量的叠加，应特别注意各代数量的符号 (3) 当一独立源作用时，其他独立源都应等于零(即独立理想电压源短路，独立理想电流源开路) 。 (4) 若电路中含有受控源，应用叠加定理时，受控源不要单独作用(这是劝告! 若要单独作用只会使问题的分析求解更复杂化)，在独立源每次单独作用时受控源要保留其中，其数值随每一独立源单独作用时控制量数值的变化而变化。 (5) 叠加的方式是任意的，可以一次使一个独立源单独作用， 也可以一次使几个独立源同时作用，方式的选择取决于对分析计算问题简便与否。,例 3.1 1 如图3.1 - 2(a)所示电路，求电压uab和电流i1。,图 3.1 - 2 例3.1 - 1用图,由叠加定理得,解,例3.1-2 如图3.1 - 3(a)电路，含有一受控源，求电流i, 电压u。,例3.1- 3 例3.1-2用图,解,3.1.2 齐次定理,齐次定理表述为：当一个激励源(独立电压源或独立电流源)作用于线性电路，其任意支路的响应(电压或电流)与该激励源成正比。,线性电路中，当全部激励源同时增大到 (K为任意常数) 倍，其电路中任何处的响应 (电压或电流) 亦增大到K倍。,例3.1 3 图3.1 - 4为一线性纯电阻网络NR，其内部结构不详。已知两激励源us、is是下列数值时的实验数据为 当us=1V，is=1A时，响应u2=0; 当us=10V，is=0时，u2=1V。 问当us=30 V，is=10 A时，响应u2=?,图 3.1-4 例3.1 - 3用图,解,式中：k1，k2为未知的比例常数，其中k1无量纲，k2的单位为。,3.2 置换定理,图 3.2-1 平衡电桥电路,图3.2-1(a)为一平衡电桥电路，桥路上电流ig=0，桥路两端电压uac=0, 若要计算电流i，先来计算等效电阻Rbd。因ig=0， 故可以将Rg开路，如(b)图，于是得,另一方面，由于Rg两端电压uac=0，所以又可将Rg短路，如(c)图，从而有,置换定理(又称替代定理)可表述为：具有唯一解的电路中，若知某支路k的电压为uk，电流为ik，且该支路与电路中其他支路无耦合,则无论该支路是由什么元件组成的，都可用下列任何一个元件去置换： (1) 电压等于uk的理想电压源； (2) 电流等于ik的理想电流源； (3) 阻值为uk/ik的电阻。,图 3.2-2 置换定理示意图,图 3.2- 3 验证置换定理正确性的一个电路,设出各支路电流i1, i2, i3，由图可见i1=8A, 由欧姆定律得i2=uab/1=4/1=4A，再由KCL得i3=i1-i2=8-4=4A。这些结果的正确性无可置疑。,如图3.2-3(a)所示电路，我们先应用节点法计算出各支路电流及ab支路电压。列写节点方程，得,例 3.2-1 对图3.2-4(a)所示电路，求电流i1。,图 3.2-4,解,例3.2 2 如图3.2-5所示电路，已知uab=0，求电阻R。,图 3.2-5 例3.2- 2用图,解,如果根据已知的uab=0的条件求得ab支路电流i，即,对节点a列方程,解之， 得,因uab=0，所以vb=va=8V。,在(a)图中设出支路电流i1, iR，电压uR。由欧姆定律及KCL，得,3.3 戴维南定理与诺顿定理,3.3.1 戴维南定理,一个含独立源、线性受控源、线性电阻的二端电路N，对其两个端子来说都可等效为一个理想电压源串联内阻的模型。其理想电压源的数值为有源二端电路N的两个端子间的开路电压uoc，串联的内阻为N内部所有独立源等于零(理想电压源短路，理想电流源开路)，受控源保留时两端子间的等效电阻Req，常记为R0,图 3.3-1 戴维南定理示意图,图 3.3-2 求开路电压电路,(1) 开路、短路法。,图 3.3-3 求短路电流电路,(2) 外加电源法。,图 3.3-4 外加电源法求内阻R0,图 3.3-5 二端电路N接负载电路,图 3.3-6 证明戴维南定理用图,图 3.3-7 戴维南等效源模型图,3.3.2 诺顿定理 诺顿定理(Nortons Theorem)可表述为：一个含独立电源、线性受控源和线性电阻的二端电路N，对两个端子来说都可等效为一个理想电流源并联内阻的模型。其理想电流源的数值为有源二端电路N的两个端子短路时其上的电流isc，并联的内阻等于N内部所有独立源为零时电路两端子间的等效电阻，记为R0。