函数的单调性与曲线的凹凸性教案ppt课件.ppt

,第四节,一、函数单调性的判定法,二、曲线的凹凸与拐点,函数的单调性与,曲线的凹凸性,第三章,一阶导数和二阶导数在函数图像中的应用,一、 函数单调性的判定法,定理 1.,推论:,例1.,解：,又如,内可导,且,等号只在,处成立,故,内单调增加.,例2. 确定函数,的单调区间.,解:,令,得,故,的单调增区间为,的单调减区间为,说明:,单调区间的分界点除驻点外,也可是导数不存在的点.,例如,2) 如果函数在某驻点两边导数同号, 则不改变函数的单调性 .,例如,把函数的定义域区间分成若干个区间，,1写出函数的定义域，并求出函数的导数,2求出导函数的零点、和导数不存在的点(不可导点),3以导数等于零的点、不可导点为分点，,并确定导函数在各个区间内的符号，,从而确定函数在每个区间内的单调性。,总结求函数的单调区间的步骤:,解:,练习1：P153 3(3),例3. 证明,时, 成立不等式,证: 令,从而,因此,且,证,证明,* 证明,令,则,从而,即,例3. 证明,时, 成立不等式,证: 令,且,从而,因此,利用单调性证明不等式的步骤：, 将要证的不等式作恒等变形（通常是移项）使 一端为0,另一端即为所作的辅助函数f(x)., 求,验证f(x)在指定区间上的单调性., 与区间端点处的函数值作比较即得证.,练习2：P153 5(3),证明:,当 时 证明：sin xtan x2x .,设 f(x)sin xtan x2x 则f(x)在 内连续,f (x)cos xsec2x2 ,从而f (x)在 内单调增加,因此当 时 f(x)f(0)0 sin xtan x2x0,也就是 sin xtan x2x,f (0)0 ,从而f(x)在 内单调增加,所以f (x)f (0)=0,且,定义 . 设函数,在区间 I 上连续 ,(1) 若恒有,则称,图形是凹的;,(2) 若恒有,则称,图形是凸的 .,二、曲线的凹凸与拐点,连续曲线上有切线的凹凸分界点称为拐点 .,拐点,定理2.(凹凸判定法),(1) 在 I 内,则 f (x) 在 I 内图形是凹的 ;,(2) 在 I 内,则 f (x) 在 I 内图形是凸的 .,设函数,在区间I 上有二阶导数,例3. 判断曲线,的凹凸性.,解:,故曲线,在,上是向上凹的.,说明:,1) 若在某点二阶导数为 0 ,2) 根据拐点的定义及上述定理, 可得拐点的判别法如下:,若曲线,或不存在,的一个拐点.,则曲线的凹凸性不变 .,在其两侧二阶导数不变号,例4. 求曲线,的拐点.,解:,不存在,因此点 ( 0 , 0 ) 为曲线,的拐点 .,凹,凸,对应,例5. 求曲线,的凹凸区间及拐点.,解: 1) 求,2) 求拐点可疑点坐标,令,得,3) 列表判别,故该曲线在,及,上向上凹,向上凸 ,点 ( 0 , 1 ) 及,均为拐点.,凹,凹,凸,1写出函数的定义域，并求出函数的导数,2求使二阶导数为零的点和使二阶导数不存在的点,3判断或列表判断 确定出曲线凹凸区间和拐点,确定曲线,的凹凸区间和拐点的步骤,解:,练习2：P153 9(5),凹,凸,拐点,是拐点.,曲线在,上是凹的,上是凸的.,故点,在,内容小结,1. 可导函数单调性判别,在 I 上单调递增,在 I 上单调递减,2.曲线凹凸与拐点的判别,拐点, 连续曲线上有切线的凹凸分界点,作业 P152 3 (1),(3) ; 5 (1), (3) ; 8 (1), (3) ; 9 (1),(2) ;,预习：第五节，第六节,思考与练习,上,则,或,的大小顺序是 ( ),提示: 利用,单调增加 ,及,B,1. 设在,.,2. 曲线,的凹区间是,凸区间是,拐点为,提示:,及,;,;,第五节,有位于一直线的三个拐点.,1. 求证曲线,证明：,备用题,令,得,从而三个拐点为,因为,所以三个拐点共线.,=,证明:,当,时, 有,证明: 令, 则,是凸函数,即,2 .,(自证),第五节,例4.,解：,证明:,例6.,当 时 证明：sin xtan x2x .,设 f(x)sin xtan x2x 则f(x)在 内连续,f (x)cos xsec2x2,因为在 内cos x10 cos2x10 cos x0,所以f (x)0 从而f(x)在 内单调增加,因此当 时 f(x)f(0)0 sin xtan x2x0,也就是 sin xtan x2x,证明:,例6.,当 时 证明：sin xtan x2x .,设 f(x)sin xtan x2x 则f(x)在 内连续,f (x)cos xsec2x2,因为在 内cos x10 cos2x10 cos x0,所以f (x)0 从而f(x)在 内单调增加,因此当 时 f(x)f(0)0 sin xtan x2x0,也就是 sin xtan x2x,