学案三角函数的图象和性质.docx

三角函数的图象与性质7. 3.1三角函数的周期性【教学目标】1 .理解周期函数，最小正周期的定义。2 .会求正、余弦函数和正切函数的周期。3 .能够判断实际问题中的周期。【教学重难点】会求正、余弦函数和正切函数的周期。【教学过程】一、情境引入丹麦这个处在安徒生童话中的国家，如同安徒生的童话描写一般，有很大的风，也有很多的风，自然也有很多很大的风车，而现在丹麦又有了世界上最大的风力发电机组，这个维斯塔斯和三菱合作的大风车V1648.OMW,全部高度有220米，风车风轮的直径也达到了世界最大的风力发电机组164米，扫掠面积21000平米，在风速11米/秒时，转速在4.8-12.1rpm之间，电力输出可达到每小时最大8百万瓦，这个风力发电组的电能能满足7500个家庭的电力需求。风力发电机就是靠它的叶片周而复始的转动给我们带来了巨大的收益。这种周而复始的转动就是周期现象。问题(1)你能用数学语言刻画函数的周期性吗？如果函数y=U)的周期是T,那么函数y=y)(Q>0)的周期是多少？(2)函数y=Asin(x+3)或y=Acos(dzr+p)的周期与什么量有关？其计算周期的公式是什么？提示(1)对于函数凡r),如果存在一个非零常数T,使得当X取定义域内的每一个值时，都有r+7)=(x),则/U)为周期函数，y=(Gx)的周期为(2)与口有关，T=两O二、新知初探1.周期函数没有特别说明的情况下，周期均指函数的最小正周期条件函数7U)的定义域为4如果存在一个非零常数为对于任意的xA,都有x+rA,且U+T)=m)结论函数Kr)叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的囿明2.最小正周期条件对于一个周期函数於)，如果在它所有的周期中存在一个最小的正数结论这个最小的正数叫做7U)的最小正周期3.正弦、余弦、正切函数的周期性函数y=Asin(x÷)y=Acos(x÷)y=Atan(x+)周期-2T=T2T=T=条件A0,>0,A、53为常数拓展深化微判断1 .任何周期函数都有最小正周期。(X)提示常数函数yu)=c,任意一个正实数都是其周期，因而不存在最小正周期。2 .若存在正数丁，使/+7)=-U),则函数KE)的周期为2兀()3 .y=sinR是周期函数。()4 .当X=V时，sin(x+用)=sinx,则,一定是函数y=sinx的周期。(x)提示根据周期函数的定义，存在功，对于定义域内的任一个R,都有於+Q=(x),特殊的不行。微训练Y1 .函数兀V)=Sig的最小正周期为()A.6B.3D.C.2解析T=6,故选A.3答案A2 .函数y=sin(x+?是()B.周期为的偶函数A.周期为兀的奇函数C.周期为2的奇函数D.周期为2的偶函数解析因为y=sinQ+3=cosx,所以该函数是周期为2的偶函数答案D3 .设zR.,若函数y=siG+施最小正周期为号，则A=解析T=,：.k=3.KD答案3微思考1 .一个周期函数的周期有多少个？周期函数的图象具有什么特征？提示周期有无数多个；周期函数的图象循环重复出现。2 .若函数y的周期为丁，则at,"N*也是yu)的周期吗？为什么？提示是，利用周期函数的定义，fix)=fiix+T)=y(x+27)=.=J(x+kT)o三、合作探究题型一求三角函数的周期【例1】求下列函数的周期：(1) yU)=2sin(gx+g),R:(2) fix)=12cos(jxj,R;(3) y(x)=sinx,xR0解(1)法一设氏0的周期为T,rIl/ix,tfl1则2sin|_2(x+T)+k=2sinjx+zj,即2sin&+聿+&=2sin&+加任意的X均成立。