中职教育数学（基础模块）上册第五章三角函数ppt课件.ppt

第5章 三角函数,内容简介：本章主要内容是三角函数的定义、函数和性质及应用。三角函数是基本初等函数，它是描述周期函数的数学模型，在数学和其他领域中有着重要的作用。本章以单位圆及几何中的对称为基础，应用代数的方法对三角函数进行讨论，使学生初步了解代数与几何的联系。高等数学、物理学、天文学、测量学以及其他各科科学技术都会应用到三角函数的知识，因此这些知识既是进一步学习数学的必要基础，又是解决生产技术实际问题的有力工具。,学习目标：了解角的概念推广，理解弧度制的概念和意义，理解任意角的正弦函数、余弦函数和正切函数；掌握利用计算器求三角函数的值，理解同角三角函数的基本关系，了解诱导公式的推导及简单应用，理解正弦函数的图像和性质；了解余弦函数的图像和性质，掌握利用计算器求角度；了解“已知一个角的三角函数值，求在指定范围内的角”的方法。,知识导航,5.1 角的概念的推广,5.1.1 角的基本概念,一条射线由原来的位置OA，绕着它的端点O，按逆时针（或顺时针）方向旋转到另一位置OB所形成的图形称为角，如图5-2所示旋转开始处的射线OA称为角的始边，旋转终止处的射线OB称为角的终边，射线的端点O称为角的顶点,图5-2,一般规定：按逆时针方向旋转所形成的角称为正角，按顺时针方向旋转所形成的角称为负角特别地，当一条射线没有作任何旋转时，也认为形成了一个角，这个角称为零角,例如，在图5-3中，正角=210，负角=150，正角=660,图5-3,为了研究的方便，我们经常在平面直角坐标系中讨论角将角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴的正半轴重合,这样一来，角的终边落在第几象限，就把这个角称为第几象限的角，或者说这个角在第几象限如图5-4所示,图5-4,特别地，如果一个角的终边落在坐标轴上，则称为界限角，它不属于任何一个象限,5.1.2 终边相同的角,在同一直角坐标系中，作出30、390和330角，如图5-5所示,图5-5,通过观察可以发现，390、 330角的终边都与30角的终边相同我们把这些角称为与30角终边相同的角显然，与30角终边相同的角有无数多个.,因此，所有与30角终边相同的角（包括30角），都可以表示成30与360的整数倍的和，即都可以写成30k 360（）的形式所以，与30角终边相同的角的集合为 =30k 360（） ,一般地，所有与角终边相同的角（包括角在内）都可以写成k 360（）的形式，它们所组成的集合为 =k 360（） ,5.2 弧度制,在数学和其他科学中，经常使用另一种方法来度量角把等于半径长的圆弧所对的圆心角称为1弧度的角，记作1弧度或1 rad这种以“弧度”为单位来度量角的单位制称为弧度制,如图5-6所示，用弧度制表示的这两个圆心角分别是1 rad，2 rad,图5-6,我们规定：正角的弧度是正数，负角的弧度是负数，零角的弧度是零,角度制与弧度制之间的转换关系为360=2（rad），即180=（rad）,因此，角度与弧度的转换公式为,表5-1中列出了一些特殊角的角度与弧度的对应关系,表5-1,计算器辅助求值,我们以用CASIO fx82ES PLUS型计算器将135由角度转换为弧度，将11/6由弧度转换为角度为例，介绍用计算器进行角度与弧度转换的一般方法,（1）首先将135由角度转换为弧度按 键，打开计算器，然后依次按 键和 键，再按 键选择弧度制，将计算器设置为弧度计算模式,（2）先输入“135”，再依次按 、 、 键，改输入值为角度“135”，然后按 键，即可得到135对应的弧度值“3/4”,（3）接下来将11/6由弧度转换为角度先按 键（清屏），然后依次按 键和 键，再按 