,图 3.3-8 诺顿定理示意图,图 3.3-9 证明诺顿定理简图,例3.3-1 图3.3-10(a)所示电路，负载电阻RL可以改变，求RL=1其上的电流i；若RL改变为6， 再求电流i。,图 3.3-10 例3.3-1用图,解 (1) 求开路电压uoc。自a, b处断开待求支路(待求量所在的支路)，设uoc参考方向如(b)图所示。由分压关系求得,(2) 求等效内阻R0。将(b)图中电压源短路，电路变为(c)图。应用电阻串并联等效，求得,(3) 由求得的uoc，R0画出等效电压源(戴维南电源)，接上待求支路，如(d)图所示。注意画等效电压源时不要将uoc的极性画错。若a端为所设开路电压uoc参考方向的“+”极性端，则在画等效电压源时使正极向着a端。由(d)图求得,由于RL在二端电路之外，故当RL改变为6时，二端电路的uoc,R0均不变化，所以只需将图(d)中RL由1变为6， 从而可以非常方便地求得此时电流,例 3.3-2 对图3.3-11(a)所示电路，求电压u。,图 3.3-11,解(1) 求短路电流isc。自a, b断开电流源，再将a, b短路， 设isc参考方向如(b)图所示。由电阻串并联等效、分流关系及KCL可求得,(2) 求等效内阻R0。,(3) 画出诺顿等效电源，,例 3.3-3 对图3.3-12(a)所示电路，求负载电阻RL上消耗的功率pL。,图 3.3-12 例3.3-3用图,解 (1) 求uoc。,所以,(2) 求R。,再用外加电源法求R0。,(3) 画出戴维南等效源，接上待求支路，如(f)图。 由图可得,所以负载RL上消耗的功率,3.4 最大功率传输定理,图 3.4-1 等效电压源接负载电路,为了找pL的极值点，令dpL/dRL=0， 即,图 3.4-2 等效电流源接负载电路,通常，称RL=R0为最大功率匹配条件。,例 3.4-1 如图3.4-3所示电路，若负载RL可以任意改变，问负载为何值时其上获得的功率为最大? 并求出此时负载上得到的最大功率pLmax。,解,(1) 求uoc。从a,b断开RL，设uoc如(b)图所示。在(b)图中，应用电阻并联分流公式、欧姆定律及KVL求得,图 3.4-3 例3.4-1用图,(2) 求R0。令(b)图中各独立源为零，如(c)图所示，可求得,(3) 画出戴维南等效源，接上待求支路RL，如(d)图所示。 由最大功率传输定理知，当,时其上获得最大功率。 此时负载RL上所获得的最大功率为,例3.4-2 如图3.4-4(a)所示电路，含有一个电压控制的电流源，负载电阻RL可任意改变，问RL为何值时其上获得最大功率? 并求出该最大功率pLmax。,图 3.4-4 例3.4-2用图,解 (1) 求uoc。自a, b断开RL并设uoc， 如(b)图所示。 在(b)图中设电流i1, i2。由欧姆定律得,又由KCL得,所以,(2) 求R0。令(b)图中独立源为零，受控源保留，并在a, b端加电流源i如(c)图所示。有关电流电压参考方向标示在图上。类同(b)图中求i1，i2，由(c)图可知,所以,(3) 由最大功率传输定理可知,时，其上可获得最大功率。 此时负载RL上获得的最大功率为,例 3.4-3 如图3.4-5(a)所示电路，负载电阻RL可任意改变，问RL=? 时其上获最大功率，并求出该最大功率pLmax。,解,(1) 求isc。自a, b断开RL，将其短路并设isc如(b)图。由(b)图， 显然可知 ，则 即受控电压源等于零，视为短路，如(c)图所示。应用叠加定理，得,(2) 求R0。令(b)图中独立源为零、受控源保留，a, b端子打开并加电压源u，设 、 及i如(d)图所示。由(d)图，应用欧姆定律、KVL、KCL可求得,图 3.4-5 例3.4-3用图,3.5 互易定理,互易定理可表述为：对一个仅含线性电阻的二端口，其中，一个端口加激励源，一个端口作响应端口(所求响应在该端口上)。在只有一个激励源的情况下，当激励与响应互换位置时， 同一激励所产生的响应相同，这就是互易定理。,图 3.5-1 互易定理形式,(1) 在图3.5-1(a)中，电压源激励us1加在网络NR的1-1端，以网络NR的2-2端的短路电流i2作响应。