即2sin(+，=2sin"，其中w=gx+5。Vy=2sinu的周期为2,=2,/.7=4兀，7/W=2sin&+§的周期为4<,4-42l一Ax)=2sin&+*的周期为4o(2) HX)=12CoS(I，的周期为T=1=42(3)利用周期函数的定义，Xx÷)=sin(x÷)=-sinx=sinx=f(x)o/.y()=sinx的周期为兀。规律方法求三角函数周期的方法(1)定义法，即利用周期函数的定义求解。(2)公式法，对形如y=Asin(s+/)或y=4coS(GX+s)(A,8是常数，4,必翔)的函数，7【训练1】在函数y=cosx,y=cosx,y=cos(2x+,y=tan(2x一争中，最小正周期为兀的函数有()A.B.C.D.解析y=cosx,周期为2;y=cosx,周期为兀，正确；y=cos(2x+1),周期为,正确；y=tan(2x彳)周期为多故选D.答案D题型二周期函数在实际中的应用例2若单摆中小球相对静止位置的位移MCm)随时间Z(S)的变化而周期性地变化，如图所示，请回答下列问题：(1)单摆运动的周期是多少？(2)从。点算起，到曲线上的哪一点表示完成了一次往复运动？如从A点算起呢？(3)当f=lls时，单摆小球相对于静止位置的位移是多少？解(1)从图象可以看出，单摆运动的周期是0.4s。(2)若从。点算起，到曲线上的。点表示完成了一次往复运动；若从A点算起，到曲线上的E点表示完成了一次往复运动。(3) ll=0.2+0.4×27,所以小球经过IlS相对于静止位置的位移是OCm。规律方法根据函数关系对应的图象，首先确定函数的周期，然后再利用周期解决问题。【训练2若钟摆的高度Mmm)与时间小)之间的函数关系如图所示。(1)求该函数的周期；(2)求f=10s时钟摆的高度。解(1)由图象可知，该函数的周期为1.5s；(2)设=/，由函数)的周期为1.5s,可知/(10)=+6xl5)=/(1)=20,：.t=10s时钟摆的高度为20mmo题型三三角函数周期性的综合应用【例3】定义在R上的函数外)既是偶函数，又是周期函数，若7U)的最小正周期为,且当x0,方时，y(x)=sinx,则乂苧)=()ATB.IC.D,孚解析虑)=©_j=虑)=虑F)=(V)=局=Si导察答案D【迁移1】(变换条件)若将例3中的“偶函数”改为“奇函数”，其他条件不变，结果如何?解幻=F)=虑)=虑F)=卜*一局=-Si受一事【迁移2】(变换结论)若将例3条件不变，求*)+产碧的值。解周=遍=坐彳竽673+野焦冏=SinA坐/2020兀L/202哨也,近rr所以W+A丁»+苛=S。规律方法当函数值的出现具有一定的周期性时，可以首先研究它在一个周期内的函数值的变化情况，再给予推广求值。【训练3】设段)是周期为2的奇函数，当Oa<1时，7U)=sinx+x,则Ia<2时，/)解析当Ia<2时，-2v-v-l,贝JO<2XV1,因为当0<x<l时，j(x)=sinx+f所以x)=sin(2-)÷20因为是周期为2的奇函数，所以fi,)=工)=-A2%)=sin(2x)÷-2=sin(-2)÷-2.答案sin(-2)÷-2四、课堂总结1 .通过本节课的学习，提升学生的直观想象、逻辑推理、数学抽象素养。2 .求函数的最小正周期的常用方法：(1)定义法，即观察出周期，再用定义来验证；也可由函数所具有的某些性质推出使KE+7)=/U)成立的To(2)结论法，一般地，函数y=Asin(5+g)(其中A,9为常数，A0,>0,XeR)的2TT周期=77oCO五、课堂练习1 .函数Kr)=Sin(2x+§的最小正周期为()A.4B.2C.D.§解析由题意知T=:=兀，故选C.答案C2.