键选择角度制，将计算器设置为角度计算模式,（4）按 键，先输入分子中的“11”，再依次按 、 键输入分子中的“”，然后按 键，输入分母“6”，再按 键,（5）依次按 、 、 键，改输入值为弧度“ ”，然后按 键，即可得到11/6对应的角度值“330”,（6）依次按 键和 键，关闭计算器,5.3 任意角的三角函数,5.3.1 任意角的正弦、余弦和正切函数,在直角坐标系中，设是一个任意角，在角的终边上任取一点P（x，y），则点P到原点的距离为 （r0），如图5-8所示，那么任意角的正弦、余弦和正切可以分别定义为,图5-8,根据相似三角形的知识，对于每一个确定的角，其正弦、余弦和正切（当x0时）的值都是唯一确定的，而与点P在角终边上的位置无关,因此，正弦、余弦和正切都是以角为自变量的函数，分别称为角的正弦函数、余弦函数和正切函数，它们都是角的三角函数,在弧度制下，三角函数可以看作是以实数为自变量的函数正弦函数、余弦函数和正切函数的定义域及值域如表5-2所示,表5-2,5.3.2 三角函数值的正负号,1各象限角的三角函数值的正负号,根据任意角的三角函数的定义，由于r0，所以三角函数值的正负号取决于终边上点P的坐标（x，y）,表5-3中列出了各象限角的三角函数值的正负号与点P（x，y）的坐标的对应关系,表5-3,为了便于记忆，我们把sin 、cos 、tan 的正负号标在各个象限中，如图5-9所示,图5-9,2界限角的三角函数值,对于界限角，可以根据三角函数的定义求出其正弦、余弦和正切值具体如表5-4所示,表5-4,5.3.3 用计算器求已知角的三角函数值,用CASIO fx82ES PLUS型计算器的 、 、 键，可以方便地计算任意角的正弦、余弦、正切等三角函数值，具体方法为：设置计算模式（角度制或弧度制）按 (或 、 )键输入角的大小按 键显示结果,5.4 同角三角函数的基本关系,1单位圆,在平面直角坐标系中，以原点为圆心，单位长度为半径的圆称为单位圆如图5-10所示，设任意角 的终边与单位圆相交于点P（x，y），根据三角函数的定义，可得,图5-10,可见，角的正弦值和余弦值分别等于其终边与单位圆的交点P的纵坐标y和横坐标x因此，角的终边与单位圆的交点P的坐标可以表示为P（cos ，sin ）,2同角三角函数的基本关系式,同角三角函数的基本关系式：,5.5 三角函数的诱导公式,5.5.1 2k（kZ）的诱导公式,根据三角函数的定义可知，终边相同的角的同名三角函数值相等在平面直角坐标系中，角2k与角的终边相同，所以当kZ时，有,以上为弧度制下的表示形式，下方是角度制下的表示形式：,5.5.2 的诱导公式,的诱导公式为,5.5.3 的诱导公式,的诱导公式为,下方是角度制下的表示形式：,的诱导公式为,下方是角度制下的表示形式：,5.6 三角函数的图像和性质,5.6.1 正弦函数的图像和性质,正弦函数y=sin x的定义域为实数集R这里先用描点法作出它在区间0,2上的图像,把区间0,2分成8等份，分别求出函数y=sin x在各分点及区间端点的函数值，然后列表，如表5-5所示,表5-5,以表中的x值为横坐标，对应的y值为纵坐标，在直角坐标系中依次描出相应的点（x，y），然后用光滑的曲线依次连接这些点，即可得到函数y=sin x在0，2上的图像，如图5-13所示,图5-13,我们把正弦函数y=sin x在0，2上的图像向左或向右平移2，4，6，个单位，就得到了y=sin x在R上的图像，如图5-14所示正弦函数的图像称为正弦曲线,图5-14,由正弦曲线可知，正弦函数y=sin x主要具有如下性质：,（1）定义域,正弦函数y=sin x的定义域为R，即（，）,（2）值域,正弦函数y=sin