在图3.5-1(b)(互易后电路)中，电压源激励us2加在网络NR的2-2端，以网络NR的1-1的短路电流i1作响应，则有,(3.5-1),若特殊情况，令us2=us1,图 3.5-2 互易定理形式,(2) 在图3.5-2(a)(互易前网络)中，电流源激励is1加在NR的1-1端，以NR的2-2端开路电压u作响应；在图3.5- 2(b)(互易后网络)中，电流激励源is2加在NR的2-2端，以NR1-1端的开路电压u1作响应，则有,若特殊情况，令is2=is1(相当于激励源is1从NR的1-1端移动到NR的2-2端),(3) 在互易前网络图3.5-3(a)中，激励源is1加在NR的1-1端，以NR的2-2端短路电流作响应；在互易后网络图3.5-3(b)中，激励源us2加在NR的2-2端，以NR的1-1端开路电压u1作响应，则有,对于互易网络，互易前网络响应i2与激励is1的比值等于互易后网络响应u1与激励us2的比值。 若特殊情况，令us2=is1(同一单位制下，在数值上相等)，则有 u1=i2 （在数值上相等）,图 3.5-3 互易定理形式,互易定理的证明,图 3.5-4 证明互易定理用图,在(a)图中列写网孔方程为,因互易前(a)图与互易后(b)图电路拓扑结构一样，网孔个数及序号互易前后两网络也一样，仅网孔电流相反，所以有： (a)图中Rjj等于(b)图中Rjj(j=1, 2, , m)； (a)图中Rjk等于(b)图中Rjk(j, k=1, 2, m)。所以(a)图的等于(b)图的。又NR内不含受控源，所以有Rjk=Rkj(j, k=1, 2, , m)，因此，行列式中各元素对主对角线对称，从而使代数余因式,应用互易定理分析电路时应注意以下几点： (1) 互易前后应保持网络的拓扑结构及参数不变， 仅理想电压源(或理想电流源)搬移，理想电压源所在支路中电阻仍保留在原支路中。 (2) 互易前后电压源极性与1 1、 2 2支路电流的参考方向应保持一致(要关联都关联，要非关联都非关联)。 (3) 互易定理只适用于一个独立源作用的线性电阻网络， 且一般不能含有受控源。,例 3.5-1 如图3.5-5(a)电路，求电流i2。,图 3.5-5 例3.5-1用图,解,例 3.5-2 有一线性无源电阻网络NR，从NR中引出两对端子供联接电源和测试时使用。当输入端1-1接以2A电流源时，测得输入端电压u1=10V，输出端2-2开路电压u2=5V， 如图3.5-6(a)所示。若把电流源接在输出端，同时在输入端跨接一个5的电阻，如图(b)所示，求流过5电阻的电流i。,解,图 3.5-6 例3.5-2用图,3.6 小 结,(1) 叠加定理是线性电路叠加特性的概括表征， 它的重要性不仅在于可用叠加法分析电路本身，而且在于它为线性电路的定性分析和一些具体计算方法提供了理论依据。叠加定理作为分析方法用于求解电路的基本思想是“化整为零”，即将多个独立源作用的较复杂的电路分解为一个一个(或一组一组)独立源作用的较简单的电路，在各分解图中分别计算， 最后代数和相加求出结果。若电路含有受控源，在作分解图时受控源不要单独作用。齐次定理是表征线性电路齐次性(均匀性)的一个重要定理，它常辅助叠加定理、戴维南定理、诺顿定理来分析求解电路问题。,(2) 依据等效概念，运用各种等效变换方法，将电路由繁化简，最后能方便地求得结果的分析电路的方法统称为等效法分析。第一章中所讲的电阻、电导串并联等效，独立源串并联等效，电源互换等效，-T互换等效；本章中所讲的置换定理，戴维南定理，诺顿定理都是应用等效法分析电路中常使用的等效变换方法。这些方法或定理都是遵从两类约束(即拓扑约束KCL、 KVL约束与元件VAR约束)的前提下针对某类电路归纳总结出的，读者务必理解其内容，注意使用的范围、条件、熟练掌握使用方法和步骤。,(3) 置换定理(又称替代定理)是集总参数电路中的一个重要定理，它本身就是一种常用的电路等效方法，常辅助其他分析电路法(包括方程法、 等效法)来分析求解电路。对有些电路， 在关键之处、在最需要的时候，经置换定理化简等效一步，使读者会有“豁然开朗”或“柳暗花明又一村”之感(如节3.2例3.2 1(a)#, (c)图)。 在测试电路或实验设备中也经常应用置换定理。,(4) 戴维南定理、诺顿定理是等效法分析电路最常用的两个定理。解题过程可分为三个步骤： 求开路电压或短路电流； 求等效内阻； 画出等效电源接上待求支路，由最简等效电路求得待求量。 (5) 最大功率这类问题的求解使用戴维南定理(或诺顿定理)并结合使用最大功率传输定理最为简便。,功率匹配条件：,最大功率公式：,(6) 方程法、 等效法是电路中相辅相承的两类分析法。,(7) 本章末介绍了互易定理。,