已知函数於)=sin(-匀一1,则下列命题正确的是()A. Kr)是周期为1的奇函数B. 7U)是周期为2的偶函数c.7U)是周期为1的非奇非偶函数D.yu)是周期为2的非奇非偶函数解析y(x)=sin7tr-1=cos-1,故选B答案B3 .函数J(X)=Sinx和函数g(x)=tan5®>0)的最小正周期之和为,则=解析函数/(x)=SinS,周期Ti=*,函数g(x)=tans,周期7=,T+T=f=3.答案34 .函数/U)=3cos(gx-W)(g>0)的最小正周期为华，则<兀)=O解析由己知W=,，得=3,CO3所以<U)=3cos(3x一§,*3COS3答案V5 .已知Kr)是以兀为周期的偶函数，且JV£O,时,«r)=lsinx,求当x,3兀时,/U)的解析式。解,3时，3兀一0,，,.",目时'QO=I-Sinx,.*.y(3-x)=1sin(3-x)=1sino又yu)是以为周期的偶函数，3-R)=4_冗)=«/(幻，；&)的解析式为危)=1sinx,3。7 .3.2三角函数的图象与性质【第一课时】正、余弦函数的图象与性质(一)【教学目标】1 .能利用三角函数的定义画y=sinx,y=cosx的图象。2 .掌握“五点法”画y=sinx,y=cosx的图象的步骤和方法，能利用“五点法”作出简单的正弦、余弦曲线。3 .理解y=sinx与y=cosx图象之间的联系。并能利用图象解决问题。【教学重难点】掌握“五点法”画y=sinX,y=cosx的图象的步骤和方法，能利用“五点法”作出简单的正弦、余弦曲线。【教学过程】一、情境引入将塑料瓶底部扎一个小孔做成一个漏斗，再挂在架子上，就做成了一个简易单摆（如图（1）所示）。在漏斗下方放一块纸板，板的中间画一条直线作为坐标系的横轴。把漏斗灌上细沙并拉离平衡位置，放手使它摆动，同时匀速拉动纸板。这样就可在纸板上得到一条曲线，它就是简谐运动的图象。物理中把简谐运动的图象叫做“正弦曲线”或“余弦曲线”。它表示了漏斗对平衡位置的位移s（纵坐标）随时间/（横坐标）变化的情况。图（2）就是某个简谐运动的图象。(1)问题1.通过上述实验，你对正弦函数、余弦函数图象的直观印象是怎样的？2 .你能比较精确地画出y=sinx在0,2兀上的图象吗？3 .以上方法作图虽然精确，但太麻烦，有没有快捷画y=sinx,x0,2图象的方法?你认为图象上哪些点是关键点？提示1.正、余弦函数的图象是“波浪起伏”的连续光滑曲线。4 .能，利用特殊角的三角函数的定义。5 .五点作图法y=sinx的五点：（0,0），俘1），（,0）,侍一1）,（2,0）；y=cosx的五点：（0,1）,停0J,（,一D，修,（2,1）。二、新知初探1.正弦函数、余弦函数的图象两者的图象可以通过左右平移得到函数y=sinxy=CosX图象r-1I一以卜7251Ai/?;-1图象画法“五点法”“五点法关键五点(0,0),自1),(,0),(,-1),(2,0)(0,1),0),(,-1),(,0),(2,1)2.正弦函数的图象叫作正弦曲线;余弦函数的图象叫做余弦曲线。3.正、余弦函数的性质（一）y=sinXy=CosX定义域RR值域值域为：LL11当X=W+2k仅Z)时,ymax=1TT当X=一与+2E仅Z)时,2,Jmin11值域为：Ll,ll当X=2E(ZZ)时，Mnax=I当x=(2E+l)(AZ)时,Vmin=一1周期性T=2T=2奇偶性假拓展深化微判断1 .正弦函数y=sinx的图象向左右和上下无限伸展。（x）提示正弦函数y=sinX的图象向左右无限伸展，但上下限定在直线y=l和y=-之间。2 .函数y=sinx与y=sin（-）的图象完全相同。（x）提示二者图象不同，而是关于y轴对称。3 .