同济版大一高数下第七章第二节可分离变量的微分方程ppt课件.ppt

1,高等数学,第二十九讲,2,转化,可分离变量的微分方程,第二节,解分离变量方程,可分离变量方程,第七章,3,分离变量方程的解法:,设 y (x) 是方程的解,两边积分, 得,则有恒等式,则有,称为方程的隐式通解, 或通积分.,4,例1. 求微分方程,的通解.,解: 分离变量得,两边积分,得,即,( C 为任意常数 ),或,说明: 在求解过程中每一步不一定是同解变形,因此可能增、,减解.,( 此式含分离变量时丢失的解 y = 0 ),5,例2. 解初值问题,解: 分离变量得,两边积分得,即,由初始条件得 C = 1,( C 为任意常数 ),故所求特解为,6,解:,分离变量,例3 求下列方程的通解 :,原式化为,通解：,7,有些微分方程需要通过适当的变量代换，化为,变量可分离的方程。,例4 求微分方程,的通解。,解 令,则,代入原方程得,即,分离变量得,通解为,8,例5. 求下述微分方程的通解:,解: 令,则,故有,即,解得,( C 为任意常数 ),所求通解:,9,例5. 求下述微分方程的通解:,解: 观察可将方程整理为:,令,代入上式得:,分离变量后得:,通解:,10,例6:,解法 1 分离变量,即,( C 0 ),解法 2,故有,积分,( C 为任意常数 ),所求通解:,11,例7 已知曲线积分,与路径无关, 其中,求由,确定的隐函数,解:,因积分与路径无关 , 故有,即,因此有,12,内容小结,1. 可分离变量方程的求解方法:,说明: 通解不一定是方程的全部解 .,分离变量后积分;,根据定解条件定常数 .,13,思考与练习,求下列方程的通解 :,提示:,方程变形为,