x的值域为1，1,（3）周期性,一般地，对于函数y=f（x），如果存在一个不为零的常数T，使得当x取定义域D内的每一个值时，都有xTD，并且f（xT）=f（x）成立，那么函数y=f（x）称为周期函数，非零常数T称为这个函数的一个周期,由于正弦函数y=sin x的定义域为R，对于任意的xR，都有x2k（kZ），并且sin（x2k）=sin x（诱导公式）成立，因此正弦函数是周期函数， 2，4，6，以及2， 4， 6，都是它的周期,在周期函数的所有周期中，如果存在一个最小的正数，那么就将它称为最小正周期（习惯上直接简称为周期）故正弦函数的周期为2,（4）奇偶性,正弦曲线关于原点O中心对称，因此正弦函数y=sin x是奇函数,（5）单调性,当x由/2增大到/2时，正弦曲线逐渐上升，y=sin x的值由1增大到1；当x由/2增大到3/2时，正弦曲线逐渐下降，y=sin x的值由1减小到1,根据周期性可知，正弦函数在每一个区间/22k， /22k（kZ）上都是增函数，其函数值由1增大到1；在每一个区间/22k，3/22k（kZ）上都是减函数，其函数值由1减小到1 ,表5-6,图5-15,5.6.2 余弦函数的图像和性质,首先用描点法作出余弦函数y=cos x在区间0,2上的图像,把区间0,2分成8等份，分别求出函数y=cos x在各分点及区间端点的函数值，然后列表，如表5-7所示,表5-7,以表中的x值为横坐标，对应的y值为纵坐标，在直角坐标系中依次描出相应的点（x，y），然后用光滑的曲线依次连接这些点，即可得到函数y=cos x在0，2上的图像，如图5-16所示,图5-16,余弦函数的定义域为R，由cos（x2k）=cos x（xR，kZ）可知，余弦函数是周期函数，其周期为2,根据余弦函数的周期性，我们把正弦函数y=cos x在0，2上的图像向左或向右平移2，4，6，个单位，就得到了y=cos x在R上的图像，如图5-17所示余弦函数的图像称为余弦曲线,图5-17,余弦函数y=cos x主要具有如下性质：,（1）定义域,余弦函数y=cos x的定义域为R，即（，）,（2）值域,余弦函数y=cos x的值域为1，1,（3）周期性,余弦函数是周期为2的函数,（4）奇偶性,余弦曲线关于y轴对称，因此正弦函数y=cos x是偶函数,（5）单调性,当x由0增大到时，余弦曲线逐渐下降，y=cos x的值1减小到1；当x由增大到2时，正弦曲线逐渐下降，y=sin x的值由由1增大到1 ,根据周期性可知，余弦函数函数在每一个区间（2k1）， 2k（kZ）上都是增函数，其函数值由1增大到1；在每一个区间2k，（2k1）（kZ）上都是减函数，其函数值由1减小到1 ,表5-8,图5-18,5.7 已知三角函数值求角,1已知正弦函数值求角,在计算器的标准设置中，已知正弦函数值，只能求得9090（或/2/2）范围内的角,具体方法为：设置角度或弧度计算模式依次按 、 键输入已知的正弦函数值按 键显示9090（或/2/2）范围内的角,之后，可以再根据需要利用诱导公式sin（k 360）=sin 、sin（180）=sin 等求出任意指定范围内的角,2已知余弦函数值求角,在计算器的标准设置中，已知余弦函数值，只能求得0180（或0）范围内的角,具体方法为：设置角度或弧度计算模式依次按 、 键输入已知的余弦函数值按 键显示0180（或0）范围内的角,之后，可以再根据需要利用诱导公式cos（k 360）=cos 、cos（）=cos 等求出任意指定范围内的角,3已知正切函数值求角,在计算器的标准设置中，已知正弦函数值，只能求得9090（或/2/2）范围内的角,具体方法为：设置角度或弧度计算模式依次按 、 键输入已知的正切函数值按 键显示9090（或/2/2）范围内的角,之后，可以再根据需要利用诱导公式tan（k 360）=tan 、tan（180）=tan 等求出任意指定范围内的角,