直线y=；与函数y=sinx,x0,2兀的图象有两个交点。N）4 .余弦函数y=cosx的图象与），=SinX的图象形状和位置都不一样。（×）提示函数y=cosx与y=sinx的图象形状一样，只是位置不同。微训练1 .用“五点法”作函数y=3-cosx的图象，下列各点中不属于五点作图法中的五个关键点的是()A.(,-1)B.(0,2)1 3)D.修3)解析可以利用代入法，(,1)不满足解析式，故选A.答案A2 .函数y=sin(-X),x0,2的简图是()解析y=sin(-x)=-sinx,故图象与y=sinx的图象关于X轴对称，故选B.答案B3 .下列函数图象相同的是()A. y=sin%与y=sin(÷x)B. 尸5亩卜9与尸5也住一.，C. y=sinX与y=sin(-x)D. y=sin(2兀+x)与y=sinx解析利用诱导公式可知D图象相同。答案D微思考1 .怎样由y=sinx的图象得y=cosx的图象？提示由y=sinX的图象向左平移刍个单位得到y=cosX的图象。2 .观察正、余弦函数的图象，y=sinx与y=cosx是中心对称图形吗？是轴对称图形吗？提示y=sinx与=cosx既是中心对称图形又是轴对称图形。三、合作探究题型一“五点法''作图的应用【例1利用“五点法”作出函数尸1一而郎姿2兀)的简图。解(1)取值列表：X023T2sinX010-101-sinx10121(2)描点连线，如图所示:规律方法“五点法"作形如y=.sinx+。(或y=cosx+b),x0,2的图象时，其步骤如下：(1)列表:TT取X=0, 2f2;(2)描点：将表中所对应的点(y)标在坐标平面内;(3)连线：用平滑的曲线将所描的点连接起来。在连线过程中要注意曲线的“凸性【训练1利用“五点法”作出函数y=T-cosx(W2)的简图。解(1)取值列表如下:X02322COS10-101-1cosx-2-10-1-2(2)描点连线，如图所示。题型二正弦、余弦函数图象的应用【例2】利用正弦曲线，在0,2兀内，求Sinx=坐的解集。解画出y=sinx,x0,2的y草图如图。因为Siq=当，所以Sin（Tr+：）=坐，sin,一5）=坐。即在0,2兀内，满足SinX=一近的尸包或空2uJ43-30所以Sin尸一当的解集为惇，yo【迁移1】（变换结论）利用正弦曲线，求满足*in烂半的X的集合。解首先作出y=sin在0,2上的图象。如图所示，作直线丁=今根据特殊角的正弦值，可知该直线与y=sinx,x0,2兀的交点横坐标为言和系；作直线尸坐该直线与y=sinx,x0,2兀的交点横坐标为郛!李。观察图象可知，在0,2上，当上4，或与女登时，不等式;<si乎成立。所以;VSin孚的解集为x*+2E<W+2E,或号+2Ex<+2E,ZZ：。迁移2（变换结论）函数y=log2（2sinx+1）的定义域为。1Ji371解析要使函数有意义，则必有2sinx+l>0,即SinX>5。画出y=sinx,x工的草图，如图所示。当一今春时，不等式SinX>g成立，所以SinX>T的解集为L|2k<x<r+2k,ArZo可知函数y=log2(2sinx+l)的定义域为/-+2k<x<+2k,Z)oTl771答案IXd+2E<x<+2E'Z规律方法用三角函数图象解三角方程或不等式的方法(1)作出相应正弦函数或余弦函数在0,2兀上的图象；(2)写出适合不等式在区间0,2兀上的解集；(3)根据公式一写出方程或不等式的解集。同时注意区间端点的取舍。【训练2】求下列函数的定义域。(1) fix)=y2cos2x+sin-1；(2) fix)=Igcosx+y25x2。解(1)要使函数有定义，需满足2co4；+sinx10,即2sin2-sin-10>解得一sinM由正弦函数的图象，可得函数的定义域为)|2E82也+*ZZcosx>0，(2)由题意得X满足不等式组L，八COSQ0,即，Uc作出y=cosx的图象，如图所示。一55,J结合图象可得函数的定义域为-5,-2u-2,飙松5。四、课堂总结1 .通过本节课的作图和正、余弦函数图象的应用，重点提升学生的数学抽象、逻辑推理和直观想象素养。2 .对“五点法''画正弦函数图象的理解(1)与前面学习函数图象的画法类似，在用描点法探究函数图象特征的前提下，若要求精度不高，只要描出函数图象的“关键点”，就可以根据函数图象的变化趋势画出函数图象的草图。(2)正弦函数图象的关键点是函数图象中最高点、最低点以及与X轴的交点。3 .作函数y=。sinx+Z?的图象的步骤列表由x0,£E.乎.2it.求出）值工i_在同一坐标系中描出各点用光滑曲线连接这些点,同时注意曲线形状五、课堂练习1 .用“五点法”作函数y=2sin-l的图象时，首先应描出的五点的横坐标可以是（）C兀3兀-CC兀兀3A.0,2,兀,2,2兀B.0,不2,V,_-C,CCTITI712TlC.0,兀,2兀,3,4D.0,my解析由“五点法”可知选A.答案ATr3兀2 .函数y=-SinjGx一彳的简图是（）解析函数y=-SinX与y=sinx的图象关于X轴对称，故选D.答案D3 .函数y=cosx,x0,2的图象与直线y=-T的交点有个。解析作y=cosx,x0,2的图象及直线y=-g（图略），知两函数图象有两个交点。答案两4 .在0,2兀上，sin应乎的解集为。一一2解析如图所不，在同一坐标系内作出y=sinx在0,2兀上的图象和y=为的图象。由图可知，满足Sin应乎的X的取值范围是俘yiH兀3-IT案4»5 .用“五点法”作出函数y=l-geosX的简图。y=l-lcosx2,3 2x【第二课时】正、余弦函数的图象与性质(二)【教学目标】1 .掌握y=sin,y=cosx的最大值与最小值，并会求简单三角函数的值域和最值。2 .掌握y=sin,y=cosx的单调性，并能利用单调性比较大小。3 .会求函数y=Asin(<x+9)及y=Ac0s(cDx+9)的单调区间。【教学重难点】1 .掌握y=sin,y=cosx的最大值与最小值，并会求简单三角函数的值域和最值。2 .掌握y=sinx,y=cosx的单调性，并能利用单调性比较大小。3 .会求函数y=Asin(x÷初及y=Acos(x÷9)的单调区间。【教学过程】一、情境引入过山车是一项富有刺激性的娱乐工具。那种风驰电掣、有惊无险的快感令不少人着迷。过山车的运动包含了许多物理学原理，人们在设计过山车时巧妙地运用了这些原理。如果能亲身体验一下由能量守恒、加速度和力交织在一起产生的效果，那感觉真是妙不可言。一个基本的过山车构造中，包含了爬升、滑落、倒转（儿童过山车没有倒转），几个循环路径。问题（1）函数y=sinx与y=cosx也像过山车一样“爬升”，“滑落”，这是=sinx,y=COSX的哪些性质？（2）过山车爬升到最高点，然后滑落到最低点，然后再爬升，对应y=sinx,y=cosx的哪些性质？y=sinx,y=cosx在什么位置取得最大（小）值？提示（1）单调性。（2）最值，波峰和波谷。二、新知初探正弦函数、余弦函数的图象和性质（表中9Z）正弦函数余弦函数图象yJXA尸ItqwZX-.x值域11,IlFf11单调性在l+2E,J+2El上单调递增,在住+2E,整+2E上单调递减在一+2E,2E1上单调递增,在2Zc,+2Zr1±单调递减最值X=+2E时,Mnax=I;X=二多土2k时,Jmin-1x=2kt时,Mnax=I;X=兀+2k时,ymin=-1拓展深化微判断1 .正弦函数、余弦函数在定义域内是单调函数。（X）提示正弦函数、余弦函数在定义域内不单调。2 .存在实数X,使得COSX=6。（×）提示余弦函数最大值为1.3 .余弦函数y=cosx在0,兀上是减函数。()微训练Y1 .y=2+cosQ的值域为。YY解析Vcos-1,1,2÷cosl,3<>答案1，32 .函数y=2sinx取得最大值时X的值为。Tr解析当SinX=-1,即X=-/+2E(AZ)时，函数y=2sinx的最大值为3.TT答案一/+2E(ZZ)3 .比较sin250。与sin260。的大小。解Vsin250o=sin(180o+70o)=sin70o,sin260°=sin(180o÷80o)=-sin80°,而Sin70o<sin80o,.,.一sin70o>一sin80°。.,.sin250o>sin260°。微思考1 .函数/U)=SinJr在;，苧上值域为-1,1吗？r5提示不是，利用«r)=SinX在下彳上的图象可以得到。当X=今时，/(X)max=l;当X=竽时，7U)min=一乎。2 .正弦函数y=sinx是奇函数，正弦曲线关于原点对称，即原点是正弦曲线的对称中心。(1)除原点外，正弦曲线还有其他对称中心吗？如果有，那么对称中心的坐标是多少？(2)正弦函数是轴对称图形吗？如果是，对称轴的方程是什么？(3)余弦函数y=cosx呢？有以上的性质吗？提示(1)y=sinx还有其他对称中心，它们为点(E,O)(AZ)°JT(2) y=sinx是轴对称图形，对称轴的方程为X=E+(ZZ)°(3) y=COSX既是中心对称图形，又是轴对称图形。对称中心的坐标为住FE,O)(ZeZ),对称轴方程为X=E(ZZ)°三、合作探究题型一求正弦、余弦函数的单调区间【例1】求函数y=2si©-J的单调递增区间。解y=2sinj-xJ=-2sinl-7,令z=-,则y=-2Sinz。要求y=-2sinz的单调递增区间，即求SinZ的单调递减区间，即2k÷<z2÷-y(Z)o.*.2+<r-<2Ac+(Z),3Ti771即2E+n2E+n(AZ)o函数y=2sin加，的单调递增区间为2E+笔2A+,(AZ)°规律方法用整体替换法求函数y=Asin(GX+)或y=Acosx+p)的单调区间时，如果式子中X的系数为负数，先利用诱导公式将X的系数变为正数再求其单调区间。求单调区间时,需将最终结果写成区间形式。【训练1】求函数7U)=2cos(2l6的单调递增区间。解令一兀+2E2x今W2E,Z,解得一招+Ex盍+E,kGZ,SjrTr所以函数兀V)的单调增区间是一五+E,五+E(&Z).题型二利用正弦、余弦函数的单调性比较大小例2利用三角函数的单调性，比较下列各组数的大小。/、.49E39(1) sin"与cos"/、(23 Y ( 1(2) cosI -5cosI解 (I)Sin zic sinf48)。44-TZ = 一Sm /39(6兀、6COS石=COSb勾=cos 45.n4ll.在八.0<45< 30 <2，且 V-sin x 在。.ll= sm 而Tt ,夕上是增函数,Asin条Sin 喘从而一sin茅一sin嗡即Sin鬻>cos鬻(2)cos(f=COS=cos4÷=COSCOS(一争I)= COS 学Tt=cos4 ÷ 7 = cos4°<,且y=cosx在0,兀上是减函数,Acos <cos 即 cosy<cos3)。规律方法用正弦函数或余弦函数的单调性比较大小时，应先将异名化同名，把不在同一单调区间内的角用诱导公式转化到同一单调区间，再利用单调性来比较大小。【训练2】比较下列各组数的大小:(1)(37Y(49、sin1W兀J与sinlyI；29,49cos7-与sin-q-o17sin18，(1) sin493=snVy=sinx(-y)=sin(-6-g=sin(-,in(16+WJ=Sin?3.7r在一,2上是增函数,in全，BP sinf-j<sin 争TOcos竿(15 Cosl 4+=COS,sin 竽=sin(4兀+1313=Sm万17=COS且y=cos x 在0,兀上是减函数,49>sngo.517兀29兀.cos"">cos-j,RIJcos题型三正弦、余弦函数的最值(值域)问题【例3】求下列函数的值域：(1)求y=cosQ+),0,1的值域；(2)求y=cos2-4CoSX+5的值域。解由y=cos(x+看)，x0,'可得工+狂茅争因为函数y=cosx在区间/冬上单调递减，所以函数的值域为一去当。(2) y=cos2-4cos÷5,令r=cosx,则一1SZ1y=?4r+5=(r-2)2+1,当，=1,函数取得最大值10；f=l时，函数取得最小值2,所以函数的值域为2,10。规律方法求三角函数值域或最值的常用方法(1)形如y=sin(5+9)的三角函数，令f=s+p,根据题中x的取值范围，求出f的取值范围，再利用三角函数的单调性求出y=sint的最值(值域)。(2)形如y=asi2+/?SinX+c(q0)的三角函数，可先设r=sinx,将函数y="sin2+加inx+c(0)化为关于，的二次函数y="+4+c(40),根据二次函数的单调性求值域(最值)。(3)对于形如y=sinM或y=4cosx)的函数的最值还要注意对a的讨论。【训练3】若函数y=。-8cosxS>0)的最大值为方，最小值为一g,求函数y=-4qcosAx的最值和最小正周期。角军''y=a-反OSXS>0),j3,1'max=。十8=5，ymin=。匕=一2。y-4COSH=2COSx,所以函数y=-4acosbx的最大值为2,最小值为一2,最小正周期为2兀。四、课堂总结1 .通过本节课的学习，重点提升直观想象、数学抽象、逻辑推理、数学运算素养。2 .求函数y=Asinx+e)(A>0,Q>0)单调区间的方法Tr7把-看成一个整体，由2k2x+<2k+(ZWZ)解出x的范围，所得区间即为单调递增区间，由弧+9以+目也+引Z)解出/的范围，所得区间即为单调递减区间。若s<0,先利用诱导公式把G转化为正数后，再利用上述整体思想求出相应的单调区间。3 .比较三角函数值的大小，先利用诱导公式把问题转化为同一单调区间上的同名三角函数值的大小比较，再利用单调性作出判断。4 .求三角函数值域或最值的常用方法：将y表示成以sinx（或CoSX）为元的一次或二次等复合函数，再利用换元或配方或利用函数的单调性等来确定y的范围。通过上述问题，不断提高学生的数学运算、逻辑推理的素养。五、课堂练习1 .y=2sin（3x+§的值域是（）B.0, 2A.-2,2C.|-2,0D.-1,1解析因为sin(3x+-L1,所以y-2,2O答案A2 .下列关系式中正确的是()A. sinllo<cos10o<sin168°B. sin168o<sinllo<cos10°C. sin11o<sin168o<cos10°D. sin168o<cos10o<sinHo解析因为sin168。=Sinl2。，CoSloo=Sin80。，由正弦函数的单调性得SinI1。VSinI2。VSin80o,BPsinllo<sin168o<cos10oo答案C3 .函数兀V)=啦cos(2x一$的单调递减区间是解析令2E2一W+2E,Z,得W+Exm+E,kerL,即兀V）的单调递减区间是,5,l+hc,g+E（ZZ）°答案+,系+E（ZZ）4 .函数y=3cos&在X=时，y取最大值。解析当函数取最大值时，&J=2E（Z）,x=4E+恭Z）。TT答案4E+（&£Z）5 .已知函数外)=4Sin(ZT)+/4>0)。当x0,方时，於)的最大值为5,最小值是一2,求o和b的值。解V0<,-<2-<y,；一坐Ssin(2x§31,又>0,.'J(X)ma="+0=S,x)min=2a+b=2.卜+”=4(a=2f由j笔+人=2,得M=2+小.【第三课时】正切函数的图象与性质【教学目标】1 .了解正切函数图象的画法，理解并掌握正切函数的性质。2 .能利用正切函数的图象与性质解决有关问题。【教学重难点】了解正切函数图象的画法，理解并掌握正切函数的性质。【教学过程】一、情境引入学习了y=sinx,y=cosx的图象与性质后，明确了y=sinx,y=cosx的图象是“波浪”型,连续不断的，且都是周期函数，都有最大（小）值。问题类比y=sinx,y=cosx的图象与性质。（1）y=tanx是周期函数吗？有最大（小）值吗？（2）正切函数的图象是连续的吗？提示（1）y=tanx是周期函数，且T=,无最大，最小值。（2）正切函数的图象在定义域上不是连续的。二、新知初探函数,=tanX的图象和性质图象与性质是函数的灵魂解析式y=tanx正切曲线的图象TTy,5?O/X定义域IWR,一旦+%,kGZ值域R周期奇偶性奇函数单调性在区间(E-W，E+与仅Z)都是增函数对称中心侍)(fcZ)拓展深化微判断1 .函数y=tanx在其定义域上是增函数。(x)提示y=tanx在区间(E去E+f)(AZ)上是增函数，但在其定义域上不是增函数。2 .函数y=tan2x的周期为兀。(×)提示y=tan2x的周期为今3 .正切函数y=tan无单调递减区间。N)4 .函数y=2tanx,x0,，的值域是0,+oo)<>()微训练1. ta>l的解集为()A. xx>÷QkeZ)B. xx>2÷QkeZ);C.卜局(兀xh÷4<r<H+2(Z)JETr解析Vtanxl,由图象知，k<x<-k(kZ)0故选D.答案D2 .函数y=2tan(x)是()A.奇函数B.偶函数C.既是奇函数，又是偶函数D.非奇非偶函数解析y=2tan(x)=-2tanx,为奇函数。答案A3 .与函数y=tanR+手的图象不相交的一条直线是()C兀A.x=2B.x=2C兀一兀C. A：=wD.X=W解析.2x+为+EZ),*+竽(kZ),故选D.答案D微思考1 .正切曲线是中心对称图形吗？若是，对称中心是什么？是轴对称图形吗？提示y=tanx是中心对称图形，对称中心为管，)(ZZ),不是轴对称图形。2 .正切函数在其定义域内为增函数是否正确？为什么？提示不正确，因为正切函数不连续，只能说在每个区间(E案E+?依Z)上为增函数。三、合作探究题型一正切函数的定义域、值域问题【例1】(1)函数y=3tan哈一的定义域为；(2)函数y=tan2-2tanJV(IK区目的值域为。解析(1)由/一ZZ,4得-4E,kGZ,4it即函数的定义域为xx一至一4E,ZZ°Tl(2)令"=tanx,.xW1,.由正切函数的图象知£市，31,原函数可化为y=22,w-3,3,二次函数y=2-2=(-1)21图象开口向上，对称轴方程为=1,，当U=1时，ymin=11，当=一小时，ymax=3÷23,原函数的值域为-1,3+23o答案(1)4#一号一4E,ZZ(2)-1,3+23规律方法(1)求定义域时，要注意正切函数自身的限制条件，另外解不等式时，要充分利用三角函数的图象或三角函数线。(2)处理正切函数值域时，应注意正切函数自身值域为R,将问题转化为某种函数的值域求解。【训练11求函数y=tanx+1+lg(ltanx)的定义域。tanx+1>0,解由题意得彳即一ltanx<l.1tanx